アダムススペクトル列

数学において、アダムススペクトル列は、 J・フランク・アダムス (1958)によって導入されたスペクトル列であり、位相空間の安定ホモトピー群を計算する。他のスペクトル列と同様に、アダムススペクトル列は計算ツールであり、ホモロジー理論を現在安定ホモトピー理論と呼ばれる理論に関連付ける。これは、フランスのアンリ・カルタンとジャン＝ピエール・セールの学派によって適用された「ホモトピー群の除去」と呼ばれる手法をホモロジー代数を用いて再定式化し、拡張したものである。

モチベーション

以下のすべてについて、素数p を一度だけ固定する。すべての空間はCW 複体であると仮定する。通常の コホモロジー群は を意味すると理解される。 ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$

代数的位相幾何学の主な目的は、任意の空間XとYの間の、ホモトピーを除くすべての写像の集合を理解することです。これは非常に野心的な課題です。特に、Xが のとき、これらの写像はYのn番目のホモトピー群を形成します。より合理的な（しかし、依然として非常に難しい）目標は、サスペンション関数を多数回適用した後に残る写像の集合（ホモトピーを除く）を理解することです。これを、 XからYへの安定写像の集合と呼びます。（これが安定ホモトピー理論の出発点です。このトピックのより現代的な扱いは、スペクトルの概念から始まります。Adams の元の研究ではスペクトルは使用されておらず、このセクションでは内容をできるだけ初歩的なものにするために、スペクトルについてはこれ以上触れません。） ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

集合はアーベル群であることが分かり、XとYが妥当な空間であれば、この群は有限生成群となります。この群がどのような群なのかを理解するために、まず素数pを分離します。のp-捩れを計算するために、コホモロジーを調べます。Hom ( H ^* ( Y ), H ^* ( X ))に送ってください。コホモロジー群は通常計算しやすいので、これは良い考えです。 ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$

鍵となるアイデアは、 は単なる次数付きアーベル群以上のものであり、さらには次数付き環（カップ積を介して）以上のものであるということです。コホモロジー関数の表現可能性により、 H ^* ( X )は、その安定コホモロジー演算の代数であるスティーンロッド代数A上のモジュールになります。 H ^* ( X )をAモジュールとして考えると、カップ積構造がいくらか忘れられますが、得られるものは莫大です。つまり、 Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )) は、 A線型であると見なすことができます。アプリオリに、Aモジュールは、 F _p上のベクトル空間の写像であると見なしていたときよりも、[ X、Y ] をより多くは見ません。しかし、 Aモジュールのカテゴリで Hom の導来関数Ext _A ^r ( H ^* ( Y ), H ^* ( X ))を考えることができるようになりました。これらはH ^* ( Y )の次数から2番目の次数を得るため、代数データの2次元「ページ」が得られます。Ext群はHomの代数構造の保存の破綻を測定するために設計されているため、これは合理的なステップです。 ${\displaystyle H^{*}(X)}$

これらすべてのポイントは、Aが非常に大きいため、上記のコホモロジーデータのシートには、 [ X , Y ]のp-プライマリ部分、つまりホモトピーデータを復元するために必要なすべての情報が含まれているということです。コホモロジーは計算可能であるように設計され、ホモトピーは強力なものとして設計されたため、これは大きな成果です。これがアダムススペクトル列の内容です。

古典的な定式化

スペクトルのホモトピー群を計算するための定式化

古典的なアダムススペクトル列は、任意の有限型の連結スペクトル に対して、つまりに対して となるように述べることができ、各次数において有限生成アーベル群となる。すると、スペクトル列^{[1] : 41}が存在し、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle E_{*}^{*,*}(X)}$

1. ${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathbb {Z} /p)}$modスティーンロッド代数 ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle p}$
2. 有限型のは、 （p進整数）のフィルトレーションに関連付けられた二階数群である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{*,*}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

これは に対して が成り立つことを意味することに注意されたい。これは球面スペクトルのホモトピー群、すなわち球面の安定ホモトピー群の -ねじれを計算する。また、任意の CW 複体に対して懸濁スペクトル を考えることができるため、これは前述の定式化の記述も与える。 ${\displaystyle X=\mathbb {S} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }Y}$

この記述は、 -加群を何らかの連結スペクトル（または位相空間）のコホモロジー群に置き換えることで、もう少し一般化されます。これは、スペクトル列の構築において を-加群として「自由に」分解するため、 を第2項として持つ外接群を計算できるからです。したがって、 -ページを持つスペクトル列は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),H^{*}(Y))}$

これは、と間の写像のホモトピー類の安定ホモトピー群の-捩れのフィルタリングの次数部分に同型であるという収束性を持ち、つまり ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}\Rightarrow \pi _{t-s}^{\mathbb {S} }([X,Y])\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

球面の安定ホモトピー群のスペクトル列

例えば、両方のスペクトルを球スペクトルとすると、アダムススペクトル列は収束性を持つ。 ${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(\mathbb {S} ),H^{*}(\mathbb {S} ))\Rightarrow \pi _{t-s}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

球面の安定ホモトピー群の計算にアプローチするための技術的なツールを提供する。最初の項の多くは、純粋に代数的な情報から明示的に計算できることがわかる^{[2] pp 23–25}。また、 を書き直すことができるので、-page は ${\displaystyle H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\Rightarrow \pi _{t-s}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

以下に、 の計算情報を記載します。 ${\displaystyle p=2}$

決議からの延長条項

アダムズ決議を考慮すると

${\displaystyle \cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{*}(F_{0})\to H^{*}(X)}$

項は ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{t}(H^{*}(F_{s}),H^{*}(Y))}$

次数付きHom群の場合、-ページは次のように書ける。 ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}={\begin{array}{c|ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\2&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\1&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\0&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

したがって、 の次数は、ジェネレータを見つける前にアダムス解像度でどのくらい「深く」進む必要があるかと考えることができます。 ${\displaystyle s}$

計算

シーケンス自体はアルゴリズム的なデバイスではありませんが、特定のケースでの問題解決に役立ちます。

差異の評価

アダムス微分は常に左に1、上に進みます。つまり、 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle d_{r}\colon E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{s-1,t+r}}$。

アイレンバーグ・マクレーンスペクトルの例

最も簡単な計算は、アイレンベルグ・マクレーンスペクトルを用いたもので、例えばおよび である。^{[1] : 48}最初のケースでは、ページ ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} /(p^{k})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

はスペクトル列が崩壊したため、 となる。これは次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$

${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}}$

-ページを与える。他のケースでは、コファイバーシーケンスが存在することに注意する。 ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle H\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p^{k}} H\mathbb {Z} \to H\mathbb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathbb {Z} }$

これは最終的にコホモロジーの分裂をもたらし、-加群も同様に分裂する。すると、の-ページは次のように読める。 ${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p)}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{if }}t-s=0,1\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

予想されるページは ${\displaystyle E_{\infty }}$

${\displaystyle E_{\infty }^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{k}&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$。

このスペクトル列がこのページに収束する唯一の方法は、アダムス次数付けを持つすべての要素で非自明な微分がサポートされている場合です。 ${\displaystyle (s,s+1)}$

その他のアプリケーション

アダムスがスペクトル列を最初に利用したのは、ホップ不変量1 問題の最初の証明でした。ホップ不変量 1 問題は、 n = 1、2、4、または 8 の場合のみ除算代数構造を許容します。その後、アダムスはK 理論のコホモロジー演算を使用して、はるかに短い証明を見つけました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

トム同型定理は微分位相幾何学と安定ホモトピー理論を関連付けるものであり、アダムススペクトル列が初めて主要な用途を見出したのもこの定理である。1960年、ジョン・ミルナーとセルゲイ・ノビコフはアダムススペクトル列を用いて複素コボルディズムの係数環を計算した。さらに、ミルナーとCTCウォールはスペクトル列を用いて、有向コボルディズム環の構造に関するトムの予想を証明した。すなわち、2つの有向多様体がコボルダントであるためには、それらのポンチャギン数とスティフェル・ホイットニー数が一致する必要がある、というものである。

球面の安定ホモトピー群

球面の安定ホモトピー群を計算するアダムススペクトル列のページを示す図。点はページに残された要素を表し、左上に向かう対角線はスペクトル列における様々な微分を表す。微分は左に1単位、上方向には1単位移動する。垂直線は、ねじれ群の構造を決定するための記録ツールとして用いられる。さらに、それらは による乗算を表す。右上に向かう1単位の線は による乗算を表す。 ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle h_{1}}$

上のスペクトル列を に対して用いると、いくつかの項を明示的に計算することができ、球面の最初の安定ホモトピー群のいくつかを与えることができる。^[2]に対しては、これは-page を ${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{2}}^{s,t}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} /2)}$

これは、まずアダムス分解を見ることで行うことができます。は次数なので、射影が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\cdot \iota \to \mathbb {Z} /2}$

ここで は次数の生成元を持つ。核はを生成する許容単項式のすべての元から構成されるため、写像 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle Sq^{I}\iota }$ ${\displaystyle Sq^{I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle \bigoplus _{I{\text{ admissible}}}{\mathcal {A}}_{2}\cdot Sq^{I}\iota \to K_{0}}$

そして、直和でに写像する各生成子を と書き、残りの生成子をに対してと書きます。例えば、 ${\displaystyle Sq^{i}\iota }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle Sq^{I}\alpha _{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}\iota &&Sq^{2}\alpha _{1}\mapsto Sq^{2,1}\iota \\\alpha _{2}\mapsto Sq^{2}\iota &&Sq^{1}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3}\iota \\\alpha _{4}\mapsto Sq^{4}\iota &&Sq^{3}\alpha _{1}\mapsto Sq^{3,1}\iota \\\alpha _{8}\mapsto Sq^{8}&&Sq^{2}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3,1}\iota \end{aligned}}}$

の最後の2つの要素が同じ要素に写像されていることに注目してください。これはAdem関係から導き出されます。また、カーネルには次のような要素があります。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}}$

${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}Sq^{1}\iota =0}$

Adem関係によるものです。この要素のジェネレータを で呼び出します。同じ処理を適用してカーネル を取得し、それを解決し、などと繰り返すことができます。そうすると、次のような -ページが得られます。 ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{array}{c|ccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\4&Sq^{4}\iota ,Sq^{3,1}\iota &Sq^{2,1}\alpha _{1},Sq^{3}\alpha _{1},Sq^{2}\alpha _{2},\alpha _{4}&Sq^{2}\beta _{2}&\cdots \\3&Sq^{3}\iota ,Sq^{2,1}\iota &Sq^{2}\alpha _{1},Sq^{1}\alpha _{2}&Sq^{1}\beta _{2}&\cdots \\2&Sq^{2}\iota &\alpha _{2},Sq^{1}\alpha _{1}&\beta _{2}&\cdots \\1&Sq^{1}\iota &\alpha _{1}&0&\cdots \\0&\iota &0&0&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

これはコンピュータによって比較的容易に次数まで拡張できます。発見された生成元と関係式を用いると、-ページを比較的容易に計算できます。ホモトピー理論家は、水平添え字を、垂直添え字をとすることでこれらの要素を並べ替え、-ページに対して異なるタイプの図を与えることがあります^{[2] 21ページ}。詳細については、上の図を参照してください。 ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t-s}$ ${\displaystyle E_{2}}$

一般化

アダムス・ノビコフ・スペクトル列は、ノビコフ (1967) によって導入されたアダムス・スペクトル列の一般化であり、通常のコホモロジーを一般化されたコホモロジー理論（多くの場合、複素ボルディズムまたはブラウン・ピーターソン・コホモロジー）に置き換えたものである。これには、対象となるコホモロジー理論の安定コホモロジー演算の代数の知識が必要であるが、古典的なアダムス・スペクトル列では全く計算不可能な計算を可能にする。

参照

• ポストニコフシステム
• スティーンロッド代数
• スペクトル（トポロジー）
• アダムズ決議
• ラヴェネルの予想

参考文献

• Adams, J. Frank (1958)、「Steenrod algebra の構造と応用について」、Commentarii Mathematici Helvetici、32 (1): 180–214、doi :10.1007/BF02564578、ISSN  0010-2571、MR  0096219、S2CID  15677036
• アダムス、J.フランク(2013) [1964]、安定ホモトピー理論、数学講義ノート第3巻、シュプリンガー、ISBN 9783662159422、MR  0185597
• ボトヴィニク、ボリス（1992）、特異点を持つ多様体とアダムズ・ノビコフスペクトル列、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42608-1
• McCleary, John (2001年2月)、「スペクトル列のユーザーガイド」、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、第58巻（第2版）、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-56759-6、MR  1793722
• Novikov, Sergei (1967)、「コボルディズム理論の観点から見た代数トポロジーの方法」、Izvestiya Akademii Nauk SSSR。セリヤ・マテマチェスカヤ（ロシア語）、31 : 855–951
• Ravenel, Douglas C. (1978)、「アダムス・ノビコフスペクトル列入門」、Barratt, MG; Mahowald, Mark E. (編)、ホモトピー理論の幾何学的応用 (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977)、II、数学講義ノート、第658巻、Springer、pp.  404– 475、doi :10.1007/BFb0068728、ISBN 978-3-540-08859-2、MR  0513586
• レイヴネル、ダグラス・C.（2003）『複素コボルディズムと球面の安定ホモトピー群』（第2版）、AMSチェルシー、ISBN 978-0-8218-2967-7、MR  0860042。

計算の概要

• Isaksen, DC; Wang, G.; Xu, Z. (2020). 「より安定したステム」. arXiv : 2001.04511 [math.AT].– 90次までの球面の安定ホモトピー群のすべてのアダムススペクトル列を計算する

高階項

• Baues, HJ; Jibladze, M. (2004). 「Adamsスペクトル列のE_3項の計算」. arXiv : math/0407045 .
• Baues, HJ; Blanc, D. (2015). 「高階導来関手とアダムススペクトル列」. Journal of Pure and Applied Algebra . 219 (2): 199– 239. arXiv : 1108.3376 . doi :10.1016/j.jpaa.2014.04.018. S2CID  119144480.
• Baues, HJ; Frankland, M. (2016). 「2トラック代数とアダムススペクトル列」J. Homotopy Relat. Struct . 11 (4): 679– 713. arXiv : 1505.03885 . doi :10.1007/s40062-016-0147-x. S2CID  119658430.

外部リンク

• ブルーナー、ロバート R.（2009年6月2日）「アダムススペクトルシーケンス入門」（PDF）
• ハッチャー、アレン、「アダムススペクトル列」（PDF）、スペクトル列

注記

1. レイヴネル、ダグラス・C. (1986). 複素コボルディズムと球面の安定ホモトピー群. オーランド: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-08-087440-1OCLC  316566772 。
2. Hatcher, Allen. 「代数的位相幾何学におけるスペクトル列」(PDF) 。 2018年7月28日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。

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