付加的なプロセス

確率論における加法過程とは、独立な増分を伴う確率的に連続な確率過程である。加法過程はレヴィ過程の一般化である（レヴィ過程は定常増分を伴う加法過程である）。レヴィ過程ではない加法過程の例として、時間依存ドリフトを伴うブラウン運動が挙げられる。 ^[1]加法過程は1937年にポール・レヴィによって提唱された。^[2]

加法プロセスは定量金融^[3]（この一連のプロセスはインプライドボラティリティの重要な特徴を捉えることができる）やデジタル画像処理^[4]にも応用されている。

意味

加法過程は、定常増分仮説を緩和して得られるレヴィ過程の一般化である。この特徴により、加法過程はレヴィ過程よりも複雑な現象を記述することができる。

上の確率過程は、次の仮説を満たす場合、ほぼ確実に加法過程となります。 $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $X_{0}=0$

独立した増分があります。
それは確率的に連続的である。^[1]

主な特性

独立した増分

確率過程が独立増分を持つ場合、かつその場合のみ、任意の確率変数は確率変数から独立である。^[5]^[^{説明が必要}^] $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $0\leq p<r\leq s<t$ $X_{t}-X_{s}$ $X_{r}-X_{p}$

確率の連続性

確率過程が確率的に連続であるのは、任意の $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $t>0$

\lim _{s\to t^{-}}\Pr \left({\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}\geq \varepsilon \right)=0.

^[5]

レヴィ・ヒンチン表現

加法過程と無限に割り切れる分布との間には強い関連がある。時刻における加法過程は、生成三重項によって特徴付けられる無限に割り切れる分布を持つ。はのベクトル、はの行列、はおよびとなる測度である。^[6] $t$ $(\gamma _{t},A_{t},\nu _{t})$ $\gamma _{t}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $A_{t}$ $\mathbb {R} ^{d\times d}$ $\nu _{t}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $\nu _{t}(\{0\})=0$ $\int _{\mathbb {R} ^{d}}(1\wedge x^{2})\nu _{t}(dx)<\infty$

$\gamma _{t}$ はドリフト項、共分散行列、レヴィ測度と呼ばれる。加法過程特性関数は、レヴィ・ヒンチンの公式を用いて明示的に記述することができる。 $A_{t}$ $\nu _{t}$

\varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma _{t}i-{\frac {1}{2}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{iu'x}-1-iu'x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),

ここではのベクトルであり、は集合の指示関数である。^[7] $u$ $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbf {I_{C}}$ $C$

レヴィ過程特性関数は、とを持つ同じ構造を持ちますが、にはベクトル、には正定値行列があり、は上の測度です。^[8] $\gamma _{t}=t\gamma ,\nu _{t}=t\nu$ $A_{t}=At$ $\gamma$ $\mathbb {R} ^{d}$ $A$ $\mathbb {R} ^{d\times d}$ $\nu$ $\mathbb {R} ^{d}$

加法過程の法則における存在と一意性

次の結果は、レヴィ・ヒンチンの式と合わせて加法プロセスを特徴づけます。

を上の加法過程とする。このとき、その無限に割り切れる分布は次のようになる。 $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\mathbb {R} ^{d}$

すべてのに対して、は正定値行列です。 $t$ $A_{t}$
$\gamma _{0}=0,A_{0}=0,\nu _{0}=0$ であり、のすべてのに対してが成り立ち、は正定値行列であり、のすべてのに対してが成り立ちます。 $s,t$ $s<t$ $A_{t}-A_{s}$ $\nu _{t}(B)\geq \nu _{s}(B)$ $B$ $\mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})$
およびにおける任意のであれば、。 $s\to t$ $\gamma _{s}\to \gamma _{t},A_{s}\to A_{t}$ $\nu _{s}(B)\to \nu _{t}(B)$ $B$ $\mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})$ $0\not \in B$

逆に、1、2、3を満たす生成三つ組で特徴付けられる無限に分割可能な分布の族に対しては、この分布との加法過程が存在する。^[9]^[10] $(\gamma _{t},A_{t},\nu _{t})$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$

加法プロセスのサブクラス

付加的な物流プロセス

一般化ロジスティック分布に従う加法過程族。その5つのパラメータ特性関数は

\operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]=\left({\frac {B(\alpha _{t}+i\sigma _{t}u,\beta _{t}-i\sigma u)}{B(\alpha _{t},\beta _{t})}}\right)^{\delta _{t}}e^{i\mu _{t}u}\;\;.

加法ロジスティック過程の 2 つのサブケースは、標準ロジスティック分布( 、、 )を使用する対称ロジスティック加法過程と、 Dagum 分布( 、、 )を使用する共役べき Dagum 加法過程です。 $\alpha _{t}=1$ $\beta _{t}=1$ $\delta _{t}=1$ $\alpha _{t}=1$ $\beta _{t}=1-\sigma (t)$ $\alpha _{t}=1$

関数は常に加法過程がマルチンゲールであるように選択することができる。^[11] $\mu _{t}$

添加剤常温焼戻し安定プロセス

レヴィ正規焼戻し安定過程の拡張。よく知られているレヴィ正規焼戻し安定過程の中には、正規逆ガウス分布と分散ガンマ分布に従うものがある。加法正規焼戻し安定過程^[12]は、レヴィ正規焼戻し安定過程と同じ特性関数を持つが、時間依存パラメータ（変動性のレベル）、（ジャンプの分散）、（歪度に関連）を持つ。 $\sigma _{t}$ $k_{t}$ $\eta _{t}$

\operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]={\cal {L}}_{t}\left(iu\left({\frac {1}{2}}+\eta _{t}\right)\sigma _{t}^{2}+{\frac {u^{2}\sigma _{t}^{2}}{2}};\;k_{t},\;\alpha \right)e^{iu\varphi _{t}t},

どこ

\ln {\cal {L}}_{t}\left(u;\;k_{t},\;\alpha \right):={\begin{cases}\displaystyle {\frac {t}{k_{t}}}\displaystyle {\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left\{1-\left(1+{\frac {u\;k_{t}}{1-\alpha }}\right)^{\alpha }\right\}&{\mbox{if }}\;0<\alpha <1\\[4mm]\displaystyle -{\frac {t}{k_{t}}}\ln \left(1+u\;k_{t}\right)&{\mbox{if }}\;\alpha =0\end{cases}}

関数は常に加法過程がマルチンゲールであるように選択することができる。^[12] $\varphi _{t}$

加法従属節

の値がである正の非減少加法過程は加法従属変数である。加法従属変数は（減少しないという事実のおかげで）セミマルチンゲールであり、そのラプラス変換は常に次のように書き直すことができる。 $\{S_{t}\}_{t\geq 0}$ $\mathbb {R}$

\operatorname {E} \left[e^{-uS_{t}}\right]=\exp \left(ub_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{d}}(e^{iux}-1)\nu _{t}(dx)\right).

^[13]

加法従属項を用いてレヴィ過程を時間変化させ、新たな加法過程のクラスを得ることが可能である。^[14]

佐藤プロセス

加法的な自己相似過程は佐藤過程と呼ばれる。^[15]と同じ法則を持つレヴィ過程から佐藤過程を構築することが可能である。 $\{Z_{t}\}_{t\geq 0}$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $Z_{t}$ $t^{h}X_{1}$

一例として、分散ガンマ SSD、分散ガンマプロセスから開始して得られる佐藤プロセスがあります。

時刻における分散ガンマの特性関数は $t=1$

\operatorname {E} \left[e^{iuX_{1}}\right]=\left({\frac {1}{1-iu\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}}}\right)^{1/\nu },

ここで、およびは正の定数です。 $\theta ,\nu$ $\sigma$

分散ガンマSSDの特性関数は

\operatorname {E} \left[e^{iuZ_{t}}\right]=\left({\frac {1}{1-iut^{h}\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}t^{2}h}}\right)^{1/\nu }

^[16]

シミュレーション

加法プロセスのシミュレーションは、増分が独立しているため、計算効率が高い。加法プロセスの増分は個別にシミュレーションすることができ、並列化も可能である。^[17]

ジャンプシミュレーション

ジャンプシミュレーションは、レヴィ過程のために開発されたジャンプシミュレーション手法を加法過程のクラスに一般化したものである。この手法は、ある閾値以下の小さなジャンプを切り捨て、有限個の独立したジャンプをシミュレートすることに基づいている。さらに、ガウス近似を適用して小さなジャンプを拡散項に置き換えることができる。また、ジグラットアルゴリズムを用いてジャンプのシミュレーションを高速化することもできる。^[18]

特性関数の反転

特性関数の逆変換によるレヴィ過程のシミュレーションは、文献において確立された手法である。^[19]この手法は加法過程にも拡張できる。鍵となるアイデアは、特性関数を逆変換することで累積分布関数（CDF）の近似値を得ることである。高速フーリエ変換を用いることで、逆変換速度が向上する。CDFの近似値が利用可能になれば、一様確率変数をシミュレートするだけで加法過程の増分をシミュレートすることが可能になる。この手法の計算コストは、標準的な幾何ブラウン運動をシミュレートするのと同程度である。^[20]

アプリケーション

定量金融

レヴィ過程は市場価格の対数リターンをモデル化するために使用されます。残念ながら、増分の定常性は市場データを正確に再現しません。レヴィ過程は、単一の満期日のコールオプションとプットオプションの価格（インプライド・ボラティリティ）にはよく適合しますが、満期日の異なるオプション価格（ボラティリティ・サーフェス）には適合しません。加法過程は決定論的な非定常性を導入し、これによりすべての満期日に適合することが可能になります。^[3]

4パラメータの佐藤過程（自己相似加法過程）は、ボラティリティ面を正しく再現することができる（S&P 500 株価指数では3%の誤差）。この程度の誤差は通常、市場データをフィッティングするために6～10パラメータのモデルを用いた場合に得られる。^[21]自己相似過程は、その平坦な歪度と過剰な尖度によって市場データを正しく記述する。実証研究では、市場の歪度と過剰な尖度においてこの挙動が観察されている。^[22]オプション価格を3%の誤差でフィッティングする過程としては、分散ガンマ過程から得られるVGSSD、NIGSSD、MXNRSSD、正規逆ガウス過程、およびマイクスナー過程などがある。^[23]

加法的正規緩和安定過程は、短期満期の株式市場データ（S&P 500株価指数市場における誤差は0.8%未満）に正確に適合する。これらの過程群は、株式市場のインプライド・ボラティリティの歪みも非常によく再現する。さらに、較正されたパラメータとにおいて、興味深いべき乗スケーリング特性が現れる。とが適合するという統計的証拠がある。^[24] $k_{t}={\bar {k}}t^{\beta }$ $\eta _{t}={\bar {\eta }}t^{\delta }$ $\beta =1$ $\delta =-1/2$

レヴィ従属は、新しいレヴィ過程（例えば、分散ガンマ過程や正規逆ガウス過程など）の構築に用いられる。レヴィ従属によって構築された過程は、金融分野において多くの応用例がある。加法従属によって構築された加法過程は、レヴィ従属によって構築された過程の解析的扱いやすさを維持しながら、市場データの時間的不均質性をより適切に反映する。^[25]加法従属は、商品市場^[26]やVIXオプション^{[27]に適用されている。}

デジタル画像処理

加法過程の最小値に基づく推定量は画像処理に適用できる。このような推定量は、画像ピクセル内の実信号とノイズを区別することを目的としています。^[4]

参考文献

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v t e 確率過程
離散時間	ベルヌーイ過程分岐プロセス中華料理店のプロセスゴルトン・ワトソン過程独立かつ同一分布の確率変数マルコフ連鎖モラン過程ランダムウォークループ消去自己回避偏見のある最大エントロピー
連続時間	付加的なプロセスエアリープロセスベッセル過程誕生から死までのプロセス純粋な誕生ブラウン運動橋ダイソン遠足分数幾何学的蛇行コーシー過程連絡プロセス連続時間ランダムウォークコックス法拡散プロセス経験的プロセスフェラープロセスフレミング・ヴィオ過程ガンマ過程幾何学的プロセスホークス過程ハントプロセス相互作用する粒子系伊藤拡散伊藤プロセスジャンプ拡散ジャンププロセスレヴィ過程現地時間マルコフ加法過程マッキーン・ヴラソフ過程オルンシュタイン・ウーレンベック過程ポアソン過程化合物非均質準マルチンゲールシュラム・レーヴナー進化セミマルチンゲールシグマ・マーチンゲール安定したプロセススーパープロセス電信プロセス分散ガンマプロセスウィーナー過程ウィンナーソーセージ
両方	分岐プロセスガウス過程隠れマルコフモデル（HMM）マルコフ過程マーチンゲール違い地元サブ素晴らしい- ランダム力学系再生プロセス更新手続き可変長のメモリを持つ確率的連鎖ホワイトノイズ
フィールドとその他	ディリクレ過程ガウス確率場ギブス尺度ホップフィールドモデルイジングモデルポッツモデルブールネットワークマルコフ確率場浸透ピットマン・ヨール過程ポイントプロセスコックス決定論的ポアソンランダムフィールドランダムグラフ
時系列モデル	自己回帰条件付き異分散性（ARCH）モデル自己回帰和分移動平均（ARIMA）モデル自己回帰（AR）モデル自己回帰移動平均（ARMA）モデル一般化自己回帰条件付き異分散性（GARCH）モデル移動平均（MA）モデル
財務モデル	二項オプション価格モデルブラック・ダーマン・トイブラック・カラシンスキーブラック・ショールズチャン・カロリ・ロングスタッフ・サンダース（CKLS）チェン一定の分散弾性（CEV）コックス・インガソル・ロス（CIR）ガーマン・コールハーゲンヒース・ジャロー・モートン（HJM）ヘストンホー・リーハル・ホワイトコーン・クレア・レンセン LIBOR市場レンドルマン・バーター SABRのボラティリティヴァシーチェクウィルキー
保険数理モデル	ビュールマンクラマー・ルンドバーグリスクプロセススパーレ・アンダーソン
キューイングモデル	バルク流体一般化待ち行列ネットワーク M/G/1 M/M/1 M/M/c
プロパティ	Càdlàg パス連続連続パスエルゴード交換可能フェラー連続ガウス・マルコフマルコフ混合区分決定論的予測可能段階的に測定可能自己相似文房具時間的に可逆
極限定理	中心極限定理ドンスカーの定理 Doob のマーチンゲール収束定理エルゴード定理フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理大偏差原理大数の法則（弱/強）反復対数の法則最大エルゴード定理サノフの定理ゼロワンの法則( Blumenthal、Borel–Cantelli、Engelbert–Schmidt、Hewitt–Savage、Kolmogorov、Lévy )
不平等	バークホルダー・デイビス・ガンディドゥーブのマーチンゲールドゥーブのアップクロッシング國田・渡辺マルチンキェヴィチ・ジグムント
ツール	キャメロン・マーティン式確率変数の収束ドリアン・デイド指数関数ドゥーブ分解定理ドゥーブ・マイヤー分解定理ドゥーブのオプション停止定理ディンキンの式ファインマン・カック式濾過ギルサノフの定理無限小ジェネレータ伊藤積分伊藤の補題カルーネン・レーヴの定理コルモゴロフ連続定理コルモゴロフ拡張定理レヴィ・プロホロフ計量マリアヴァン計算マルチンゲール表現定理オプション停止定理プロホロフの定理二次関数反射原理スコロホード積分スコロホッドの表現定理スコロホード空間スネル封筒確率微分方程式田中時間を止めるストラトノビッチ積分均一な積分可能性通常の仮説ウィーナー空間クラシック抽象的な
分野	保険数理数学制御理論計量経済学エルゴード理論極値理論（EVT）大偏差理論数理ファイナンス数理統計学確率論待ち行列理論再生理論破滅理論信号処理統計確率解析時系列分析機械学習
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