エルミート随伴関数

Conjugate transpose of an operator in infinite dimensions

数学、特に作用素論においては、内積空間上の各線型作用素は、その空間上のエルミート随伴作用素（または随伴作用素）を次の規則に従って定義する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

ここで、 はベクトル空間上の内積です。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

随伴行列は、エルミート共役行列、あるいはシャルル・エルミートにちなんで単にエルミート行列^{[1]と呼ばれることもあります。}物理学などの分野では、特に量子力学におけるブラケット記法と組み合わせて使用​​される場合、A ^†と表記されることが多いです。演算子を行列で表せる有限次元では、エルミート随伴行列は共役転置行列（エルミート転置行列とも呼ばれます）で表されます。

上記の随伴作用素の定義は、ヒルベルト空間上の有界線型作用素にそのまま拡張される。この定義は、さらに、定義域が位相的に稠密であるが必ずしも等しくない、有界でない稠密定義作用素を含むように拡張されている。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

非公式な定義

ヒルベルト空間間の線型写像 を考える。詳細を考慮せずに、随伴作用素は（ほとんどの場合一意に定義される）次式を満たす 線型作用素である。 ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

ここではヒルベルト空間 における内積であり、これは第1座標では線形、第2座標では共役線形です。両方のヒルベルト空間が同一であり、 がそのヒルベルト空間上の作用素であるという特別な場合に注意しましょう。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle A}$

内積を双対 と交換することで、の随伴演算子（転置演算子とも呼ばれる）を定義できます。ここで、 は対応するノルムを持つバナッハ空間です。ここで（これも技術的なことは考慮しません）、その随伴演算子は次のように定義されます。 ${\displaystyle A:E\to F}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

つまり、の場合です。 ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$

ヒルベルト空間における上記の定義は、実際にはバナッハ空間の場合の応用に過ぎず、ヒルベルト空間をその双対（リースの表現定理）と同一視するものである。すると、がヒルベルト空間であり がバナッハ空間であるとき、作用素 の随伴も得られるのは当然である。この双対はと定義され、 ${\displaystyle A:H\to E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

バナッハ空間間の非有界作用素の定義

バナッハ空間と を仮定する。 およびを（おそらく有界でない）線型作用素で、稠密に定義されている（すなわち において稠密である）と仮定する。このとき、その随伴作用素は以下のように定義される。定義域は ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$ ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ ${\displaystyle D(A)\subset E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}$

ここで、任意だが固定のを と設定します。 の選択と の定義により、 f は のとき（一様）連続です。次に、ハーン・バナッハの定理により、あるいは連続性による拡張を通じて、 の拡張（ ）が得られます。これはの全体にわたって定義されます。この専門的知識は、後で の代わりに を演算子として得るために必要です。また、これは がの全体にわたって拡張できることを意味するのではなく、拡張は の特定の要素に対してのみ機能することにも注意してください。 ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$

さて、の随伴関数を次のように定義できる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}$

根本的な定義のアイデンティティは

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$のために ${\displaystyle u\in D(A).}$

ヒルベルト空間間の有界作用素の定義

Hが複素ヒルベルト空間で、内積 が であるとする。連続線型作用素A  : H → Hを考える（線型作用素の場合、連続性は有界作用素であることと同値である）。すると、 Aの随伴作用素は、次を満たす連続線型作用素A ^∗  : H → Hとなる。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

この演算子の存在と一意性はリース表現定理から導かれる。^[2]

これは、標準的な複素内積を含む同様の特性を持つ正方行列の随伴行列の一般化として考えることができます。

プロパティ

有界作用素のエルミート随伴作用素の以下の性質は明らかである: ^[2]

1. 反転性：A ^∗∗ = A
2. Aが逆行列を持つならば、A ^∗も逆行列を持つ。 ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. 共役線形性：
   • ( A + B ) ^∗ = A ^∗ + B ^∗
   • ( λA ) ^∗ = λ A ^∗、ここでλは複素数λの複素共役を表す。
4. 「反分配性」：（AB）^∗ = B ^∗ A ^∗

Aの演算子ノルムを次のように定義すると、

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

それから

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

さらに、

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

この条件を満たすノルムは、自己随伴演算子のケースから外挿すると、「最大値」のように動作すると言われています。

複素ヒルベルト空間H上の有界線形作用素の集合は、随伴作用素および作用素ノルムとともにC*-代数のプロトタイプを形成します。

ヒルベルト空間間の稠密に定義された非有界作用素の随伴

意味

第一引数において内積は線型であるとする。複素ヒルベルト空間Hからそれ自身への稠密に定義された作用素Aは、その定義域D ( A )がHの稠密線型部分空間であり、その値がHに含まれる線型作用素である。^[3]定義により、その随伴作用素A ^∗の定義域D ( A ^∗ )は、次を満たすz ∈ Hが存在するようなすべてのy ∈ Hの集合である。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}$

の密度とリース表現定理により、は一意に定義され、定義により、^[4] ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A^{*}y=z.}$

特性1.～5.は、ドメインとコドメインに関する適切な条項によって成り立つ。^{[説明が必要]}例えば、最後の特性は、A、B、ABが稠密に定義された作用素であるとき、 ( AB ) ^∗はB ^∗ A ^∗の拡張であると述べている。^[5]

カーA^*= (私はA)^⊥

任意の線形関数は0なので、 ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

逆に、 という仮定は、汎関数が恒等的にゼロになることを保証しています。汎関数は明らかに有界であるため、 の定義はであることを保証します。任意の に対して であるという事実は、が稠密であることを前提としていることを示しています。 ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle y\in D(A^{*}).}$ ${\displaystyle x\in D(A),}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ ${\displaystyle D(A)}$

この特性は、 が位相的に閉じた部分空間でない場合でも が位相的に閉じた部分空間であることを示します。 ${\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$

幾何学的解釈

とがヒルベルト空間であるならば、は内積 ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}$

どこでそして ${\displaystyle a,c\in H_{1}}$ ${\displaystyle b,d\in H_{2}.}$

をシンプレクティック写像とする。つまりグラフ ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$ ${\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}$

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}$

の直交補集合は ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle JG(A):}$

${\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}$

この主張は、同値関係から導かれる。

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}$

そして

${\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}$

帰結

あ^*閉鎖中

グラフが位相的に閉じている場合、演算子は閉じています。随伴演算子のグラフは、部分空間の直交補空間であるため、閉じています。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle H\oplus H.}$ ${\displaystyle G(A^{*})}$ ${\displaystyle A^{*}}$

あ^*密に定義されている ⇔ A は閉じられる

グラフの位相閉包が関数のグラフである場合、作用素は閉包可能である。は（閉）線型部分空間であるため、「関数」という語は「線型作用素」に置き換えられる。同様の理由から、が閉包可能であるのは、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle v=0.}$

随伴項が稠密に定義されるのは、閉包可能である場合のみである。これは、任意の ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v\in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

これは、次の同値性の連鎖を通じて証明されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}$

あ^**= A^cl

作用素の閉包と は、グラフが関数を表す場合のグラフである作用素のことである。前述のように、「関数」という語は「作用素」に置き換えられる。さらに、 ${\displaystyle A^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}$ ${\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}$

これを証明するには、すべての ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}$

特に、すべての部分空間に対して、次の場合のみである。したがって、代入すると、 ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$ ${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ ${\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}$ ${\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}$ ${\displaystyle V=G(A),}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

あ^*= (A^cl）^*

閉じられる演算子の場合、確かに、 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}$ ${\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}$

${\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}$

副項が密に定義されていない場合の反例

を線形測度とする。測定可能で有界で非同一零関数を選択し、定義を 選択する。 ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}$

部分空間はコンパクト台を持つすべての関数を含む。は稠密に定義されているので、すべての関数と ${\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ ${\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}$

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

したがって、随伴作用素の定義は、次の式が成り立つことを要求する。これは、次の場合にのみ可能である。この理由から、したがって、は稠密に定義されておらず、かつ、上では同一にゼロである。結果として、は閉包可能ではなく、第2随伴作用素を持たない。 ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*}).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}.}$

エルミート演算子

有界作用素 A  : H → Hがエルミート作用素または自己随伴作用素と呼ばれるのは、

${\displaystyle A=A^{*}}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[6]

ある意味で、これらの演算子は実数の役割を果たし（それ自身の「複素共役」に等しいため）、実ベクトル空間を形成します。これらは量子力学における実数値観測量のモデルとして機能します。詳細については、自己随伴演算子に関する記事を参照してください。

共役線形作用素の随伴作用素

共役線型作用素の場合、複素共役を補正するために随伴作用素の定義を調整する必要がある。複素ヒルベルト空間H上の共役線型作用素Aの随伴作用素は、共役線型作用素A ^∗  : H → Hであり、以下の性質を持つ。

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

その他の副詞

方程式

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

は、カテゴリ理論における随伴関数のペアの定義特性と形式的には似ており、これが随伴関数の名前の由来です。

参照

• 数学の概念
  • 共役転置
  • エルミート演算子
  • プルバック § 機能分析
  • 線形写像の転置
• 物理的な応用
  • オペレーター（物理学）
  • †-代数

参考文献

1. ミラー、デイビッドAB (2008). 『科学者とエンジニアのための量子力学』ケンブリッジ大学出版局. pp. 262, 280.
2. リード & サイモン 2003、186–187 ページ。ルーディン 1991、§12.9
3. 詳細については、無制限演算子を参照してください。
4. リード＆サイモン 2003, p. 252; ルディン 1991, §13.1
5. ルディン 1991, Thm 13.2
6. リード＆サイモン 2003, pp. 187; ルディン 1991, §12.11

• ブレジス、ハイム（2011年）、関数解析、ソボレフ空間、偏微分方程式（初版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-70913-0。
• リード、マイケル；サイモン、バリー（2003）『機能分析』エルゼビア、ISBN 981-4141-65-8。
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。

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