繊維束の種類
数学において、 アフィン束と は、 その典型繊維、繊維、自明化射、遷移関数がアフィンである 繊維束のことである。 [1]
をベクトル空間 の 典型ファイバーを持つ ベクトル束 とします 。 ベクトル 束をモデル化した アフィン束は 、その典型ファイバーが 以下の条件を満たす アフィン 空間 をモデル化した ファイバー束です。 π ¯ : はい ¯ → X {\displaystyle {\overline {\pi}}:{\overline {Y}}\to X} F ¯ {\displaystyle {\overline {F}}} π ¯ : はい ¯ → X {\displaystyle {\overline {\pi}}:{\overline {Y}}\to X} π : はい → X {\displaystyle \pi :Y\to X} F {\displaystyle F} F ¯ {\displaystyle {\overline {F}}}
(i) のすべてのファイバーは、 ベクトル束の 対応するファイバー上にモデル化されたアフィン空間です 。 はい × {\displaystyle Y_{x}} はい {\displaystyle Y} はい ¯ × {\displaystyle {\overline {Y}}_{x}} はい ¯ {\displaystyle {\overline {Y}}}
(ii) アフィンバンドルアトラスが存在し、 その局所自明化射と遷移関数は アフィン同型 である。 はい → X {\displaystyle Y\to X}
アフィンバンドルを扱う場合、 アフィン遷移関数を持つ
アフィンバンドル座標のみを使用する。 （ × μ 、 y 私 ） {\displaystyle (x^{\mu},y^{i})}
y ′ 私 ＝ あ j 私 （ × ν ） y j + b 私 （ × ν ） 。 {\displaystyle y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu })y^{j}+b^{i}(x^{\nu }).} バンドル射 がある
はい × X はい ¯ ⟶ はい 、 （ y 私 、 y ¯ 私 ） ⟼ y 私 + y ¯ 私 、 {\displaystyle Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^{i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}^{i},} はい × X はい ⟶ はい ¯ 、 （ y 私 、 y ′ 私 ） ⟼ y 私 − y ′ 私 、 {\displaystyle Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i},} ここで、は 線形遷移関数を持つ ベクトル束上の線形束座標です 。 （ y ¯ 私 ） {\displaystyle ({\overline {y}}^{i})} はい ¯ {\displaystyle {\overline {Y}}} y ¯ ′ 私 ＝ あ j 私 （ × ν ） y ¯ j {\displaystyle {\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline {y}}^{j}}
プロパティ アフィンバンドルは大域 切断 を持つが、ベクトルバンドルとは異なり、アフィンバンドルの標準的な大域切断は存在しない。 ベクトルバンドル をモデル化したアフィンバンドルを とする。 アフィンバンドルの すべての大域切断は、 バンドル射を生成する。 π : はい → X {\displaystyle \pi :Y\to X} π ¯ : はい ¯ → X {\displaystyle {\overline {\pi}}:{\overline {Y}}\to X} s {\displaystyle s} はい → X {\displaystyle Y\to X}
はい ∋ y → y − s （ π （ y ） ） ∈ はい ¯ 、 はい ¯ ∋ y ¯ → s （ π （ y ） ） + y ¯ ∈ はい 。 {\displaystyle Y\ni y\to ys(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\pi (y))+{\overline {y}}\in Y.} 特に、 これらの射により、すべてのベクトル束は自然なアフィン束の構造を持ちます。ここで、 は の標準的な零値切断です 。例えば、 多様体の 接束は 自然にアフィン束になります。 はい {\displaystyle Y} s ＝ 0 {\displaystyle s=0} はい {\displaystyle Y} T X {\displaystyle TX} X {\displaystyle X}
アフィンバンドルとは、 次元 の 典型ファイバーのアフィン変換の 一般アフィン 構造群 を持つファイバーバンドルである 。この構造群は常に 一般線型群 に 還元可能 である。すなわち、アフィンバンドルは線型遷移関数を持つアトラスを許容する。 はい → X {\displaystyle Y\to X} G あ （ メートル 、 R ） {\displaystyle GA(m,\mathbb {R} )} V {\displaystyle V} メートル {\displaystyle m} G L （ メートル 、 R ） {\displaystyle GL(m,\mathbb {R} )}
アフィンバンドルの射とは、 各ファイバーへの制限が アフィン写像となるバンドル射のことである。 ベクトルバンドル上にモデル化されたアフィンバンドル から ベクトルバンドル上にモデル化された アフィンバンドルへのすべてのアフィンバンドル射は 、一意の線型バンドル射を与える
。 Φ : はい → はい ′ {\displaystyle \Phi :Y\to Y'} はい {\displaystyle Y} Φ : はい → はい ′ {\displaystyle \Phi :Y\to Y'} はい {\displaystyle Y} はい ¯ {\displaystyle {\overline {Y}}} はい ′ {\displaystyle Y'} はい ¯ ′ {\displaystyle {\overline {Y}}'}
Φ ¯ : はい ¯ → はい ¯ ′ 、 y ¯ ′ 私 ＝ ∂ Φ 私 ∂ y j y ¯ j 、 {\displaystyle {\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline {Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}}^{j},} の 線形微分 と呼ばれる 。 Φ {\displaystyle \Phi }
参照
注記 ^ Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30 , retrieved 2013-05-28 （60ページ）
参考文献 小林 誠・野水 健 『微分幾何学の基礎』 第1巻・第2巻、Wiley-Interscience、1996年、 ISBN 0-471-15733-3 。 Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in different geography (PDF) , Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30 , retrieved 2013-05-28 サルダナシュヴィリー, G. , 『理論家のための上級微分幾何学：ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論 』Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886 . サンダース、DJ（1989）、 ジェットバンドルの幾何学 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 0-521-36948-7 
