エアリー機能

物理学において、エアリー関数（あるいは第一種エアリー関数） $Ai(x)$ は、イギリスの天文学者ジョージ・ビデル・エアリー（1801–1892）にちなんで名付けられた特殊関数である。関数Ai( x )と関連関数Bi( x )は、エアリー方程式またはストークス方程式として知られる微分方程式の線形独立な解である。 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,$

線型微分方程式の解は $k$ $<0$ では振動型、 $k$ $>0$ では指数型となるため、エアリー関数は $x$ $<0では振動型、$ $x$ $>0$ では指数型となる。実際、エアリー方程式は、解の性質が振動型から指数型に変化する転換点を持つ最も単純な2階線型微分方程式である。 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-ky=0$

定義

$x$ の実数値に対して、第一種エアリー関数は、不定リーマン積分によって定義され、これはディリクレの判定によって収束する。任意の実数 $x$ に対して、区間において連続かつ有界でない導関数を持つ、増加、有界でない凸関数となる正の実数 $M$ が存在する。この区間における積分の収束は、次の代入の後にディリクレの判定によって証明できる。 $\operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,$ ${\textstyle {\tfrac {t^{3}}{3}}+xt}$ $[M,\infty ).$ ${\textstyle u={\tfrac {t^{3}}{3}}+xt.}$

$y = Ai(x)$ はエアリー方程式を満たすこの方程式には2つの線形独立な解が存在する。スカラー乗算を除けば、 $Ai($ $x$ $)は$ $x$ $\to \infty$ のときに $y$ $\to 0$ となる条件を満たす解である。もう一方の解として標準的な選択肢は、第二種エアリー関数 Bi( x ) である。これは、 $x$ $\to -\infty$ のときに $Ai($ $x$ $)$ と同じ振幅を持ち、位相が $π$ $/2$ だけ異なる解として定義される。 $y''-xy=0.$

$\operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.$

プロパティ

$Ai(x)$ と $Bi(x)$ の値と、 $x = 0$ におけるそれらの導関数は、次のように与えられる。ここで、 $Γは$ ガンマ関数を表す。したがって、 $Ai($ $x$ $)$ と $Bi($ $x$ $)$ のロンスキアンは $1/$ $π$ となる。 ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}},\\\operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \!\left({\frac {2}{3}}\right)}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{1/6}}{\Gamma \!\left({\frac {1}{3}}\right)}}.\end{aligned}}$

$x$ が正のとき、 $Ai(x)は正の$ 凸関数で、指数関数的にゼロに向かって減少します。一方、 $Bi(x)$ は正の凸関数で、指数関数的に増加します。x が負のとき $、$ Ai $(x)$ と $Bi(x)$ はゼロ付近で振動し、周波数は増加し続け、振幅は減少し続けます。これは、エアリー関数の以下の漸近公式によって裏付けられています。

エアリー関数は、不定リーマン積分を使用するという意味で直交している^{[1] 。} $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (x-y)$

$Ai(x)$ とその導関数 $Ai'($ $x$ $)$ の実零点

$Ai(x)$ とその導関数 $Ai'(x)$ はどちらも正の実零点を持たない。「最初の」実零点（つまり x=0 に最も近いもの）は以下の通りである: ^[2]

$Ai(x)$ の「最初の」零点は $x$ $\approx -2.33811、-4.08795、-5.52056、-6.78671、...$ です。
その導関数 $Ai'(x)の「最初の」零点は$ $x$ $\approx -1.01879、-3.24820、-4.82010、-6.16331、...$ である。

漸近公式

後述するように、エアリー関数は複素平面に拡張することができ、整関数となる。 $| z |が$ $arg (z)$ の一定値で無限大に近づくにつれて、エアリー関数の漸近的挙動は $arg(z)$ に依存する。これはストークス現象と呼ばれる。 $| arg(z) | < π$ $の場合、 Ai($ $z$ $)$ の漸近式は次のようになる：^[3]

$\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {1}{2{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$ または、特に最初の数項は^[4] $Bi($ $z$ $)$ にも同様の式があるが、 $|$ $arg($ $z$ $)$ $|<$ $π$ $/3$ の場合にのみ適用可能である。 $\operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-\zeta }}{4\pi ^{3/2}\,z^{1/4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)}{n!(-2\zeta )^{n}}}\right].$ $\zeta ={\tfrac {2}{3}}z^{3/2}.$ $\operatorname {Ai} (z)={\frac {e^{-\zeta }}{2\pi ^{1/2}z^{1/4}}}\left(1-{\frac {5}{72\zeta }}+{\frac {385}{10368\zeta ^{2}}}+O(\zeta ^{-3})\right)$

$\operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$ $π$ $/3 < |$ $arg($ $z$ $)$ $| <$ $π$ の場合の $Ai(z)$ と $Bi(z)$ のより正確な式、または、 | arg( z ) | $< 2$ $π$ $/3$ だがゼロではない場合の $Ai$ $(-$ $z$ $)$ と $Bi$ $($ $- z$ $)$ $のより正確$ $な$ 式は、次のとおりである: ^[3]^[5] ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}\ {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{1/4}}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right].\end{aligned}}$

$| arg(z) | = 0$ のとき、これらは良好な近似値ですが、漸近的ではありません。なぜなら、 $Ai(- z)$ または $Bi(- z)$ と上記の近似値の比は、正弦または余弦がゼロになるたびに無限大になるからです。これらの極限に対する漸近展開も利用可能です。これらは ( Abramowitz and Stegun , 1983) および (Olver, 1974) に記載されています。

$導関数Ai'(z)$ と $Bi'(z)$ の漸近的な表現も得ることができる。前述と同様に、 $| arg(z) | < πの$ とき：^[5]

$\operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{1/4}}{2{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$

$| arg(z) | < π /3$ のとき、次式が成り立ちます: ^[5]

$\operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\exp \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}}{\dfrac {\Gamma \!\left(n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi \,n!\,z^{3n/2}}}\right].$

$同様に、 |$ $arg($ $z$ $)$ $| < 2$ $π$ $/3$ かつ 0 ではない場合の $Ai'(- z)$ と $Bi'(- z)$ の式は^{[5]である。}

${\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}\ {\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {5}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {1}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi \,(2n)!\,z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{1/4}}{{\sqrt {\pi }}\,}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{3/2}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {11}{6}}\right)\,\Gamma \!\left(2n+{\frac {7}{6}}\right)\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi \,(2n+1)!\,z^{3n\,+\,3/2}}}\right]\\\end{aligned}}$

複雑な議論

エアリー関数の定義を複素平面に拡張すると、積分は無限遠点から偏 $角$ $π$ $/3$ で始まり、無限遠点から偏角π/3で終わる経路Cに沿って行われます。あるいは、微分方程式 $y$ $" -$ $xy$ $= 0を用いて、$ $Ai($ $x$ $)$ と $Bi($ $x$ $)を複素平面上の$ 関数全体に拡張することもできます。 $\operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

$Ai(x)$ の漸近公式は、 $x 2/3$ の主値が取られ、 $x が$ 負の実軸から離れて有界である場合でも、複素平面上で有効です。Bi $(x)の公式は、$ $x が$ 正の δ に対してセクター内にある場合に有効です。最後に、 $Ai(-$ $x$ $)$ と $Bi(-$ $x$ $)$ の公式は、 $x が$ セクター内にある場合に有効です。 $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {\pi }{3}}-\delta$ $x\in \mathbb {C} :\left|\arg(x)\right|<{\tfrac {2\pi }{3}}-\delta .$

エアリー関数の漸近的挙動から、 $Ai(x)$ と $Bi(x)$ はともに負の実軸上に無限個の零点を持つことがわかる。関数 $Ai(x)$ は複素平面上に他の零点を持たないが、関数 $Bi(x)$ はセクター上にも無限個の零点を持つ。 $z\in \mathbb {C} :{\tfrac {\pi }{3}}<\left|\arg(z)\right|<{\tfrac {\pi }{2}}.$

プロット

$\Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]$	$\left\|\operatorname {Ai} (x+iy)\right\|\,$	$\operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,$

$\Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]$	$\left\|\operatorname {Bi} (x+iy)\right\|\,$	$\operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,$

他の特殊関数との関係

正の引数に対して、エアリー関数は修正ベッセル関数と関連している。ここで、 $I$ $\pm1/3$ と $K$ $1/3$ は、 ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\operatorname {Bi} (x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$ $x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.$

エアリー関数の1階微分は $\operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right).$

関数 $K 1/3$ と $K 2/3$ は急速に収束する積分で表される^{[6] （}修正ベッセル関数も参照）

負の引数の場合、エアリー関数はベッセル関数と関連している。ここで、 $J$ $\pm1/3$ は ${\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left[J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right],\\\operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[J_{-1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\!\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right].\end{aligned}}$ $x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\frac {1}{9}}\right)y=0.$

スコアラー関数 $Hi(x)$ と $-Gi(x)$ は方程式 $y " - xy = 1/π$ を解きます。これらはエアリー関数で表すこともできます。 ${\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\operatorname {Ai} (t)\,dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

フーリエ変換

エアリー関数 Ai( x )の定義を用いると、そのフーリエ変換は次のように表せることが容易に分かる。これは、エアリー方程式のフーリエ変換を行うことで得られる。とおくと、となり、解が存在する。フーリエ変換では $y が$ 十分速くゼロに減衰する必要があるため、解は1次元しかない。Bi $は$ 指数関数的に速く無限大に増加するため、フーリエ変換では得ることができない。 ${\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.$ ${\textstyle {\hat {y}}={\frac {1}{2\pi i}}\int ye^{-ikx}dx}$ $i{\hat {y}}'+k^{2}{\hat {y}}=0$ ${\hat {y}}=Ce^{ik^{3}/3}.$

アプリケーション

量子力学

エアリー関数は、三角形のポテンシャル井戸内に閉じ込められた粒子、および一次元定数力場内の粒子に対する、時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解である。同じ理由から、エアリー関数は、 WKB近似の転換点付近において、ポテンシャルが局所的に位置の線形関数で近似できる場合に、一様な半古典的近似を与えるのにも役立つ。三角形のポテンシャル井戸解は、半導体ヘテロ接合に閉じ込められた電子の理解に直接関連している。

光学

横方向に非対称な光ビーム（電場プロファイルがエアリー関数で与えられる）は、その最大強度が対称ビームの場合のように直線的に伝播するのではなく、片側に向かって加速するという興味深い特性を持つ。これは、低強度の裾野が反対方向に広がることを犠牲にしているため、ビーム全体の運動量は当然ながら保存される。

コースティクス

エアリー関数は、虹（いわゆる過剰虹）のような、光の方向性を持つ火面近傍の強度分布の形状を規定する。歴史的に、この数学的問題がエアリーにこの特殊な関数の開発を促した。1841年、ウィリアム・ハロウズ・ミラーは、薄い水筒に光を当て、望遠鏡で観測することで、過剰虹に類似した現象を実験的に測定した。彼は最大30本の虹を観測した。^[7]

確率

1980年代半ばに、エアリー関数はチェルノフ分布と密接に関係していることが判明した。^[8]

エアリー関数は、ランダム行列における最大固有値の法則を記述するトレーシー・ウィドム分布の定義にも現れる。ランダム行列理論とカルダー・パリシ・チャン方程式は密接に関連しているため、KPZではエアリー過程などの中心的過程が構築されている。^[9]

歴史

エアリー関数は、イギリスの天文学者で物理学者のジョージ・ビデル・エアリー（1801–1892）にちなんで名付けられました。彼は物理学における光学の研究初期（Airy 1838）でこの関数に出会いました。Ai( x )という表記法はハロルド・ジェフリーズによって導入されました。エアリーは1835年に英国王立天文官に就任し、1881年に引退するまでその職を務めました。

参照

エアリーゼータ関数

注記

^ Aspnes, David E. (1966). 「固体の閾値近傍における光吸収に対する電界効果」. Physical Review . 147 (2): 554– 566. doi :10.1103/PhysRev.147.554. ISSN 0031-899X.
^ 「エアリー関数と関連関数」dlmf.nist.gov . 2022年10月9日閲覧。
^ ab Abramowitz & Stegun (1983, p. 448)、式 10.4.59、10.4.61
^ 「DLMF: §9.7 漸近展開 ‣ エアリー関数 ‣ 第9章エアリー関数と関連関数」dlmf.nist.gov . 2023年5月11日閲覧。
^ abcd Abramowitz & Stegun (1983, p. 448)、式10.4.60および10.4.64
^ M.Kh.Khokonov. ハード光子の放出によるエネルギー損失のカスケードプロセス // JETP, V.99, No.4, pp. 690-707 \ (2004).
^ ウィリアム・ハロウズ・ミラー「偽りの虹について」ケンブリッジ哲学協会紀要7（1848年）：277。
^ Groeneboom, Piet; Lalley, Steven; Temme, Nico (2015). 「チェルノフ分布と放物型およびエアリー型の微分方程式」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 423 (2): 1804– 1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . S2CID 119173815.
^ クアステル, ジェレミー; レメニック, ダニエル (2014). 「エアリー過程と変分問題」.浸透系と無秩序系の話題. シュプリンガー数学・統計学会誌. 第69巻. pp. 121– 171. arXiv : 1301.0750 . doi :10.1007/978-1-4939-0339-9_5. ISBN 978-1-4939-0338-2. S2CID 118241762。

参考文献

アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第10章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月発行の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版。448頁。ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253 .
エアリー（1838）「腐食物質近傍における光の強度について」ケンブリッジ哲学協会紀要、6、大学出版局：379-402、書誌コード：1838TCaPS...6..379A
フランク・ウィリアム・ジョン・オルバー（1974年）『漸近論と特殊関数』第11章、アカデミック・プレス、ニューヨーク。
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)「Section 6.6.3. Airy Functions」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第3版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-88068-8、2011年8月11日にオリジナルからアーカイブされ、2011年8月9日に取得
ヴァレー、オリヴィエ、ソアレス、マヌエル（2004年）、エアリー関数と物理学への応用、ロンドン：インペリアル・カレッジ・プレス、ISBN 978-1-86094-478-9, MR 2114198, 2010年1月13日にオリジナルからアーカイブ、 2010年5月14日取得

外部リンク

「エアリー関数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
ワイスタイン、エリック・W.「エアリー関数」。MathWorld。
Ai関数とBi関数のWolfram関数ページ。数式、関数評価、プロット計算機能が含まれています。
Olver, FWJ (2010)、「エアリー関数と関連関数」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5、MR 2723248。

[1] Aspnes, David E. (1966). 「固体の閾値近傍における光吸収に対する電界効果」. Physical Review . 147 (2): 554– 566. doi :10.1103/PhysRev.147.554. ISSN 0031-899X.

[2] 「エアリー関数と関連関数」dlmf.nist.gov . 2022年10月9日閲覧。

[:0-3] Abramowitz & Stegun (1983, p. 448)、式 10.4.59、10.4.61

[4] 「DLMF: §9.7 漸近展開 ‣ エアリー関数 ‣ 第9章エアリー関数と関連関数」dlmf.nist.gov . 2023年5月11日閲覧。

[:1-5] Abramowitz & Stegun (1983, p. 448)、式10.4.60および10.4.64

[6] M.Kh.Khokonov. ハード光子の放出によるエネルギー損失のカスケードプロセス // JETP, V.99, No.4, pp. 690-707 \ (2004).

[7] ウィリアム・ハロウズ・ミラー「偽りの虹について」ケンブリッジ哲学協会紀要7（1848年）：277。

[8] Groeneboom, Piet; Lalley, Steven; Temme, Nico (2015). 「チェルノフ分布と放物型およびエアリー型の微分方程式」. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 423 (2): 1804– 1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . S2CID 119173815.

[9] クアステル, ジェレミー; レメニック, ダニエル (2014). 「エアリー過程と変分問題」.浸透系と無秩序系の話題. シュプリンガー数学・統計学会誌. 第69巻. pp. 121– 171. arXiv : 1301.0750 . doi :10.1007/978-1-4939-0339-9_5. ISBN 978-1-4939-0338-2. S2CID 118241762。

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