アク特異点

Description of the degeneracy of a function

数学、特に特異点理論において、A _k特異点（k ≥ 0は整数）は関数の退化の度合いを表す。この表記法はVI Arnoldによって導入された。

を滑らかな関数とする。そのような関数全体の無限次元空間を で表す。 を無限次元微分同相写像のリー群と無限次元微分同相写像のリー群と表す。積群は次のように作用する。を と を任意の滑らかな関数とする。群作用を次のように定義する。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \operatorname {diff} (\mathbb {R} ^{n})\times \operatorname {diff} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (\varphi ,\psi )\cdot f:=\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}}$

この群作用のfの軌道はorb( f )と表され、次のように与えられる。

${\displaystyle {\mbox{orb}}(f)=\{\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}:\varphi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} ^{n}),\psi \in {\mbox{diff}}(\mathbb {R} )\}\ .}$

この作用の与えられた軌道の元には、次の共通点がある。⁠ ⁠ における微分同相座標変換と⁠ ⁠ における微分同相座標変換があり、軌道 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の一方 ${\displaystyle \mathbb {R} }$の元が他の任意の元に移る。関数fがA型_k特異点を持つとは、それがの軌道上にあるときである 。

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=1+\varepsilon _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\varepsilon _{n-1}x_{n-1}^{2}\pm x_{n}^{k+1}}$

ここで、k ≥ 0は整数です。 ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$

正規形とは、_任意の軌道の特に単純な代表値を意味します。上記のfの式は、 A型_k特異点の正規形を示しています。A型k特異点は、単純特異点の中に含まれるため特別です。つまり、 fの軌道の 十分に狭い近傍には、他の軌道が有限個しか存在しないことを意味します。

この考え方は、正規形がはるかに単純な複素数にも適用されます。たとえば、ε _i = +1とε _i = −1を区別する必要はありません。

参考文献

• アーノルド、VI; ヴァルチェンコ、AN; グセイン・ザデ、SM (1985)、「臨界点、コースティクス、波面の分類：微分可能写像の特異点」第1巻、ビルクハウザー、ISBN 0-8176-3187-9

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