アレクサンダーのトリック

Two homeomorphisms of the n-ball which agree on the boundary sphere are isotopic

アレクサンダー トリック (アレクサンダー トリックとも呼ばれる) は、幾何学的位相幾何学における基本的な結果であり、JW アレクサンダーにちなんで名付けられました。

声明

境界球面上で一致するn次元球の2 つの同相写像は同位体である。 ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

より一般的には、境界上で同位体となる 2 つの同相写像は同位体です。 ${\displaystyle D^{n}}$

証拠

基本ケース: 境界を固定するすべての同相写像は、境界に対する恒等写像と同位体です。

が を満たす場合、fと恒等式を結び付ける同位体は次のように与えられる。 ${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle f(x)=x{\text{ for all }}x\in S^{n-1}}$

${\displaystyle J(x,t)={\begin{cases}tf(x/t),&{\text{if }}0\leq \|x\|<t,\\x,&{\text{if }}t\leq \|x\|\leq 1.\end{cases}}}$

視覚的には、同相写像は境界から「まっすぐに伸ばされ」、原点に向かって「絞り込まれ」ます。ウィリアム・サーストンはこれを「すべての絡み合いを一点にまとめる」と呼んでいます。2ページの原論文で、JW・アレクサンダーは、それぞれの変換が半径 の円板上で異なるスケールで複製され、したがって が恒等写像に収束すると期待するのが合理的であると説明しています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\rightarrow 0}$ ${\displaystyle J_{t}}$

微妙な点は、において が「消える」ことです。つまり、原点の芽は の無限に引き伸ばされたバージョンから恒等写像へと「飛び移る」のです。ホモトピーの各ステップは平滑化（遷移を滑らかにする）できますが、ホモトピー（全体の写像）は で特異点を持ちます。これは、アレクサンダー・トリックがPL構成ではあるものの、滑らかではないことを強調しています。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,t)=(0,0)}$

一般的なケース：境界上の同位体は同位体を意味する

が で一致する2つの同相写像である場合、 は上の恒等写像なので、恒等写像から への同相写像が成り立ちます。したがって、 はから への同相写像となります。 ${\displaystyle f,g\colon D^{n}\to D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle gJ}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

放射状伸展

一部の著者は、のすべての同相写像は球全体の同相写像に拡張できるという主張に対して「アレクサンダー トリック」という用語を使用します。 ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$

しかし、これは上で説明した結果よりもはるかに簡単に証明できます。これは放射状拡張 (または円錐化) と呼ばれ、区分線形にも当てはまりますが、滑らかではありません。

具体的には、同相写像とすると、 ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle F\colon D^{n}\to D^{n}{\text{ with }}F(rx)=rf(x){\text{ for all }}r\in [0,1]{\text{ and }}x\in S^{n-1}}$球の同相写像を定義します。

エキゾチックな球体

滑らかな放射状拡張の失敗と PL 放射状拡張の成功により、ねじれた球体を経てエキゾチックな球体が生成されます。

参照

• クラッチ構造

参考文献

• ハンセン、ヴァグン・ルンドガード (1989).組紐と被覆：選択されたトピック. ロンドン数学会学生テキスト. 第18巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511613098. ISBN 0-521-38757-4. MR  1247697。
• Alexander, JW (1923). 「n-セルの変形について」.米国科学アカデミー紀要. 9 (12): 406– 407. Bibcode : 1923PNAS....9..406A. doi : 10.1073/pnas.9.12.406 . PMC  1085470. PMID  16586918 .

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