代数関数

Mathematical function

数学において、代数関数とは、既約多項式方程式の根として定義できる関数です。代数関数は、多くの場合、有限個の項を用いた代数式であり、加算、減算、乗算、除算、分数乗といった代数演算のみを含みます。このような関数の例としては、以下のものがあります。

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

しかしながら、代数関数の中には、そのような有限表現では表せないものもあります（これはアーベル・ルフィニの定理です）。例えば、ブリング根号は、次のように暗黙的に定義される関数です。

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$。

より正確に言えば、 1変数xのn次代数関数とは、その定義域で連続であり、正次多項式方程式を満たす関数である。 ${\displaystyle y=f(x),}$

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

ここで、係数a _i ( x )は整数係数を持つxの多項式関数である。 a _i ( x )の係数に代数的数を受け入れると、同じクラスの関数が得られることが示される。係数に超越数が含まれる場合、関数は一般に代数的ではないが、これらの係数によって生成される体上では代数的である。

代数関数の有理数における値、そしてより一般的には代数的数における値は、常に代数的数である。環R上の多項式となる係数が考慮される場合があり、その場合は「 R上の代数的関数」と呼ばれる。 ${\displaystyle a_{i}(x)}$

代数関数ではない関数は超越関数と呼ばれます。例えば がこれに該当します。超越関数を合成すると代数関数 が得られます 。 ${\displaystyle \exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)}$ ${\displaystyle f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$

n次 の多項式方程式は最大でn 個の根を持つ（そして複素数のような代数的に閉体上では正確にn個の根を持つ）ため、多項式方程式は暗黙的に単一の関数を定義するのではなく、最大でn 個の関数（枝とも呼ばれる）を定義する。例えば、単位円の方程式を考えてみよう。これはy を決定するが、全体の符号以外は決定しないため、2つの枝を持つ。 ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

m変数の代数関数は、同様に、 m + 1 変数の多項式方程式を解く関数として定義されます。 ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

通常、 p は既約多項式であると仮定されます。この場合、代数関数の存在は暗黙関数定理によって保証されます。

正式には、体K上のm変数の代数関数は、有理関数体K ( x ₁、...、x _m ) の代数閉包の元です。

1変数の代数関数

はじめにと概要

代数関数の非公式な定義は、その性質に関する多くの手がかりを与えてくれます。直感的な理解を深めるためには、代数関数を、通常の代数演算、すなわち加算、乗算、除算、そしてn乗根を求めることで形成される関数と捉えると分かりやすいかもしれません。これはやや単純化しすぎていますが、ガロア理論の基本定理により、代数関数は必ずしも根号で表す必要はありません。

まず、多項式関数 は代数関数であることに注意する。なぜなら、それは単に方程式の解yだからである。 ${\displaystyle y=p(x)}$

${\displaystyle y-p(x)=0.\,}$

より一般的には、任意の有理関数 は代数的であり、 ${\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}}$

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0.}$

さらに、任意の多項式のn乗根は代数関数であり、次の方程式を解くと ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

驚くべきことに、代数関数の逆関数は代数関数です 。yが

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

xの各値に対してxはyの各値に対してもこの方程式の解となる。実際、 xとyの役割を入れ替えて項をまとめると、

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

x をyの関数として書くと、逆関数、つまり代数関数が得られます。

しかし、すべての関数に逆関数が存在するわけではありません。例えば、y = x ^2は水平線テストに不合格です。つまり、一対一対応ではないのです。逆関数は代数「関数」です。これを別の方法で理解すると、代数関数を定義する多項式方程式の枝の集合は代数曲線のグラフである、ということになります。 ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$

複素数の役割

代数的な観点から見ると、複素数は代数関数の研究に極めて自然に導入されます。まず、代数の基本定理により、複素数は代数的に閉体です。したがって、任意の多項式関係p ( y , x ) = 0 は、 yが実数値だけでなく複素数値もとれる限り、各点xにおいてyに対して少なくとも1つの解（一般にyにおけるpの次数を超えない数の解）を持つことが保証されます。したがって、代数関数の 定義域に関する問題は安全に最小化できます。

代数関数y （ y ³  −  xy + 1 = 0 ）の 3 つの枝のグラフ。領域 3/2 ^2/3 < x < 50 上。

さらに、たとえ最終的に実代数関数に興味を持ったとしても、複素数に頼らなければ、その関数を加法、乗法、除法、n乗根で表現する手段がないかもしれない（ casus irreducibilis を参照）。例えば、次式で定義される代数関数を考えてみよう。

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

三次方程式の公式を用いると、

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

平方根は実数であり、したがって立方根は明確に定義され、唯一の実根を提供します。一方、平方根は実数ではないため、平方根を求めるには、実数ではない平方根のいずれかを選択する必要があります。したがって、立方根は3つの非実数の中から選択する必要があります。式の2つの項で同じ選択を行うと、立方根の3つの選択肢は、添付の図に示す3つの分岐になります。 ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$ ${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

結果として得られる関数が、示されたグラフのドメイン上で実数値であるにもかかわらず、実数のみを使用して この関数をn乗根で表現する方法がないことが証明される可能性があります。

より重要な理論的レベルでは、複素数を用いることで、複素解析の強力な手法を用いて代数関数を議論することが可能になります。特に、論証原理を用いることで、任意の代数関数は、少なくとも多価関数の意味で、実際には解析関数であることを示すことができます。

形式的には、複素変数xとyの複素多項式p ( x , y ) を考える。 x ₀ ∈ Cにおいて、 yの多項式p ( x ₀ , y ) はn個の異なる零点を持つとする。この代数関数がx ₀の近傍において解析的であることを示す。これらの零点のそれぞれを含む、 n 個の重なり合わない円 Δ _iの系を選ぶ。そして、議論原理により

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

連続性により、これはx ₀の近傍にあるすべてのxに対しても成り立つ。特に、p ( x , y ) は Δ _iにおいてただ1つの根しか持たず、これは留数定理によって与えられる。

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

これは解析関数です。

モノドロミー

前述の解析性の証明は、 n 個の異なる関数元 f _i ( x )からなる系に対する式を導出したが、 x はp ( x , y )の臨界点ではないことに注意されたい。臨界点とは、異なる零点の数がpの次数よりも小さくなる点であり、これはpの最高次項または判別式が零となる場合にのみ発生する。したがって、そのような点c ₁ , ..., c _{m は}有限個しか存在しない。

臨界点近傍における 関数元f _iの性質を詳細に解析することにより、モノドロミー被覆が臨界点（およびおそらく無限遠点）上で分岐していることを示すことができる。したがって、f _iの正則拡大は、最悪の場合でも、臨界点上で代数的極と通常の代数的分岐を持つ。

重要な点を除けば、

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}$

f _{i は}定義によりpの相異なる零点であるからである。モノドロミー群は因子を置換することによって作用し、こうしてpのガロア群のモノドロミー表現を形成する。（普遍被覆空間へのモノドロミー作用は、リーマン面の理論において関連しているが異なる概念である。）

歴史

代数関数を取り巻く考え方は、少なくともルネ・デカルトの時代まで遡ります。代数関数に関する最初の議論は、エドワード・ウェアリングが1794年に著した『人間知の原理に関する試論』で、彼は次のように記しています。

縦座標を表す量を横座標xの代数関数とし、一般的な除算と根の抽出法を使用して、それをxの次元に応じて昇順または降順の無限級数に簡約し、結果として得られる各項の積分を求めます。

参照

• 代数式
• 解析関数
• 複素解析
• 基本関数
• 関数（数学）
• 一般化関数
• 特殊関数の名詞一覧
• 関数の種類の一覧
• 多項式
• 有理関数
• 特殊機能
• 超越関数

参考文献

• アルフォース、ラース（1979年）『複素解析学』マグロウヒル社。
• ファン・デル・ワールデン、BL（1931年）。現代代数、第 2 巻。スプリンガー。

外部リンク

• 数学百科事典における「代数関数」の定義
• ワイスタイン、エリック・W.「代数関数」。MathWorld。
• PlanetMathの代数関数。
• 「代数関数」の定義は、David J. Darlingのインターネット科学百科事典のWayback Machineで2020年10月26日にアーカイブされました。

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