アルゴリズム冷却

Algorithm in quantum information theory

アルゴリズム冷却は、一部の量子ビットから他の量子ビットへ^[1]、あるいはシステム外の環境へ熱（またはエントロピー）を移動させるアルゴリズム的手法であり、冷却効果をもたらします。この手法は、量子ビットの集合体に対する規則的な量子演算を用いており、シャノンのデータ圧縮限界を超えることが示されています^[2]。この現象は、熱力学と情報理論の関連性から生じています。

冷却自体は、通常の量子演算を用いたアルゴリズム的な方法で行われます。入力は量子ビットの集合であり、出力はユーザーが指定した閾値まで冷却された量子ビットのサブセットです。この冷却効果は、量子計算のための冷却（高純度）量子ビットの初期化や、核磁気共鳴における特定のスピンの分極の増加に利用できる可能性があります。したがって、通常の量子計算の前に行われる初期化プロセスで使用することができます。

概要

量子コンピュータは、演算処理の元となる量子ビット（qubit）を必要とします。一般に、計算の信頼性を高めるには、量子ビットを可能な限り純粋にして、変動を最小限に抑える必要があります。量子ビットの純度はフォン・ノイマン・エントロピーと温度に関係するため、量子ビットを可能な限り純粋にすることは、量子ビットを可能な限り冷たくする（または、エントロピーを可能な限り少なくする）ことと同義です。量子ビットを冷却する方法の 1 つは、量子ビットからエントロピーを抽出して精製することです。これは、一般的に 2 つの方法で実行できます。可逆的（つまり、ユニタリ演算を使用する）または不可逆的（たとえば、熱浴を使用する）です。アルゴリズムによる冷却は、量子ビットのセットが与えられ、そのサブセットを望ましいレベルまで精製（冷却）する一連のアルゴリズムの名前です。

これは確率論的にも捉えることができます。量子ビットは2段階システムであるため、コイン、特に不公平なコインと見なすことができます。量子ビットの浄化とは（この文脈では）、コインを可能な限り不公平にする、つまり、異なる結果が出る確率の差を可能な限り大きくすることを意味します。さらに、前述のエントロピーは、あらゆるランダム変数にエントロピーを割り当てる情報理論のプリズムを用いて捉えることができます。したがって、浄化とは、確率的操作（古典的な論理ゲートや条件付き確率など）を用いてコインのエントロピーを最小化し、より不公平にすることと考えることができます。

アルゴリズム的手法が可逆的であり、系全体のエントロピーが変化しない場合、これは最初に「分子スケール熱機関」^{[3]と名付けられ、「可逆アルゴリズム冷却」とも呼ばれます。このプロセスでは、一部の量子ビットを冷却し、他の量子ビットを加熱します。これは}シャノンのデータ圧縮限界の変種によって制限され、漸近的に限界にかなり近づくことがあります。

より一般的な手法である「不可逆アルゴリズム冷却」は、システム外部から環境への熱の不可逆的な移動を利用する（したがって、シャノン限界を回避できる可能性がある）。このような環境は熱浴であり、これを利用するアルゴリズム群は「熱浴アルゴリズム冷却」と呼ばれる。^[4]このアルゴリズムプロセスでは、エントロピーは、他の量子ビットよりも環境と強く結合している特定の量子ビット（リセットスピンと呼ばれる）に可逆的に伝達される。これらのリセット量子ビットのエントロピーを増加させる一連の可逆的なステップの後、リセット量子ビットは環境よりも高温になる。その後、強い結合により、これらのリセットスピンから環境への（不可逆的な）熱伝達が生じる。このプロセス全体は繰り返すことができ、一部の量子ビットを低温にするために再帰的に適用することもできる。

背景

熱力学

アルゴリズムによる冷却は、古典的熱力学と量子熱力学の観点から議論することができます。

冷却

「冷却」の古典的な解釈は、ある物体から別の物体へ熱を移動させることです。しかし、同じプロセスをエントロピー移動と捉えることもできます。例えば、異なる温度で熱平衡状態にある2つの気体容器を接触させると、エントロピーは「より高温」（エントロピーが高い）の物体から「より低温」の物体へと移動します。このアプローチは、温度が必ずしも直感的に定義できない物体、例えば単一粒子の冷却を議論する際に用いることができます。したがって、スピンの冷却プロセスは、スピン間、あるいは系外へのエントロピー移動プロセスと考えることができます。

熱貯蔵庫

蓄熱体の概念は、古典熱力学（例えばカルノーサイクル）において広く議論されています。アルゴリズムによる冷却においては、蓄熱体、あるいは「熱浴」を、他の（「通常」サイズの）物体と接触しても温度が変化しない大きな物体とみなせば十分です。直感的には、常温の水を満たした浴槽に、高温の金属片を入れても実質的に温度が維持される様子を想像することができます。

前の節で述べたエントロピーの考え方を用いると、高温（エントロピーが大きい）とされる物体は、より低温の熱浴に熱（とエントロピー）を移動させることで、自身のエントロピーを低下させることができます。このプロセスにより、冷却が起こります。

2つの「通常の」物体間のエントロピー転送は系のエントロピーを保存しますが、熱浴へのエントロピー転送は通常、保存しないものとみなされます。これは、熱浴は通常、その大きさから、対象とする系の一部とは見なされないためです。したがって、エントロピーを熱浴に転送することで、実質的に系のエントロピーを低下させる、つまり冷却することができます。このアプローチを続けると、アルゴリズムによる冷却の目標は、量子ビット系のエントロピーを可能な限り低減し、冷却することです。

量子力学

概要

アルゴリズム冷却は量子系にも適用されます。したがって、中核となる原理と関連する表記法の両方に精通することが重要です。

量子ビット（または量子ビット）は、2つの状態（ およびと表記）の重ね合わせ状態をとることができる情報単位です。一般的な重ね合わせは と と表記されます。とからなる直交基底において量子ビットの状態を測定すると、確率で という結果が、確率 で という結果が得られます。 ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ,}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$

上記の記述は、量子純粋状態として知られています。一般的な混合量子状態は、純粋状態上の確率分布として作成することができ、一般形式 の密度行列によって表されます。ここで、各 は純粋状態 (ケットブラ記法 を参照) であり、各 は分布におけるの確率です。アルゴリズム冷却で主要な役割を果たす量子状態は、 の対角形式の混合状態です。基本的に、これは状態が確率 で純粋状態であり、確率 で純粋であることを意味します。ケットブラ記法では、密度行列は です。 の場合、状態は純粋と呼ばれ、 の場合、状態は完全混合と呼ばれます (正規化された単位行列によって表されます)。完全混合状態は、状態および上の均一な確率分布を表します。 ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}{\frac {1+\varepsilon }{2}}&0\\0&{\frac {1-\varepsilon }{2}}\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \varepsilon \in [-1,1]}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\textstyle {\frac {1+\varepsilon }{2}}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\textstyle {\frac {1-\varepsilon }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {1+\varepsilon }{2}}|0\rangle \langle 0|+{\frac {1-\varepsilon }{2}}|1\rangle \langle 1|}$ ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

国家の二極化または偏向

上記の状態は、完全に混合された状態から対角成分で ずれているため、-偏光または-バイアスと呼ばれます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

バイアスまたは分極を定義する別の方法は、ブロッホ球（または一般にブロッホ球）を使用することです。対角密度行列に制限されると、状態は、状態と（球の「北極と南極」）を表す反対称点を結ぶ直線上に存在することができます。この方法では、パラメータ（）は、完全に混合された状態を表す球の中心からの状態までの距離（符号を除く）とまったく同じです。 の場合、状態はまさに極上にあり、 の場合、状態はまさに中心にあります。バイアスは負の値（たとえば）になる場合があり、この場合、状態は中心と南極の中間にあります。 ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$

パウリ行列表現形式では、バイアスされた量子状態は^[4] ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+\varepsilon &0\\0&1-\varepsilon \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\left(I+(0,0,\varepsilon )\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}(I+\varepsilon \sigma _{z}).}$$

エントロピ

量子系が関係するため、ここで用いられるエントロピーはフォン・ノイマン・エントロピーです。上記の（対角）密度行列で表される単一量子ビットのエントロピーは（対数の底は）です。この式は、 「バイアス」 （表が出る確率）を持つ不公平なコインのエントロピーと一致します。バイアスのあるコインはエントロピーがゼロで決定論的であり、バイアスのあるコインはエントロピーが最大（ ）で公平です。 $${\displaystyle H(\varepsilon )=-\left({\frac {1+\varepsilon }{2}}\log {\frac {1+\varepsilon }{2}}+{\frac {1-\varepsilon }{2}}\log {\frac {1-\varepsilon }{2}}\right)}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle {\frac {1+\varepsilon }{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle H(\varepsilon =0)=\log 2=1)}$

コインアプローチとフォンノイマンエントロピーの関係は、熱力学におけるエントロピーと情報理論におけるエントロピーの関係の一例です。

直感

このアルゴリズム群に対する直感は、必ずしも量子的なものではなく、様々な分野や考え方から得られる可能性があります。これは、これらのアルゴリズムが演算や解析において量子現象を明示的に利用しておらず、主に情報理論に依存しているという事実によるものです。したがって、問題は古典的な（物理学的、計算論的など）観点から検討することができます。

物理

このアルゴリズム群の物理的な直感は古典熱力学に由来する。^[3]

リバーシブルケース

基本的なシナリオは、初期バイアスが等しい量子ビットの配列です。これは、配列がそれぞれ同じエントロピーを持つ小さな熱力学システムを含んでいることを意味します。目標は、一部の量子ビットから他の量子ビットへエントロピーを転送し、最終的に「冷たい」量子ビットのサブ配列と「熱い」量子ビットのサブ配列を作成することです（これらのサブ配列は、背景セクションにあるように、量子ビットのエントロピーによって区別されます）。エントロピー転送は可逆的に行われるように制限されており、これは全体のエントロピーが保存されることを意味します。したがって、可逆的なアルゴリズム冷却は、すべての量子ビットのエントロピーを再分配し、より冷たい量子ビットのセットと、より熱い量子ビットのセットを得る行為と見なすことができます。

古典熱力学からのアナロジーとして、2つの量子ビットは、可動式の断熱仕切りによって区切られた2つの区画を持つガス容器と考えることができます。仕切りを可逆的に動かすために外部から仕事を与えると、一方の区画のガスは圧縮され、温度（およびエントロピー）が上昇します。一方、もう一方の区画のガスは膨張し、同様に温度（およびエントロピー）が低下します。これは可逆的なので、反対の動作を行うことで、容器とガスを初期状態に戻すことができます。ここでのエントロピー移動は、外部から仕事を与えることでエントロピーを量子ビット間で可逆的に移動できるという意味で、アルゴリズム冷却におけるエントロピー移動に類似しています。

取り返しのつかないケース

基本的なシナリオは同じですが、熱浴という新たな物体が存在します。これは、エントロピーを量子ビットから外部の貯蔵庫に転送することができ、一部の操作は不可逆的であることを意味します。これにより、一部の量子ビットを冷却しながら他の量子ビットを加熱せずに済みます。特に、可逆的なエントロピー転送の受信側にあった高温の量子ビット（熱浴よりも高温）は、熱浴と相互作用させることで冷却できます。この状況の典型的なアナロジーはカルノー冷凍機、具体的にはエンジンが低温の貯蔵庫に接触し、熱（およびエントロピー）がエンジンから貯蔵庫に流れる段階です。

情報理論

このアルゴリズム群の直感は、偏ったコインから公平な結果を得る問題に対するフォン・ノイマンの解法の拡張から来ている。^[5]このアルゴリズム冷却のアプローチでは、量子ビットの偏りは単に確率の偏り、つまりコインの「不公平さ」である。

アプリケーション

多数の純粋量子ビットを必要とする典型的なアプリケーションとしては、量子誤り訂正（QEC）^[4]とアンサンブルコンピューティング^{[2]の2つがある。}量子コンピューティングの実現（実際の量子ビットにアルゴリズムを実装して適用すること）において、アルゴリズム冷却は光格子での実現に関わっていた。 [ ^{6]さらに、アルゴリズム冷却は}生体内磁気共鳴分光法にも応用できる。^[7]

量子誤り訂正

量子誤り訂正は、誤りからの保護を目的とした量子アルゴリズムです。このアルゴリズムは、計算処理内で動作する関連する量子ビットに対して動作し、各ラウンドごとに新たな純粋量子ビットの供給を必要とします。この要件は、完全に純粋な量子ビットを必要とする代わりに、一定の閾値を超える純度にまで緩和することができます^{[4] [8]}。このために、アルゴリズム冷却を用いることで、量子誤り訂正に必要な純度の量子ビットを生成することができます。

アンサンブルコンピューティング

アンサンブルコンピューティングとは、マクロな数の同一コンピュータを用いた計算モデルです。各コンピュータは一定数の量子ビットを備え、計算処理はすべてのコンピュータで同時に実行されます。計算の出力は、アンサンブル全体の状態を測定することで得られ、これはアンサンブルを構成する各コンピュータの平均出力となります。^[9]コンピュータの数がマクロなため、個々のコンピュータの出力信号よりも出力信号の検出と測定が容易です。

このモデルはNMR量子コンピューティングで広く用いられています。各コンピュータは単一の（同一の）分子で表され、各コンピュータの量子ビットはその原子の核スピンです。得られた（平均化された）出力は検出可能な磁気信号です。

NMR分光法

核磁気共鳴分光法（MRS - 磁気共鳴分光法とも呼ばれる）は、MRI（磁気共鳴画像法）に関連する非侵襲的な技術であり、生体内（ラテン語で「生体内」）の代謝変化を分析するものであり、脳腫瘍、パーキンソン病、うつ病などの診断に潜在的に有用である。この技術は、関連する代謝物の磁気特性を利用して、特定の疾患と相関する体内の代謝物濃度を測定する。例えば、代謝物であるグルタミン酸とグルタミンの濃度差は、アルツハイマー病などの神経変性疾患のいくつかの段階と関連付けられる可能性がある。^[10]

MRSの用途の中には、代謝物の炭素原子に焦点を当てたものもあります（炭素13核磁気共鳴法を参照）。その主な理由の一つは、検査対象となる代謝物の大部分に炭素が含まれていることです。もう一つの理由は、特定の代謝物を^13C同位体で標識できることです。13C同位体は、主にその磁気特性（例えば磁気回転比）により、通常使用される水素原子よりも測定が容易です。

MRSでは、代謝物の原子の核スピンが一定程度の分極を持つことが、分光分析の成功に必要となる。アルゴリズム冷却は生体内で適用可能であり^[7] 、MRSの分解能と精度を向上させる。13C同位体を含む代謝物に対するアルゴリズム冷却の実現（生体内ではない）は、^アミノ酸[ ^{11]やその他の代謝物中の13C}の分極を増加させることが示されている。^{[12] [13]}

MRSは、特定の体組織に関する生化学情報を非侵襲的に得るために用いることができる。これは、操作を室温で行う必要があることを意味する。スピン分極を高める方法（例えば、過分極、特に動的核分極）の中には、低温環境（典型値は1K、約-272 ℃）を必要とするため、室温では操作できないものがある。一方、アルゴリズムによる冷却は室温で操作でき、生体内でのMRSに使用できる^[7]。一方、より低温を必要とする方法は、生体外での生検に使用することができる。

可逆アルゴリズム冷却 - 基本圧縮サブルーチン

このアルゴリズムは、均等に（かつ独立に）バイアスされた量子ビットの配列に対して動作します。アルゴリズムが一部の量子ビットから他の量子ビットへ熱（およびエントロピー）を移動させた後、結果として得られた量子ビットはバイアスの昇順で並べ替えられます。その後、この配列は2つのサブ配列に分割されます。「コールド」量子ビット（ユーザーが選択した特定の閾値を超えるバイアスを持つ）と「ホット」量子ビット（その閾値未満のバイアスを持つ）です。「コールド」量子ビットのみが、以降の量子計算に使用されます。この基本的な手順は「基本圧縮サブルーチン」 ^[2]または「3ビット圧縮」^[14]と呼ばれます。

可逆的なケースは、確率的アプローチを用いて3量子ビットで実証できます。各量子ビットは「コイン」（2レベルシステム）で表され、その面は0と1でラベル付けされ、一定のバイアスが与えられています。各コインは独立してバイアス （ 0が出る確率）を持ちます。コインは であり、目標はコインを使ってコイン（量子ビット）を冷却することです。手順は以下のとおりです。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\frac {1+\varepsilon }{2}}}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle A}$

1. 独立してコインを投げます。 ${\displaystyle A,B,C}$
2. C-NOTを適用します。 ${\displaystyle B,C}$
3. コインのC-SWAPの調整にはコインを使用します。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,C}$

この手順の後、コインのバイアスの平均（期待値）は、主要な順序で、となる。^[14] ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}={\frac {3}{2}}\varepsilon }$

C-NOTステップ

コインはC-NOT演算（XOR （排他的論理和）とも呼ばれる）に使用されます。この演算は次のように適用されます。つまり、が計算され、 の古い値が置き換えられますが、は変更されません。より具体的には、次の演算が適用されます。 ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle A_{\text{new}}=A,B_{\text{new}}=B\oplus C,C_{\text{new}}=C}$ ${\displaystyle B\oplus C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,C}$

• コインの結果が1の場合: ${\displaystyle C}$
  • 結果を見ずにコインを投げる ${\displaystyle B}$
• それ以外の場合（コインの結果は0です）： ${\displaystyle C}$
  • 何もしない（結果を見ずに） ${\displaystyle B}$

ここで、coin の結果が（ を参照せずに）チェックされます。古典的には、これは coin の結果を「忘れ去る」（もはや使用できない）必要があることを意味します。coin の結果はもはや確率的ではないため、これは古典的には多少問題があります。しかし、等価な量子演算子（アルゴリズムの実現と実装で実際に使用される演算子）は、そうすることが可能です。^[14] ${\displaystyle B_{\text{new}}}$ ${\displaystyle A_{\text{new}},C_{\text{new}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

C-NOT演算が終了した後、条件付き確率を使用してコインのバイアスが計算されます。 ${\displaystyle C_{\text{new}}}$

1. もし（意味）：したがって、コインの新しいバイアスは です。 ${\displaystyle B_{\text{new}}=0}$ ${\displaystyle B=C}$ $${\displaystyle P(C_{\text{new}}=0|B=C)={\frac {P(B=C=0)}{P(B=C)}}={\frac {\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}{{\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\varepsilon )^{2}}{4}}}}={\frac {\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}{\frac {1+\varepsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1+{\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}}{2}}.}$$ ${\displaystyle C_{\text{new}}}$ ${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}}$
2. もし（意味）：したがって、コインの新しいバイアスは です。 ${\displaystyle B_{\text{new}}=1}$ ${\displaystyle B\neq C}$ $${\displaystyle P(C_{\text{new}}=0|B\neq C)={\frac {P(C=0,B=1)}{P(B\neq C)}}={\frac {{\frac {1+\varepsilon }{2}}{\frac {1-\varepsilon }{2}}}{{\frac {1+\varepsilon }{2}}{\frac {1-\varepsilon }{2}}+{\frac {1-\varepsilon }{2}}{\frac {1+\varepsilon }{2}}}}={\frac {\frac {1-\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$ ${\displaystyle C_{\text{new}}}$ ${\displaystyle 0}$

C-SWAPステップ

C- SWAP演算にはコインが使用されます。この演算は次のように適用されます。つまり、の場合、 が交換されます。 ${\displaystyle A_{\text{new}},B_{\text{new}},C_{\text{new}}}$ $${\displaystyle A'=A_{\text{new}}B_{\text{new}}+{\overline {B_{\text{new}}}}C_{\text{new}},\;B'=B_{\text{new}},\;C'=A_{\text{new}}{\overline {B_{\text{new}}}}+B_{\text{new}}C_{\text{new}},}$$ ${\displaystyle A_{\text{new}},C_{\text{new}}}$ ${\displaystyle B_{\text{new}}=0}$

C-SWAP 操作が終了した後:

1. : コインとが交換されているため、コインは- バイアスされ、コインは - バイアスされます。 ${\displaystyle B_{\text{new}}=0}$ ${\displaystyle A_{\text{new}}}$ ${\displaystyle C_{\text{new}}}$ ${\displaystyle A'}$ ${\textstyle {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
2. それ以外の場合（）：コインは変化せず（バイアスは依然として）、コインはバイアスとともに残ります。この場合、コインは「ホット」すぎる（バイアスが低すぎる、またはエントロピーが高すぎる）ため、システムから破棄できます。 ${\displaystyle B_{\text{new}}=1}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C'}$

コインの平均偏りは、これら2つのケースを、各ケースの最終的な偏りと各ケースの確率を用いて計算できます。近似値 を用いると、コインの新しい平均偏りは となります。したがって、これらの2つのステップは、平均的にコインの分極を増加させます。 ${\displaystyle A'}$ $${\displaystyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}=P(B_{\text{new}}=0)\cdot {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}+P(B_{\text{new}}=1)\cdot \varepsilon =\left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\varepsilon )^{2}}{4}}\right)\cdot {\frac {2\varepsilon }{1+\varepsilon ^{2}}}+\left({\frac {1+\varepsilon }{2}}{\frac {1-\varepsilon }{2}}+{\frac {1-\varepsilon }{2}}{\frac {1+\varepsilon }{2}}\right)\cdot \varepsilon ={\frac {3\varepsilon }{2}}-{\frac {\varepsilon ^{3}}{2}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$ ${\displaystyle A'}$ ${\textstyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}={\frac {3}{2}}\varepsilon }$ ${\displaystyle A}$

別の説明：量子演算

このアルゴリズムは、古典的な処理ではなく、量子ビットに対する量子演算を用いて記述することができる。特に、C-NOTおよびC-SWAPステップは、3つの量子ビットに作用する単一のユニタリ 量子演算子に置き換えることができる。 ^[14]この演算は、2つの古典的なステップとは異なる方法で量子ビットを変化させるが、量子ビットに対して同じ最終的なバイアスを与える。この演算子は、3量子ビットのヒルベルト空間の計算基底に対する作用によって一意に定義できる。 ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle |000\rangle \mapsto |000\rangle ,}$
• ${\displaystyle |001\rangle \mapsto |001\rangle ,}$
• ${\displaystyle |010\rangle \mapsto |010\rangle ,}$
• ${\displaystyle |011\rangle \mapsto |100\rangle ,}$
• ${\displaystyle |100\rangle \mapsto |011\rangle ,}$
• ${\displaystyle |101\rangle \mapsto |101\rangle ,}$
• ${\displaystyle |110\rangle \mapsto |110\rangle ,}$
• ${\displaystyle |111\rangle \mapsto |111\rangle .}$

行列形式では、この演算子はサイズ8の単位行列ですが、4行目と5行目が入れ替わっています。この演算の結果は、3つの量子ビットの積の状態を書き、それに を適用することで得られます。その後、量子ビット の状態を に投影し（量子ビット は投影せず）、結果のトレースを取得することで、量子ビット のバイアスを計算できます（密度行列測定 を参照）。ここで、 は状態 への投影です。 ${\displaystyle \rho _{A,B,C}=\rho _{A}\otimes \rho _{B}\otimes \rho _{C}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle B,C}$ $${\displaystyle {\frac {1+\varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}}{2}}=\operatorname {tr} [(P_{0}\otimes I\otimes I)(U\rho _{A,B,C}U^{\dagger })]={\frac {1+{\frac {3\varepsilon }{2}}-{\frac {\varepsilon ^{3}}{2}}}{2}},}$$ ${\displaystyle P_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}=|0\rangle \langle 0|}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

ここでも、近似 を使用すると、コインの新しい平均バイアスは になります。 ${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \varepsilon _{\text{new}}^{\text{average}}={\frac {3}{2}}\varepsilon }$

熱浴アルゴリズム冷却（不可逆アルゴリズム冷却）

不可逆ケースは可逆ケースの拡張であり、可逆アルゴリズムをサブルーチンとして用います。不可逆アルゴリズムには「リフレッシュ」^{[4] [14]}と呼ばれる別の手順が含まれており、熱浴を用いることで可逆アルゴリズムを拡張しています。これにより、特定の量子ビット（「リセット量子ビット」と呼ばれる）を他の量子ビットに影響を与えることなく冷却することができ、結果としてシステム全体としてすべての量子ビットを冷却することができます。冷却されたリセット量子ビットは、残りの量子ビット（「計算量子ビット」と呼ばれる）に圧縮を施すことで冷却するために使用されます。この圧縮は、可逆ケースの基本的な圧縮サブルーチンに類似しています。計算量子ビットを熱浴から「隔離する」という仮定は理論的な理想化であり、アルゴリズムの実装において必ずしも成立するとは限りません。しかし、各タイプの量子ビットの物理的な実装を適切に選択すれば、この仮定は十分に成立します。^{[1] [15]}

このアルゴリズムには、リセット量子ビットの使い方や達成可能なバイアスが異なる、多くの異なるバージョンが存在する。^{[1] [2] [14] [7] [15]}これらの背後にある共通の考え方は、2つの計算量子ビットと1つのリセット量子ビットの3つの量子ビットを使用して実証することができる。^[4] ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$

3つの量子ビットはそれぞれ、最初はバイアスのある完全な混合状態にあります（背景セクションを参照）。その後、以下の手順が適用されます。 ${\displaystyle 0}$

1. リフレッシュ: リセット量子ビットは熱浴と相互作用します。 ${\displaystyle C}$
2. 圧縮: 3 つの量子ビットに可逆的な圧縮 (エントロピー転送) が適用されます。

アルゴリズムの各ラウンドは3回の反復処理で構成され、各反復処理は2つのステップ（リフレッシュと圧縮）から構成されます。各反復処理における圧縮ステップは若干異なりますが、その目的は量子ビットをバイアスの降順でソートし、リセット量子ビットのバイアス（つまり温度）が全量子ビットの中で最も小さくなるようにすることです。これは以下の2つの目的を達成します。

• 可能な限り多くのエントロピーを計算量子ビットから転送します。
• 次のリフレッシュ ステップで、可能な限り多くのエントロピーをシステム全体 (特にリセット キュービット) からバスに移します。

各反復後に密度行列を書き込む場合、第 1 ラウンドの圧縮ステップは次のように効果的に処理できます。

• 1 回目の反復: 量子ビットを、以前にリフレッシュされたリセット量子ビットと交換します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$
• 2 回目の反復: 量子ビットを、以前にリフレッシュされたリセット量子ビットと交換します。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$
• 3 回目の反復: 量子ビットのバイアスを高めます。 ${\displaystyle A}$

以降のラウンドにおける圧縮ステップの説明は、ラウンド開始前のシステムの状態に依存し、上記の説明よりも複雑になる可能性があります。このアルゴリズムの例示的な説明では、量子ビットのブーストされたバイアス（最初のラウンドの終了後に得られる）は であり、ここでは熱浴内の量子ビットのバイアスです。^[4]この結果は最後の圧縮ステップの後に得られます。このステップの直前、量子ビットはそれぞれ-バイアスされており、これは可逆アルゴリズムが適用される前の量子ビットの状態と全く同じです。 ${\displaystyle A}$ ${\textstyle {\frac {3\varepsilon _{b}}{2}}-{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{b}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{b}}$

リフレッシュステップ

リセット量子ビットと熱浴の間に確立される接触は、いくつかの方法でモデル化できます。

1. 2 つの熱力学システム間の物理的な相互作用により、最終的には温度が浴槽温度と同じリセット量子ビットが生成されます (つまり、バイアスは浴槽内の量子ビットのバイアスに等しくなります)。 ${\displaystyle \varepsilon _{b}}$
2. リセット量子ビットに対する数学的なトレースアウトを行い、続いてバスから新しい量子ビットを取り出してシステムを積状態とする。これは、以前のリセット量子ビットを失い、リフレッシュされた新しい量子ビットを得ることを意味します。正式には、これは と表すことができます。ここで、は（演算が保留された後の）新しい密度行列、はリセット量子ビットに対する部分トレース演算、はバイアス を持つバスからの（新しい）量子ビットを記述する密度行列です。 ${\displaystyle \rho _{\text{new}}=\operatorname {tr} _{C}(\rho )\otimes \rho _{\varepsilon _{b}}}$ ${\displaystyle \rho _{\text{new}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{C}(\rho )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \rho _{\varepsilon _{b}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{b}}$

どちらの方法でも、結果として得られるリセット量子ビットのバイアスは、バス内の量子ビットのバイアスと同一です。さらに、得られたリセット量子ビットは、リフレッシュステップが保持される前の他の量子ビット間の相関とは無関係に、他の量子ビットと無相関です。したがって、リフレッシュステップは、現在のリセット量子ビットに関する情報を破棄し、バスから新しいリセット量子ビットに関する情報を取得するステップと見なすことができます。

圧縮ステップ

このステップの目的は、すべての量子ビットのエントロピーを可逆的に再分配し、量子ビットのバイアスが降順（または非昇順）になるようにすることです。この操作は可逆的に行われるため、システム全体のエントロピーが増加するのを防ぎます（閉鎖系ではエントロピーは減少しないため、エントロピーを参照してください）。温度の観点から見ると、このステップは量子ビットを温度の昇順に並べ替え、リセットされた量子ビットが最も高温になるようにします。3つの量子ビットの例では、圧縮後、量子ビットのバイアスが最も高く、量子ビットのバイアスが最も低くなります。さらに、圧縮は計算量子ビットの冷却にも使用されます。 ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

量子ビットが互いに相関していない場合（つまり、システムが積状態にある場合）、システムの状態は で表され、それに対応するバイアスは です。 ${\displaystyle (\varepsilon _{A},\varepsilon _{B},\varepsilon _{C})}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A},\varepsilon _{B},\varepsilon _{C}}$

圧縮は、系を記述する密度行列の対角成分に対するソート操作として記述できます。例えば、あるリセットステップ後の系の状態が である場合、圧縮は状態に対して次のように作用します。 ${\displaystyle (2\varepsilon _{b},0,\varepsilon _{b})}$

$${\displaystyle \rho _{ABC}={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\end{pmatrix}}\xrightarrow {\text{compression}} \rho _{ABC}'={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1+2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1+\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\\(1-2\varepsilon _{b})(1-\varepsilon _{b})\end{pmatrix}}}$$

この表記は、括弧内に対角要素が列挙された対角行列を表します。密度行列は、それぞれ圧縮ステップ前と圧縮ステップ後のシステムの状態（量子ビット間の相関を含む）を表します。上記の表記において、圧縮後の状態は です。 ${\displaystyle \rho _{ABC},\rho _{ABC}'}$ ${\displaystyle (2\varepsilon _{b},\varepsilon _{b},0)}$

このソート操作は、量子ビットをバイアスの降順に並べ替えるために使用されます。^{[15] [4]}例のように、場合によってはソート操作はswapなどのより単純な操作で記述できます。しかし、圧縮操作の一般的な形式は、密度行列の対角要素に対するソート操作です。

圧縮ステップを直感的に理解できるように、第 1 ラウンドのアルゴリズムのフローを以下に示します。

• 1回目の反復:
  • 更新手順後の状態は です。 ${\displaystyle (0,0,\varepsilon _{b})}$
  • 圧縮ステップ（量子ビットを交換する）の後、状態は になります。 ${\displaystyle A,C}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{b},0,0)}$
• 2回目の反復:
  • 更新手順後の状態は です。 ${\displaystyle (\varepsilon _{b},0,\varepsilon _{b})}$
  • 圧縮ステップ（量子ビットを交換する）の後、状態は になります。 ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{b},\varepsilon _{b},0)}$
• 3回目の反復:
  • 更新手順後の状態は です。 ${\displaystyle (\varepsilon _{b},\varepsilon _{b},\varepsilon _{b})}$
  • 圧縮ステップ（量子ビット のバイアスをブーストする）の後、量子ビットのバイアスは となり、これは（主要次数まで） で近似できます。ここで、各バイアスは、（部分トレースを用いて）システムの残りの部分を破棄した場合の対応する量子ビットのバイアスとして独立に定義されます。これは、それらの間に相関がある場合でも同様です。したがって、この表記法はシステムを完全に記述することはできませんが、アルゴリズムの各ステップを直感的に説明するためにのみ使用できます。 ${\displaystyle A}$ ${\textstyle {\frac {3\varepsilon _{b}}{2}}-{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}}+{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}}+{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {3\varepsilon _{b}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}},{\frac {\varepsilon _{b}}{2}}}$

第1ラウンド終了後、リセット量子ビットのバイアス（）は熱浴のバイアス（）よりも小さくなります。これは、次のリフレッシュステップ（アルゴリズムの第2ラウンド）において、リセット量子ビットがバイアス を持つ新しい量子ビットに置き換えられることを意味します。これにより、以前のリフレッシュステップと同様に、システム全体が冷却されます。その後、アルゴリズムは同様の方法で継続されます。 ${\textstyle {\frac {\varepsilon _{b}}{2}}+{\frac {\varepsilon _{b}^{3}}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{b}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{b}}$

一般的な結果

ラウンドの数は制限されていません。リセット量子ビットのバイアスは各ラウンドの後に浴槽のバイアスに漸近的に到達するため、アルゴリズムが進むにつれて、ターゲットの計算量子ビットのバイアスも漸近的に限界に到達します。^{[2] [15]}ターゲット量子ビットは、アルゴリズムが最も冷却することを目指す計算量子ビットです。「冷却限界」（ターゲット量子ビットが到達できる最大バイアス）は、浴槽のバイアスとシステム内の各種類の量子ビットの数によって異なります。計算量子ビットの数（ターゲット量子ビットを除く）が で、リセット量子ビットの数が の場合、冷却限界は です。^[4]の場合、取得できる最大分極は に比例します。それ以外の場合、最大バイアスは に任意に近い値に到達します。特定のバイアスに到達するために必要なラウンド数は、望ましいバイアス、浴槽のバイアス、量子ビットの数に依存し、さらにアルゴリズムのバージョンによっても異なります。^{[16] [4] [1]} ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \varepsilon _{\max }={\frac {(1+\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}-(1-\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}}{(1+\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}+(1-\varepsilon _{b})^{m2^{n'}}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{b}\ll m2^{n'}}$ ${\displaystyle m2^{n'}}$ ${\displaystyle 1}$

特定のバイアス値に到達するために必要な反復回数に上限を与える理論的結果が他にも存在します。例えば、浴槽のバイアス値が の場合、特定の量子ビットをバイアス値まで冷却するために必要な反復回数は少なくとも となります。 ${\displaystyle \varepsilon _{b}\ll 1}$ ${\displaystyle k\varepsilon _{b}\ll 1}$ ${\displaystyle k^{2}}$

参考文献

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