ほぼ素数

数論では、自然数が $k$ 個の素因数を持つとき、その自然数は $k$ ほぼ素数と呼ばれます。^[1]^[2]^[3]より正式には、数 $nが$ $k$ ほぼ素数となるのは、 $Ω$ $($ $n$ $) =$ $k の$ ときのみです。ここで、 $Ω($ $n$ $)は$ $nを素因数$ 分解した際の素数の総数です（すべての素数の指数の合計と見ることもできます）。

\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.

したがって、自然数が素数となるのは、1-ほぼ素数である場合に限り、また半素数となるのは、2-ほぼ素数である場合に限ります。k- $ほぼ$ 素数の集合は通常、 $P k$ と表記されます。最小の $k-$ ほぼ素数は $2 k$ です。最初のいくつかの $k-$ ほぼ素数は次のとおりです。

$け$	$k$ はほぼ素数	OEISシーケンス
1	2、3、5、7、11、13、17、19、…	A000040
2	4、6、9、10、14、15、21、22、…	A001358
3	8、12、18、20、27、28、30、…	A014612
4	16、24、36、40、54、56、60、…	A014613
5	32、48、72、80、108、112、…	A014614
6	64、96、144、160、216、224、…	A046306
7	128、192、288、320、432、448、…	A046308
8	256、384、576、640、864、896、…	A046310
9	512、768、1152、1280、1728、…	A046312
10	1024、1536、2304、2560、…	A046314
11	2048、3072、4608、5120、…	A069272
12	4096、6144、9216、10240、…	A069273
13	8192、12288、18432、20480、…	A069274
14	16384、24576、36864、40960、…	A069275
15	32768、49152、73728、81920、…	A069276
16	65536、98304、147456、…	A069277
17	131072、196608、294912、…	A069278
18	262144、393216、589824、…	A069279
19	524288、786432、1179648、…	A069280
20	1048576、1572864、2359296、…	A069281

$n以下$ $の$ 正の整数で、ちょうど $k$ 個の素因数（必ずしも異なる必要はない）を持つものの個数 $πk （ n ）は次のように$ 漸近する：^[4]

\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},

ランダウの結果。^[5]ハーディ・ラマヌジャンの定理も参照。^{[関連性あり? ]}

プロパティ

$k 1$ ほぼ素数と $k 2$ ほぼ素数の積は $(k 1 + k 2)$ ほぼ素数です。
kほぼ素数は、 $すべての$ $n$ $>$ $k$ $に対して、 n$ ほぼ素数を因数として持つことはできません。

参考文献

^ サンダー、ヨージェフ;ドラゴスラフ、ミトリノヴィッチ S.クリスティチ、ボリスラフ (2006)。整数論ハンドブック I。スプリンガー。 p. 316.土井：10.1007/1-4020-3658-2。ISBN 978-1-4020-4215-7。
^ レンイ、アルフレッド A. (1948)。「単一の素数と単一のほぼ素数の和としての偶数の表現について」。イズベスティア・ロシイスコイ・アカデミ・ナウク。セリヤ・マテマチェスカヤ（ロシア語）。12 (1): 57–78 .
^ Heath-Brown, DR (1978年5月). 「算術級数と短区間におけるほぼ素数」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 83 (3): 357– 375. Bibcode :1978MPCPS..83..357H. doi :10.1017/S0305004100054657. S2CID 122691474.
^ テネンバウム、ジェラルド（1995年）『解析的・確率的数論入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-41261-2。
^ エドマンド・ランダウ(1953) [初版 1909 年]。「§ 56、ゲシュタルトの統合」。プリムツァーレンの安全なハンドブック。 Vol. 1.チェルシー出版社。 p. 211. $\sum _{p\leq x}F(p,x)$

参照

スフェニック数–平方根のない3つのほぼ素数の名称

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「ほぼ素数」。MathWorld。

[1] サンダー、ヨージェフ;ドラゴスラフ、ミトリノヴィッチ S.クリスティチ、ボリスラフ (2006)。整数論ハンドブック I。スプリンガー。 p. 316.土井：10.1007/1-4020-3658-2。ISBN 978-1-4020-4215-7。

[2] レンイ、アルフレッド A. (1948)。「単一の素数と単一のほぼ素数の和としての偶数の表現について」。イズベスティア・ロシイスコイ・アカデミ・ナウク。セリヤ・マテマチェスカヤ（ロシア語）。12 (1): 57–78 .

[3] Heath-Brown, DR (1978年5月). 「算術級数と短区間におけるほぼ素数」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 83 (3): 357– 375. Bibcode :1978MPCPS..83..357H. doi :10.1017/S0305004100054657. S2CID 122691474.

[4] テネンバウム、ジェラルド（1995年）『解析的・確率的数論入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-41261-2。

[5] エドマンド・ランダウ(1953) [初版 1909 年]。「§ 56、ゲシュタルトの統合」。プリムツァーレンの安全なハンドブック。 Vol. 1.チェルシー出版社。 p. 211. $\sum _{p\leq x}F(p,x)$