Geometric structure on a smooth manifold
微分幾何学 という数学の分野において 、 概接触構造（おおむねちかんせいぞくせい）とは、 滑らかな多様体 上のある種の幾何学的構造であり 、 接触元構造 （必ずしも接触構造とは限らない）と 概複素構造とを組み合わせることで得られる。これらは 、概複素多様体 の奇数次元版と考えることができる 。
これらは1959年にジョン・グレイによって導入されました。 [1] 佐々木繁雄は 1960年にこれらを研究するために 佐々木多様体 を導入しました。 [2]
意味 滑らかな多様体 が与えられたとき 、ほぼ接触構造は 超平面分布 、 上の ほぼ複素構造 、 を 横切る ベクトル場 の３つ組である 。つまり、 の各点に対して 、接触元（つまり、 接空間 の余次元が1の 線形部分空間 ） 、その上の 線形複素構造 （つまり、 となる線形関数）、および に含まれない の 元を選択 する。通常どおり、選択は滑らかでなければならない。 [3] M {\displaystyle M} ( Q , J , ξ ) {\displaystyle (Q,J,\xi )} Q {\displaystyle Q} J {\displaystyle J} Q {\displaystyle Q} ξ {\displaystyle \xi } Q {\displaystyle Q} p {\displaystyle p} M {\displaystyle M} Q p {\displaystyle Q_{p}} T p M {\displaystyle T_{p}M} J p : Q p → Q p {\displaystyle J_{p}:Q_{p}\to Q_{p}} J p ∘ J p = − id Q p {\displaystyle J_{p}\circ J_{p}=-\operatorname {id} _{Q_{p}}} ξ p {\displaystyle \xi _{p}} T p M {\displaystyle T_{p}M} Q p {\displaystyle Q_{p}}
同様に、ほぼ接触構造を 3 つの として定義することもできます 。ここで は 上のベクトル場 、 は 上の 1-形式 、は 上の (1,1)-テンソル場 であり 、これらは次の 2 つの条件を満たします。 または、より詳しくは、任意の および任意の に対して 、 ( ξ , η , ϕ ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )} ξ {\displaystyle \xi } M {\displaystyle M} η {\displaystyle \eta } M {\displaystyle M} ϕ {\displaystyle \phi } M {\displaystyle M} ϕ 2 = − i d + η ⊗ ξ , η ( ξ ) = 1. {\displaystyle \phi ^{2}=-\mathrm {id} +\eta \otimes \xi ,\quad \eta (\xi )=1.} p ∈ M {\displaystyle p\in M} v ∈ T p M {\displaystyle v\in T_{p}M}
η p ( v ) ξ p = ϕ p ∘ ϕ p ( v ) + v {\displaystyle \eta _{p}(v)\xi _{p}=\phi _{p}\circ \phi _{p}(v)+v} η p ( ξ p ) = 1 {\displaystyle \eta _{p}(\xi _{p})=1} 横方向ベクトル場の選択は 滑らかであるため、その場は 接触要素の分布の 共方向に なります 。 ξ {\displaystyle \xi } ξ {\displaystyle \xi } Q {\displaystyle Q}
より抽象的に言えば、構造群 を から に 縮約する ことによって得られる G 構造 として定義できます 。 G L ( 2 n + 1 ) {\displaystyle GL(2n+1)} U ( n ) × 1 {\displaystyle U(n)\times 1}
等価 一方向では、 が与えられている場合、 の各 について 線型写像と による 線型写像 を定義でき、 の 直和 分解を 基準に分解することにより 、 の任意の について であることが 直接 確認 できます 。 ( ξ , J , Q ) {\displaystyle (\xi ,J,Q)} p {\displaystyle p} M {\displaystyle M} η p : T p M → R {\displaystyle \eta _{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} } ϕ p : T p M → T p M {\displaystyle \phi _{p}:T_{p}M\to T_{p}M} η p ( u ) = 0 if u ∈ Q p η p ( ξ p ) = 1 ϕ p ( u ) = J p ( u ) if u ∈ Q p ϕ p ( ξ ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{p}(u)&=0{\text{ if }}u\in Q_{p}\\\eta _{p}(\xi _{p})&=1\\\phi _{p}(u)&=J_{p}(u){\text{ if }}u\in Q_{p}\\\phi _{p}(\xi )&=0.\end{aligned}}} v {\displaystyle v} T p M = Q p ⊕ { k ξ p : k ∈ R } {\displaystyle T_{p}M=Q_{p}\oplus \left\{k\xi _{p}:k\in \mathbb {R} \right\}} η p ( v ) ξ p = ϕ p ∘ ϕ p ( v ) + v {\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{p}(v)\xi _{p}&=\phi _{p}\circ \phi _{p}(v)+v\end{aligned}}} v {\displaystyle v} T p M {\displaystyle T_{p}M}
別の方向では、 が与えられている場合、 を 線型写像 の 核 として 定義することができ 、 への制約 が において値を持つことを確認して を 定義することができます 。 ( ξ , η , ϕ ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )} Q p {\displaystyle Q_{p}} η p {\displaystyle \eta _{p}} ϕ p {\displaystyle \phi _{p}} Q p {\displaystyle Q_{p}} Q p {\displaystyle Q_{p}} J p {\displaystyle J_{p}}
プロパティ -多様体上のほぼ接触構造が与えられたとき 、次式が成り立つ: [3] : 定理4.1 ( 2 n + 1 ) {\displaystyle (2n+1)}
ϕ ξ = 0 {\displaystyle \phi \xi =0} η ∘ ϕ = 0 {\displaystyle \eta \circ \phi =0} ϕ {\displaystyle \phi } ランクは 2n です。
他の多様体との関係
メトリック 先に定義した を備えたほぼ接触多様体が与えられている場合 、これに リーマン計量 を追加することができる。計量がほぼ接触構造と適合するとは、計量が計量 適合 条件を満たす場合のみである。このような多様体は ほぼ接触計量多様体 と呼ばれる 。 [3] ( Q , J , ξ , η , ϕ ) {\displaystyle (Q,J,\xi ,\eta ,\phi )} g {\displaystyle g} g ( ϕ X , ϕ Y ) = g ( X , Y ) − η ( X ) η ( Y ) for all X , Y ∈ Γ ( T M ) . {\displaystyle g(\phi X,\phi Y)=g(X,Y)-\eta (X)\eta (Y)\quad {\text{ for all }}X,Y\in \Gamma (TM).}
基本2形式 を で定義します 。すると は 歪対称となり となります 。 Φ {\textstyle \Phi } Φ ( X , Y ) = g ( X , ϕ Y ) {\textstyle \Phi (X,Y)=g(X,\phi Y)} Φ {\textstyle \Phi } η ( X ) = g ( X , ξ ) {\textstyle \eta (X)=g(X,\xi )}
適合計量は簡単に見つけられます。つまり、それらは 厳密な で はありません。適合計量を構築するには、任意の計量 を取り 、 とします 。これは適合計量です。 文献で使用されている特殊なケースは次のとおりです。 k ′ {\textstyle k^{\prime }} k ( X , Y ) = k ′ ( ϕ 2 X , ϕ 2 Y ) + η ( X ) η ( Y ) {\textstyle k(X,Y)=k^{\prime }\left(\phi ^{2}X,\phi ^{2}Y\right)+\eta (X)\eta (Y)} g ( X , Y ) = 1 2 ( k ( X , Y ) + k ( ϕ X , ϕ Y ) + η ( X ) η ( Y ) ) {\displaystyle g(X,Y)={\frac {1}{2}}(k(X,Y)+k(\phi X,\phi Y)+\eta (X)\eta (Y))}
接触計量多様体:さらに 、および 。 η ∧ ( d η ) n ≠ 0 {\textstyle \eta \wedge (d\eta )^{n}\neq 0} d η = 2 Φ {\textstyle d\eta =2\Phi } 佐々木多様体 : 正規性条件を備えた接触計量多様体 。 N ϕ + 2 d η ⊗ ξ = 0 {\textstyle N_{\phi }+2d\eta \otimes \xi =0} ほぼコケーラー多様体: およびとほぼ接触計量 ( 正規性は仮定されない)。 d η = 0 {\textstyle d\eta =0} d Φ = 0 {\textstyle d\Phi =0}
分類 これらは群の表現理論によって4096のクラスに完全に分類されている。 [4]
を -多様体上のほぼ接触計量構造とし 、 とする 。 各点において とみなす。 に対して 、は 直交 、既約、 -不変な部分空間に分割される。 ほぼ接触計量多様体は、 すべての に対して である とき、 クラスである。したがって、 クラス が存在する。 ( ϕ , ξ , η , g ) {\textstyle (\phi ,\xi ,\eta ,g)} ( 2 n + 1 ) {\textstyle (2n+1)} Φ ( X , Y ) = g ( X , ϕ Y ) {\textstyle \Phi (X,Y)=g(X,\phi Y)} T := ∇ Φ ∈ C ( V ) ⊂ ⊗ 3 T ∗ M , {\displaystyle T:=\nabla \Phi \in C(V)\subset \otimes ^{3}T^{*}M,} C ( V ) = { a ∣ a ( X , Y , Z ) = − a ( X , Z , Y ) , a ( X , ϕ Y , ϕ Z ) = − a ( X , Y , Z ) + η ( Y ) a ( X , ξ , Z ) + η ( Z ) a ( X , Y , ξ ) } {\displaystyle {\begin{aligned}C(V)=\{a\mid a(X,Y,Z)&=-a(X,Z,Y),\\a(X,\phi Y,\phi Z)&=-a(X,Y,Z)+\eta (Y)a(X,\xi ,Z)+\eta (Z)a(X,Y,\xi )\}\end{aligned}}} n > 2 {\textstyle n>2} U ( n ) × 1 {\textstyle U(n)\times 1} C ( V ) = C 1 ⊕ C 2 ⊕ ⋯ ⊕ C 12 . {\displaystyle C(V)=C_{1}\oplus C_{2}\oplus \cdots \oplus C_{12}.} U ⊂ ⨁ i = 1 12 C i {\textstyle U\subset \bigoplus _{i=1}^{12}C_{i}} T x ∈ U {\textstyle T_{x}\in U} x {\textstyle x} 2 12 {\textstyle 2^{12}}
このような多様体は、次のように分類できます。 を計算し 、それを 12 個に投影し (論文の表 III の式を使用)、コンポーネントがゼロでないクラスを識別します 。 ∇ Φ {\textstyle \nabla \Phi } C i {\textstyle C_{i}} C i {\textstyle C_{i}}
文献に記載されている具体的な事例:
コシンプレクティック: . U = { 0 } ( d η = 0 , d Φ = 0 , ∇ Φ = 0 ) {\textstyle U=\{0\}(d\eta =0,d\Phi =0,\nabla \Phi =0)} ほぼ -コシンプレクティック: 。 K {\textstyle K} U = C 1 {\textstyle U=C_{1}} ほぼ共シンプレクティック： 。 U = C 2 ⊕ C 9 {\textstyle U=C_{2}\oplus C_{9}} α {\textstyle \alpha } -監物： 。 U = C 5 {\textstyle U=C_{5}} α {\textstyle \alpha } -ササキアン： 。 U = C 6 {\textstyle U=C_{6}} トランスササキアン 。 ( α , β ) : U = C 5 ⊕ C 6 {\textstyle (\alpha ,\beta ):U=C_{5}\oplus C_{6}} 準ササキアン: . U = C 6 ⊕ C 7 {\textstyle U=C_{6}\oplus C_{7}}
例 次元の滑らかな多様体上の コシン プレクティック構造は、 ほぼ接触構造を誘導する。 [5] 具体的には、コシンプレクティック構造とは、 が閉1次元形式、 が閉2次元形式、そしてすべての点で となる組である 。 コシン プレク ティック構造を生成する一つの方法は、多様体をシンプレクティック多様体に葉理化し、 各多様体上のシンプレクティック構造を とし、 葉理化を通る接平面に平行になるように設定することである。 [6] 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} ( η , ω ) {\displaystyle (\eta ,\omega )} η {\displaystyle \eta } ω {\displaystyle \omega } η ∧ ω n ≠ 0 {\displaystyle \eta \wedge \omega ^{n}\neq 0} ω {\displaystyle \omega } ker η {\displaystyle \ker \eta }
コシンプレクティック構造を構築するもう一つの一般的な方法は、時間依存 ハミルトン力学 を用いる方法です。位相空間を とします 。位相空間における系の軌跡は における経路です 。 を 位相空間上の標準座標とし、時間とともに変化することが許されます。すると、 は 多様体 上のほぼ接触構造を提供します 。 M {\displaystyle M} R × M {\displaystyle \mathbb {R} \times M} p , q {\displaystyle p,q} θ := ∑ i p i d q i , ω := d θ , η := d t {\displaystyle \theta :=\sum _{i}p_{i}dq_{i},\;\omega :=d\theta ,\;\eta :=dt} R × M {\displaystyle \mathbb {R} \times M}
ほぼ接触計量構造の構築: [5] : 定理3.3
Q = ker η {\textstyle Q=\operatorname {ker} \eta } （順位 分布）。 2 n {\textstyle 2n} および による レーブ 場 （ により一意に決まる ）。 ξ {\textstyle \xi } η ( ξ ) = 1 {\textstyle \eta (\xi )=1} ι ξ ω = 0 {\textstyle \iota _{\xi }\omega =0} η ∧ ω n ≠ 0 {\textstyle \eta \wedge \omega ^{n}\neq 0} はシンプレクティックなので、 と整合する の向きを選びます。次に、 上で- 両立する任意 の概複素構造を選びます 。詳しくは、 は 上でを満たし 、 は正定値双線型形式であり、 である必要があります 。 ω | Q {\textstyle \left.\omega \right|_{Q}} Q {\displaystyle Q} ω n {\displaystyle \omega ^{n}} J {\textstyle J} Q {\textstyle Q} ω {\textstyle \omega } J 2 = − i d {\textstyle J^{2}=-\mathrm {id} } Q {\textstyle Q} ω ( ⋅ , J ⋅ ) {\textstyle \omega (\cdot ,J\cdot )} ω ( J ⋅ , J ⋅ ) = ω {\textstyle \omega (J\cdot ,J\cdot )=\omega } 明示的に、 がシンプレティック形式 を持つ場合 、 はその上で -互換複素形式 になります 。 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} ω = ∑ i = 1 n d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}} ( q , p ) ↦ ( − p , q ) {\displaystyle (q,p)\mapsto (-p,q)} ω {\textstyle \omega } 設定 して 。 ϕ | Q = J {\textstyle \left.\phi \right|_{Q}=J} ϕ ( ξ ) = 0 {\textstyle \phi (\xi )=0} これを示すには、 のすべてにおいて と なることに注意してください 。したがって は ほぼ接触構造です。 η ( ξ ) = 1 , η ∘ ϕ = 0 , ϕ 2 | Q = J 2 = − i d Q , ϕ 2 ( ξ ) = 0. {\displaystyle \eta (\xi )=1,\quad \eta \circ \phi =0,\left.\quad \phi ^{2}\right|_{Q}=J^{2}=-\mathrm {id} _{Q},\quad \phi ^{2}(\xi )=0.} ϕ 2 = − i d + η ⊗ ξ {\textstyle \phi ^{2}=-\mathrm {id} +\eta \otimes \xi } T M {\textstyle TM} ( ξ , η , ϕ ) {\textstyle (\xi ,\eta ,\phi )}
参考文献 ^ グレイ、ジョン・W. (1959). 「接触構造の大域的性質」 . Annals of Mathematics . 69 (2): 421– 450. doi :10.2307/1970192. ISSN 0003-486X. ^ 佐々木茂雄 (1960). 「概接触構造と密接な関係にある構造を持つ微分可能多様体について I」. 東北数学ジャーナル . 2. 12 (3): 459– 476. doi : 10.2748/tmj/1178244407 . ^ abc Blair, David E. (2010). 「4. 関連する計量」. 接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. Progress in Mathematics. Vol. 203 (第2版). ボストン, MA: Birkhäuser. p. 343. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN 978-0-8176-4958-6 。 ^ チニア、D.;ゴンザレス、C. (1990-12-01)。 「ほぼ接触計量多様体の分類」。 Annali di Matematica Pura ed Applicata 。 156 (1): 15–36 . 土井 :10.1007/BF01766972。 ISSN 1618-1891。 ^ ab Cappelletti-Montano, Beniamino; De Nicola, Antonio; Yudin, Ivan (2013年11月). 「コシンプレクティック 幾何学の概説」. Reviews in Mathematical Physics . 25 (10): 1343002. arXiv : 1305.3704 . Bibcode :2013RvMaP..2543002C. doi :10.1142/S0129055X13430022. hdl :10316/47481. ISSN 0129-055X. ^ Blair, David E. (2010). 「6. ササキアン多様体とコシンプレクティック多様体」. 接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. Progress in Mathematics. Vol. 203 (第2版). ボストン, MA: Birkhäuser. p. 343. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN 978-0-8176-4958-6 。
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