ほぼ平坦な多様体

数学において、滑らかなコンパクト 多様体 M がほぼ平坦であるとは、任意のMに対して、 および が-平坦となるようなリーマン計量が存在する場合、つまりの断面曲率に対して が成り立つ場合を指します。 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leq 1}$ ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle K_{g_{\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon }$

が与えられたとき、ある正の数が存在し、その-次元多様体が直径を持つ -平坦計量を許容するならば、それはほぼ平坦である。一方、断面曲率の境界を固定し、直径をゼロにすることができるので、ほぼ平坦多様体は、あらゆる方向に沿って崩壊する崩壊多様体の特別な場合となる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ ${\displaystyle \leq 1}$

グロモフ・ルー定理によれば、がほぼ平坦であるためには、それがインフラニルとなる必要がある。特に、 はニル多様体の有限因子であり、ニル多様体とは、トーラス上の主トーラスバンドル上の主トーラスバンドルの全空間である。 ${\displaystyle M}$

参考文献

• ヘルマン・ケルヒャー。M. グロモフのほぼ平らな多様体についてのレポート。ブルバキセミナー (1978/79)、Exp. No. 526、21 ～ 35 ページ、数学の講義ノート、770、シュプリンガー、ベルリン、1980 年。
• ピーター・ブザーとヘルマン・ケルヒャー。グロモフのほぼ平らな多様体。 Astérisque、81。フランス数学協会、パリ、1​​981 年。148 ページ。
• ピーター・ブーザーとヘルマン・カーヒャー.グロモフの概平坦多様体定理におけるビーベルバッハの場合.大域微分幾何学と大域解析 (ベルリン, 1979), pp. 82–93, Lecture Notes in Math., 838, Springer, Berlin-New York, 1981.
• グロモフ, M. (1978)、「ほぼ平坦な多様体」、微分幾何学ジャーナル、13 (2): 231– 241、doi : 10.4310/jdg/1214434488、MR  0540942。
• Ruh, Ernst A. (1982)、「ほ​​ぼ平坦な多様体」、Journal of Differential Geometry、17 (1): 1– 14、doi : 10.4310/jdg/1214436698、MR  0658470。

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