概シンプレクティック多様体

微分幾何学において、微分可能多様体上の概シンプレクティック構造とは、上の非退化2次元形式である。さらに、が閉じている場合、それはシンプレクティック構造である。^{[ 1 ] [ 2 ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$

ほぼシンプレクティック多様体はSp 構造と同等であり、閉じていることが積分可能性条件である。 ${\displaystyle \omega }$

他の幾何学的構造との関係

概シンプレクティック多様体は、滑らかな多様体と概シンプレクティック構造の対である。この多様体は、正定値双線型形式（すなわちリーマン計量）や概複素構造といった追加の構造を備えることができる。さらに、これらの追加の構造は互いに両立することが要求され、四重体は概エルミート多様体となる。 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (M,\omega ,g,J)}$

しかしながら、この定義はそれ以上の積分可能性条件を仮定していません。積分可能性に関する仮定が増えるにつれて、幾何学的構造はより厳密なもの（つまり、より汎用性が低い）になります。

1. ほぼシンプレクティック多様体。ほぼエルミート構造に拡張できる。
2. シンプレクティック多様体：閉じている。ほぼケーラー構造に拡張できる。 ${\textstyle \omega }$
3. 複素多様体：積分可能。常にエルミート構造に拡張できる。 ${\textstyle J}$
4. ケーラー多様体：閉じていて積分可能。 ${\textstyle \omega }$ ${\textstyle J}$

たとえば、ほぼシンプレクティック多様体は、同値でないほぼエルミート多様体に拡張できる可能性があることに注意してください。これが、それらが異なる概念である理由です。

包含関係はおよび である。これらの包含関係はすべて、次の反例により厳密である。 ${\displaystyle 4\subset 3\cap 2}$ ${\displaystyle 3\cup 2\subset 1}$

• 小平–サーストン4次元多様体はシンプレクティックかつ複素多様体であるが、ケーラー多様体ではない。実際、これはコンパクト・ニルマニフォールドであり、その第一ベッティ数は であるが、任意のコンパクト・ケーラー多様体は必ず奇ベッティ数が偶数である。^{[ 3 ]} ${\displaystyle b_{1}=3}$
• フェルナンデス、ゴタイ、グレイは、シンプレクティックではあるが複雑ではない、したがってケーラーではないコンパクトな4次元多様体を記述した。^{[ 4 ]}
• ホップ面、およびより一般的にはホップ多様体は、コンパクト複素多様体ですが、シンプレクティック多様体ではないため、ケーラー多様体ではありません。
• が小さい場合、2 形式は、シンプレクティックでも複素数でもない、ほぼシンプレクティック多様体になります。 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \omega _{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}+\varepsilon q_{1}dp_{2}\wedge dq_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ほぼシンプレクティック多様体からほぼエルミート多様体へ

ほぼシンプレクティック多様体 が与えられた場合、からへの構造群還元と関連するバンドル構成によって、ほぼエルミート構造を構築できます。 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle (\omega ,g,J)}$ ${\textstyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \mathrm {U} (n)}$

実際、-シンプレクティック標構束は構造群 を持ちます。この部分群は、 およびを満たす適合対 の安定化群です。 ${\textstyle \omega }$ ${\textstyle P_{\mathrm {Sp} }\rightarrow M}$ ${\textstyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \mathrm {U} (n)=\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \mathrm {O} (2n)}$ ${\textstyle (J,g)}$ ${\textstyle J^{2}=-I}$ ${\textstyle g(\cdot ,\cdot )=\omega (\cdot ,J\cdot )}$

におけるファイバーが- 両立する概複素構造の集合である随伴バンドル。同質空間は空でなく、縮約可能である。 $${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\omega }:=P_{\mathrm {Sp} }\times _{\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}(\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )/\mathrm {U} (n))\rightarrow M,}$$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \omega _{x}}$ ${\textstyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )/\mathrm {U} (n)}$

縮小が存在するのは、 が大域切断を持つ場合のみである。収縮可能なファイバーは、閉塞類が存在しないことを意味する。つまり、切断が存在する。その値は、 と正定値を 持つ滑らかな束射である。 ${\textstyle P_{\mathrm {U} }\subset P_{\mathrm {Sp} }}$ ${\textstyle {\mathcal {J}}_{\omega }}$ ${\textstyle J:TM\to TM}$ ${\textstyle J^{2}=-I}$ ${\textstyle \omega (\cdot ,J\cdot )}$

参考文献

1. da Silva, Ana Cannas (2008). 「シンプレクティック幾何学の講義」 .数学講義ノート. doi : 10.1007/978-3-540-45330-7 . ISSN  0075-8434
2. Ramanan, S. (2005), Global calculus , Graduate Studies in Mathematics , vol. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 189, ISBN 0-8218-3702-8、MR  2104612。
3. Thurston, WP (1976). 「Shorter Notes: Some Simple Examples of Symplectic Manifolds」 . Proceedings of the American Mathematical Society . 55 (2): 467–468 . doi : 10.2307/2041749 . ISSN 0002-9939 
4. Fernández, Marisa ; Gotay, Mark J.; Gray, Alfred (1988). 「コンパクト並列化可能な4次元シンプレクティック多様体と複素多様体」 . Proceedings of the American Mathematical Society . 103 (4): 1209– 1212. doi : 10.2307/2047114 . ISSN 0002-9939 . 

参考文献

アレクセーエフスキー、DV (2001) [1994]、「ほぼシンプレクティック構造」、数学百科事典、EMSプレス

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