交互行列

線形代数において、交代行列とは、有限個の関数リストを固定された入力列に点ごとに適用することによって形成される行列である。交代行列式は、正方交代行列の 行列式である。

一般に、集合から体への関数、およびの場合、交代行列はサイズを持ち、次のように定義されます。 ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}\in X}$ ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\cdots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\cdots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\cdots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\cdots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}}$

または、より簡潔に言えば、です。(著者によっては、上記の行列の転置を使用しています。) 交代行列の例には、 となるヴァンデルモンド行列や、となるムーア行列などがあります。 ${\displaystyle M_{ij}=f_{j}(\alpha _{i})}$ ${\displaystyle f_{j}(\alpha )=\alpha ^{j-1}}$ ${\displaystyle f_{j}(\alpha )=\alpha ^{q^{j-1}}}$

プロパティ

• 交代式は、関数空間における関数の線型独立性を確認するために使用できます。例えば、 とし、とします。この場合、交代式は行列であり、交代式は です。したがって、Mは可逆であり、ベクトルはその全域集合の基底を形成します。特に、とは線型独立です。 ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi /2}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle -1\neq 0}$ ${\displaystyle \{\sin(x),\cos(x)\}}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

• 交代関数の列が線形従属であるからといって、関数が関数空間において線形従属であるとは限りません。例えば、 とし、とします。すると、交代関数は となり、交代行列式は 0 となりますが、とは線形独立であることは既に確認しました。 ${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}=\cos(x)}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi }$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$

• それにもかかわらず、線形従属関係が存在することが既に分かっている場合、交代式はそれを見つけるために使用できます。例えば、部分分数論から、となる実数AとBが存在することが分かっています。、、および を選択すると、交代式 が得られます。したがって、は行列の零空間にあります。つまり、 です。方程式の反対側に移動すると、部分分数分解 が得られます。 ${\displaystyle {\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$ ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {1}{x+1}}}$ ${\displaystyle f_{2}(x)={\frac {1}{x+2}}}$ ${\displaystyle f_{3}(x)={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=(1,2,3)}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/2&1/3&1/6\\1/3&1/4&1/12\\1/4&1/5&1/20\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle (1,-1,-1)}$ ${\displaystyle f_{1}-f_{2}-f_{3}=0}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle A=1,B=-1}$

• かつ任意の に対して の場合、交代行列式は 0 になります (行が繰り返されるため)。 ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

• および関数がすべて多項式である場合、 はすべての について交代行列式を割り切ります。特に、Vがヴァンデルモンド行列である場合、 はそのような多項式交代行列式を割り切ります。したがって、比はにおける多項式であり、双交代と呼ばれます。シュアー多項式は、古典的には多項式 の双交代として定義されます。 ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle f_{j}(x)}$ ${\displaystyle (\alpha _{j}-\alpha _{i})}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ ${\textstyle \prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\det V}$ ${\textstyle {\frac {\det M}{\det V}}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$ ${\displaystyle s_{(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}}$ ${\displaystyle f_{j}(x)=x^{\lambda _{j}}}$

アプリケーション

• 交代行列は、交代符号の構築において符号理論で使用されます。

参照

• 行列のリスト
• ヴロンスキアン

参考文献

• ミュア、トーマス(2003) [1960].行列式理論に関する論文.ドーバー出版. pp.  321– 363. ISBN 978-0-486-49553-8OCLC  52203124 。
• Aitken, AC (1956).行列式と行列（第9版）. Oliver and Boyd Ltd. pp.  111– 123. OCLC  271302373.
• スタンリー、リチャード・P. (1999).列挙的組合せ論（第2版）.ケンブリッジ大学出版局. pp.  334– 342. doi :10.1017/CBO9781139058520. ISBN 978-1-107-01542-5. OCLC  897778191。

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