アミトゥール複合施設

代数学において、アミツル複体（Amitsur complex）は、環準同型に関連付けられた自然な複体である。これはShimshon Amitsur (1959)によって導入された 。準同型が忠実平坦である場合、アミツル複体は完全であり（したがって分解が決定され）、これが忠実平坦降下理論の基礎となる。

この概念は、環とモジュールの従来の局所化を超えるメカニズムとして考えるべきである。^[1]

意味

を（必ずしも可換ではない）環の準同型とする。まず、余単体集合（ は を指し、 ではない）を以下のように定義する。を番目の位置に挿入することで面写像を定義する。 ^[a] ${\displaystyle \theta :R\to S}$ ${\displaystyle C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes _{R}}$ ${\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle d^{i}:S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

番目のスポットと番目のスポットを掛け合わせることで退化を定義します。 ${\displaystyle s^{i}:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$

${\displaystyle s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}$

これらは「自明な」余単体恒等式を満たすため、余単体集合となる。そして、これは増補を伴う複体、すなわちアミツル複体を定める：^[2] ${\displaystyle S^{\otimes \bullet +1}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }$

どこ ${\displaystyle \delta ^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.}$

アミトゥールコンプレックスの正確さ

忠実にフラットなケース

上記の記法において、が忠実平坦な場合、アレクサンダー・グロタンディークの定理によれば、（拡大）複素数は正確であり、したがって は解となる。より一般に、 が忠実平坦な場合、各左 -加群に対して、 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots }$

正確です。^[3]

証拠：

ステップ 1 :が環準同型として分割される場合、このステートメントは真です。 ${\displaystyle \theta :R\to S}$

が「分裂する」とは、何らかの準同型（は引き込みと切断である）に対してであることを意味する。このような が与えられたとき、定義する。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho \circ \theta =\operatorname {id} _{R}}$ ${\displaystyle \rho :S\to R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle h:S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}$

による

${\displaystyle {\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}}$

簡単な計算で次の等式が成り立つことがわかる。 ${\displaystyle \delta ^{-1}=\theta \otimes \operatorname {id} _{M}:M\to S\otimes _{R}M}$

${\displaystyle h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$。

つまり、はホモトピー演算子であり、コホモロジー上のゼロ写像を決定します。つまり、複素数は正確です。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}$

ステップ 2 : このステートメントは一般に正しいです。

は の切断であることに注意する。したがって、ステップ1を分割環準同型に適用すると、次のようになる。 ${\displaystyle S\to T:=S\otimes _{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x}$ ${\displaystyle T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy}$ ${\displaystyle S\to T}$

${\displaystyle 0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,}$

ここで、 は正確です。、等は「忠実に平坦」であるため、元のシーケンスは正確です。 ${\displaystyle M_{S}=S\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle T\otimes _{S}M_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle \square }$

アークトポロジーのケース

Bhargav BhattとPeter Scholze (2019, §8) は、と が(可換)完全環である 場合に Amitsur 複体が正確であり、写像が弧位相における被覆である必要があることを示しています (これは平坦位相における被覆であるよりも弱い条件です)。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

注記

1. 参考文献 (M. Artin) にはタイプミスがあるようですが、正しい式は次のようになります。注記のとの計算を参照してください。 ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle d^{2}}$

引用

1. アルティン 1999, III.7
2. アルティン 1999, III.6
3. アルティン 1999、定理 III.6.6

参考文献

• アルティン、マイケル(1999)「非可換環」（バークレー講義ノート）（PDF）
• アミトゥール、シムション（1959）「任意体の単純代数とコホモロジー群」アメリカ数学会誌、90（1）：73-112
• Bhatt, Bhargav ; Scholze, Peter (2019), Prisms and Prismatic Cohomology , arXiv : 1905.08229
• nラボのAmitsur複合施設

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