Particular representation of a signal
数学 と 信号処理 において 、 解析信号は 負の周波数 成分を持たない 複素数値関数 である 。 [1]解析信号の実部と虚部は、 ヒルベルト変換 によって互いに関連付けられた実数値関数である 。
実数値 関数 の 解析 的表現は 、元の関数とそのヒルベルト変換からなる 解析信号である。この表現は、多くの数学的操作を容易にする。基本的な考え方は、 実数値関数の フーリエ変換 （または スペクトル ）の負の周波数成分は、そのようなスペクトルの エルミート対称性 により不要であるというものである 。複素数値関数を扱うのであれば、これらの負の周波数成分は情報を失うことなく破棄することができる。これにより、関数の特定の属性がよりアクセスしやすくなり、単側波帯などの変調・復調技術の導出が容易になる。
操作対象関数に負の周波数成分がない限り（つまり、依然として 解析的 である限り）、複素関数から実関数への変換は虚数部を捨てるだけで済みます。解析的表現は 位相器 の概念を一般化したものです。 [2] 位相器は振幅、位相、周波数が時間不変に制限されているのに対し、解析信号は時間可変のパラメータを許容します。
意味 解析信号を作成するための伝達関数 がフーリエ変換を持つ 実数値 関数（ここでは周波数を表す実数値） である 場合 、変換は軸 に関して エルミート 対称性を持ちます。 s ( t ) {\displaystyle s(t)} S ( f ) {\displaystyle S(f)} f {\displaystyle f} f = 0 {\displaystyle f=0}
S ( − f ) = S ( f ) ∗ , {\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},} ここでは の 複素共役 です 。関数: S ( f ) ∗ {\displaystyle S(f)^{*}} S ( f ) {\displaystyle S(f)}
S a ( f ) ≜ { 2 S ( f ) , for f > 0 , S ( f ) , for f = 0 , 0 , for f < 0 = 2 u ( f ) ⏟ 1 + sgn ( f ) S ( f ) = S ( f ) + sgn ( f ) S ( f ) , {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}} どこ
u ( f ) {\displaystyle \operatorname {u} (f)} はヘヴィサイドの階段関数 であり 、 sgn ( f ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(f)} は符号関数 であり 、 は の非負周波数 成分 のみを含みます 。また、 のエルミート対称性により、この演算は可逆です 。 S ( f ) {\displaystyle S(f)} S ( f ) {\displaystyle S(f)}
S ( f ) = { 1 2 S a ( f ) , for f > 0 , S a ( f ) , for f = 0 , 1 2 S a ( − f ) ∗ , for f < 0 (Hermitian symmetry) = 1 2 [ S a ( f ) + S a ( − f ) ∗ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}} の 解析 信号 はの逆フーリエ変換です 。 s ( t ) {\displaystyle s(t)} S a ( f ) {\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}
s a ( t ) ≜ F − 1 [ S a ( f ) ] = F − 1 [ S ( f ) + sgn ( f ) ⋅ S ( f ) ] = F − 1 { S ( f ) } ⏟ s ( t ) + F − 1 { sgn ( f ) } ⏟ j 1 π t ∗ F − 1 { S ( f ) } ⏟ s ( t ) ⏞ convolution = s ( t ) + j [ 1 π t ∗ s ( t ) ] ⏟ H [ s ( t ) ] = s ( t ) + j s ^ ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{convolution}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}} どこ
s ^ ( t ) ≜ H [ s ( t ) ] {\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]} は の ヒルベルト変換 です 。 s ( t ) {\displaystyle s(t)} ∗ {\displaystyle *} は2進 畳み込み 演算子です。 j {\displaystyle j} は虚数単位 です 。 これは、負の周波数成分を直接除去するフィルタリング操作としても表現できること に注意してください 。 s ( t ) = s ( t ) ∗ δ ( t ) , {\displaystyle s(t)=s(t)*\delta (t),}
s a ( t ) = s ( t ) ∗ [ δ ( t ) + j 1 π t ] ⏟ F − 1 { 2 u ( f ) } . {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}
負の周波数成分 なので 、負の周波数成分を復元するのは単純に捨て去るだけなので、 直感に反するように思えるかもしれません。複素共役は負の周波数成分 のみで 構成されます 。したがって、 抑制された正の周波数成分を復元します。別の見方としては、どちらの場合も虚数成分は周波数成分を減算する項であり、演算子は 減算 を除去し、新しい成分を追加したように見えるというものです。 s ( t ) = Re [ s a ( t ) ] {\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]} Im [ s a ( t ) ] {\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]} s a ∗ ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)} s ( t ) = Re [ s a ∗ ( t ) ] {\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]} s ( t ) . {\displaystyle s(t).} Re {\displaystyle \operatorname {Re} }
例
例1 s ( t ) = cos ( ω t ) , {\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),} どこ ω > 0. {\displaystyle \omega >0.} それから：
s ^ ( t ) = cos ( ω t − π 2 ) = sin ( ω t ) , s a ( t ) = s ( t ) + j s ^ ( t ) = cos ( ω t ) + j sin ( ω t ) = e j ω t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}} 最後の等式は オイラーの公式 であり、その 系 は 一般に、単正弦波の解析表現は、複素指数関数で表し、 負の周波数 成分を捨て、正の周波数成分を2倍にすることで得られる。そして、正弦波の和の解析表現は、個々の正弦波の解析表現の和である。 cos ( ω t ) = 1 2 ( e j ω t + e j ( − ω ) t ) . {\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}
例2 ここでは、オイラーの公式を使用して、負の周波数を識別して破棄します。
s ( t ) = cos ( ω t + θ ) = 1 2 ( e j ( ω t + θ ) + e − j ( ω t + θ ) ) {\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)} それから：
s a ( t ) = { e j ( ω t + θ ) = e j | ω | t ⋅ e j θ , if ω > 0 , e − j ( ω t + θ ) = e j | ω | t ⋅ e − j θ , if ω < 0. {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}
例3 これは、ヒルベルト変換を用いて負の周波数成分を除去するもう一つの例です。 複素数値の を計算することを妨げるものは何もありません 。しかし、元のスペクトルは一般に対称ではないため、可逆表現ではない可能性があります。したがって、この例を除いて、一般的な議論では実数値の を前提としています 。 s a ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)} s ( t ) {\displaystyle s(t)} s ( t ) {\displaystyle s(t)}
s ( t ) = e − j ω t {\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}} 、 どこ 。 ω > 0 {\displaystyle \omega >0} それから：
s ^ ( t ) = j e − j ω t , s a ( t ) = e − j ω t + j 2 e − j ω t = e − j ω t − e − j ω t = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}
プロパティ
瞬間振幅と位相 関数は青色で、その解析的表現の大きさは赤色で示され、エンベロープ効果を示しています。 解析信号は 極座標 でも表現できます。
s a ( t ) = s m ( t ) e j ϕ ( t ) , {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},} ここで、次の時間変動量が導入されます。
s m ( t ) ≜ | s a ( t ) | {\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|} 瞬間振幅 または エンベロープ と呼ばれます 。 ϕ ( t ) ≜ arg [ s a ( t ) ] {\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]} は瞬時位相 または 位相角 と呼ばれます 。 添付の図では、青い曲線は を表し 、赤い曲線は対応する を表しています 。 s ( t ) {\displaystyle s(t)} s m ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}
アンラップされた 瞬時位相の 時間 微分は ラジアン/秒 の単位を持ち 、 瞬時角周波数 と呼ばれます。
ω ( t ) ≜ d ϕ d t ( t ) . {\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).} したがって、瞬間周波数 （ ヘルツ 単位 ）は次のようになります。
f ( t ) ≜ 1 2 π ω ( t ) . {\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).} [3] 瞬時振幅、瞬時位相、瞬時周波数は、いくつかの用途において信号の局所的な特徴を測定・検出するために使用されます。信号の解析的表現のもう一つの用途は、 変調信号 の復調です。極座標は、 振幅変調 と位相（または周波数）変調の影響を簡便に分離し、特定の種類の信号を効果的に復調します。
複素エンベロープ/ベースバンド 解析信号は、多くの場合、周波数が0Hzに向かってシフト（ダウンコンバート）され、非対称の負の周波数成分が発生する可能性があります。 ここで、 は任意の基準角周波数です。 [2] s a ↓ ( t ) ≜ s a ( t ) e − j ω 0 t = s m ( t ) e j ( ϕ ( t ) − ω 0 t ) , {\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
この関数は、複素包絡線 や 複素 ベースバンド など、様々な名前で呼ばれます 。複素包絡線は一意ではなく、 の選択によって決まります。この概念は、 通過帯域信号 を扱う際によく用いられます 。 が変調信号である場合、はその 搬送周波数 と等しくなることがあります 。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} s ( t ) {\displaystyle s(t)} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
他の場合には、 は所望の通過帯域の中央付近に選択される。そして、実係数を持つ単純な ローパスフィルタ によって、関心領域を除去できる。もう一つの目的は、最高周波数を下げることであり、これにより、エイリアスフリーのサンプリングのための最小レートが低減される。周波数シフトは、複素信号表現の数学的扱いやすさを損なうものではない。したがって、その意味では、ダウンコンバートされた信号は依然として 解析的 である。しかし、実数値表現を復元することは、もはや実数成分を抽出するだけの単純な作業ではない。アップコンバートが必要になる場合があり、信号が サンプリングさ れている場合（離散時間）、 エイリアシングを回避するために 補間 （ アップサンプリング ）も必要になる可能性がある 。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
を の最高周波数よりも大きく選んだ 場合、 は正の周波数を持ちません。その場合、実数成分を抽出すると、実数成分は逆の順序で復元されます。つまり、低周波成分は高周波成分になり、高周波成分は低周波成分になります。これは、 下側波帯 または 逆側波帯 と呼ばれる 単側波帯 信号の復調に利用できます。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} s a ( t ) , {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),} s a ↓ ( t ) {\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}
参照周波数の他の選択肢が考慮される場合もあります。
最小限に抑えるために選択されること もある ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} ∫ 0 + ∞ ( ω − ω 0 ) 2 | S a ( ω ) | 2 d ω . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .} あるいは、 [4]を選択して、 アンラップされた 瞬間位相を 線形近似する際の平均二乗誤差を最小化することができる 。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} ∫ − ∞ + ∞ [ ω ( t ) − ω 0 ] 2 | s a ( t ) | 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt} あるいは別の代替案（ある最適なものに対して ）： θ {\displaystyle \theta } ∫ − ∞ + ∞ [ ϕ ( t ) − ( ω 0 t + θ ) ] 2 d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.} 時間周波数信号処理の分野では、 ウィグナー・ヴィル分布 の定義において解析信号が必要であることが示され、それによってこの方法が実用化に必要な望ましい特性を持つことができるようになった。 [5]
「複素エンベロープ」という語句は、 （一定周波数の）位相器の 複素振幅というより単純な意味を与えられることがあります。 [a] [b] また別の場合には、上で定義された複素エンベロープは、 複素振幅の時間依存の一般化として解釈されます。 [c] これらの関係は、実数値の場合（変化する エンベロープ が一定 振幅 を一般化する）と似ています。 s m ( t ) {\displaystyle s_{m}(t)}
解析信号の複数変数の信号への拡張 解析信号の概念は、単一変数（典型的には時間）の信号については明確に定義されています。2つ以上の変数の信号については、解析信号は異なる方法で定義することができ、以下に2つのアプローチを示します。
アドホックな方向に基づく多次元分析信号 この場合の 負の周波数 が何を意味するかが分かれば、解析信号を多次元信号に簡単に一般化することができます。これは 、フーリエ領域に 単位ベクトル を導入し、の場合には任意の周波数ベクトルを負としてラベル付けすることで実現 できます。解析信号は、1変数信号の場合に説明した手順に従って、すべての負の周波数を除去し、その結果に2を掛けることによって生成されます。ただし、 追加の制約がない限り、 の方向は特に指定する必要はありません。したがって、 の選択は アドホック、つまりアプリケーションによって異なります。 u ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}} ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} ξ ⋅ u ^ < 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0} u ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}} u ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}
単一遺伝子シグナル 解析信号の実部と虚部は、1変数信号に対して定義されているベクトル値単一信号（monogene signal）の2つの要素に対応します。しかし、単一信号は任意の数の変数に簡単に拡張でき、 n 変数信号の場合は ( n + 1) 次元の ベクトル値関数 を生成します。
参照
アプリケーション
注記 ^ 「複素エンベロープ（または複素振幅）」 [6] ^ 「複素エンベロープ（または複素振幅）」、p.586 [7] ^ 「複素エンベロープは、複素振幅を時間の関数として拡張解釈したものである。」p. 85 [8]
参考文献 ^ Smith, JO「Analytic Signals and Hilbert Transform Filters」、オーディオアプリケーションによる離散フーリエ変換（DFT）の数学、第2版、https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html、またはhttps://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html、オンラインブック、2007年版、2021年4月29日にアクセス。 ^ ab ブレイスウェル、ロン. フーリエ変換とその応用 . マグロウヒル、2000年. pp. 361-362 ^ B. Boashash、「信号の瞬時周波数の推定と解釈 - パートI：基礎」、IEEE紀要、第80巻、第4号、pp.519-538、1992年4月 ^ Justice, J. (1979-12-01). 「音楽計算における解析的信号処理」. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 27 (6): 670– 684. doi :10.1109/TASSP.1979.1163321. ISSN 0096-3518. ^ B. Boashash、「時間周波数信号解析におけるウィグナー分布の使用に関する注記」、IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing、第26巻、第9号、1987年 ^ Hlawatsch, Franz; Auger, François (2013-03-01). 時間周波数解析. John Wiley & Sons. ISBN 9781118623831 。 ^ ドリガーズ, ロナルド・G. (2003-01-01). 『光工学百科事典：アベ・ラス』, 1-1024ページ. CRC Press. ISBN 9780824742508 。 ^ 岡本健一 (2001-01-01). 地球環境リモートセンシング. IOS Press. ISBN 9781586031015 。
さらに読む レオン・コーエン、 「時間周波数分析」 、プレンティス・ホール、アッパー・サドル・リバー、1995 年。 Frederick W. King, Hilbert Transforms , 第2巻, Cambridge University Press, Cambridge, 2009年。 B. Boashash、 「時間周波数信号解析および処理：包括的なリファレンス」 、Elsevier Science、オックスフォード、2003 年。
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(エルミート対称性)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641488b89157adff28b410cdd5db079397e49e42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn} (f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn} (f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{畳み込み}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5711f9be6eedb356fde414a2d7b8cde5c99606)
![{\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cb293cc9e18cad9099adab4f7a4e89cbcbbe3e)
![{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2823637109a2a4675c9c32db3d6ab9c7c38e70c9)
![{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b2b0b048c344b45666f9bdb18eafbe3d9579fd)
![{\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46373663e75d8458d4a3c4ed17306abbe6a2062)
![{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609e0bfb3fae4804aaa51433204fa2dd5542baca)
![{\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d8a52bd820aa1b96fbbfef3c8422b0c8a44ddc)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49707ed8e6b2a70796b660e58addaa6cd63054a5)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260b4957a0fdd2b8444092dfd7fb331e169ff50d)
