アンスコム変換

Statistical concept

平均の関数として変換されたポアソン確率変数の標準偏差。 ${\displaystyle m}$

統計学において、フランシス・アンスコムにちなんで名付けられたアンスコム変換は、ポアソン分布に従うランダム変数を、ほぼ標準のガウス分布に従うランダム変数に変換する分散安定化変換です。アンスコム変換は、画像が自然にポアソン法則に従う光子制限イメージング（天文学、X線）で広く使用されています。アンスコム変換は通常、標準偏差をほぼ一定にするためにデータの前処理に使用されます。次に、加法性ホワイトガウスノイズのフレームワーク用に設計されたノイズ除去アルゴリズムが使用されます。そして、ノイズ除去されたデータに逆アンスコム変換を適用することで、最終的な推定値が得られます。

アンスコム変換のアニメーション。ここでは、アンスコム変換されたポアソン分布の平均を で減算して正規化し、 はその標準偏差（経験的に推定）です。 とは期間を通じてほぼ の範囲内に留まっており、 の経験的裏付けとなっています。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m^{3/2}\mu }$ ${\displaystyle m^{2}(\sigma -1)}$ ${\displaystyle [0,10]}$ ${\displaystyle \mu =O(m^{-3/2}),\sigma =1+O(m^{-2})}$

定義

ポアソン分布では、平均と分散は独立ではありません。アンスコム変換^[1] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle m=v}$

${\displaystyle A:x\mapsto 2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\,}$

十分に大きい平均に対して分散がおよそ 1 に設定されるようにデータを変換することを目的としています。平均が 0 の場合、分散は依然として 0 です。

これは、平均 のポアソン分布データを、平均 と標準偏差の近似ガウス分布データに変換します。この近似は、図からもわかるように、が大きいほど精度が高くなります^{[2] 。} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}+O\left({\tfrac {1}{m^{3/2}}}\right)}$ ${\displaystyle 1+O\left({\tfrac {1}{m^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle m}$

形式の変換された変数の場合、分散の式には追加の項 が含まれます。この項は でゼロに減少します。これがまさにこの値が選択された理由です。 ${\displaystyle 2{\sqrt {x+c}}}$ ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {3}{8}}-c}{m}}}$ ${\displaystyle c={\tfrac {3}{8}}}$

逆変換

アンスコム変換をノイズ除去に使用する場合（つまり、推定値から を得ることが目的の場合）、分散安定化およびノイズ除去されたデータを元の範囲に戻すために、その逆変換も必要です。代数逆変換を適用すると ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle A^{-1}:y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {3}{8}}}$

順方向平方根変換は線形ではないため、平均の推定値に望ましくないバイアスが生じることが多い。漸近的に不偏な逆変換^{[1]を使用することもある。} ${\displaystyle m}$

${\displaystyle y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}}$

バイアスの問題を軽減するが、光子制限イメージングではそうではない。この場合は、暗黙のマッピングによって与えられる正確なバイアスのない逆行列^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\sum _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m}$

を使うべきである。この正確な不偏逆行列の閉形式近似は^{[4]である。}

${\displaystyle y\mapsto {\frac {1}{4}}y^{2}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}y^{-3}.}$

代替案

ポアソン分布には、他にも多くの分散安定化変換が考えられます。Bar-LevとEnisは、アンスコム変換を含むそのような変換の族を報告しています^[2 ] 。族のもう一つのメンバーは、フリーマン-テューキー変換です^[5]

${\displaystyle A:x\mapsto {\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}.\,}$

データの標準偏差の逆数の原始関数として得られる簡略化された変換は、

${\displaystyle A:x\mapsto 2{\sqrt {x}}\,}$

これは分散を安定させるのにそれほど効果的ではないものの、より理解しやすいという利点があります。実際、デルタ法では、

${\displaystyle V[2{\sqrt {x}}]\approx \left({\frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\right)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\right)^{2}m=1}$。

一般化

アンスコム変換は純粋なポアソン分布データに適していますが、多くの応用では、データは加法的なガウス分布成分も示します。これらのケースは、一般化アンスコム変換^[6]とその漸近的に不偏な逆変換、または正確な不偏な逆変換^{[7]によって処理されます}

参照

• 分散安定化変換
• ボックス・コックス変換

参考文献

1. Anscombe, FJ (1948)、「ポアソン分布、二項分布、負二項分布データの変換」、Biometrika、第35巻、第 3～ 4号、[オックスフォード大学出版局、Biometrika Trust]、  246～ 254ページ、doi :10.1093/biomet/35.3-4.246、JSTOR  2332343
2. Bar-Lev, SK; Enis, P. (1988)「分散安定化変換の古典的選択とポアソン変量への応用について」Biometrika、第75巻、第4号、pp.  803– 804、doi :10.1093/biomet/75.4.803
3. Mäkitalo, M.; Foi, A. (2011), 「低カウントポアソン画像ノイズ除去におけるアンスコム変換の最適反転」、IEEE Transactions on Image Processing、vol. 20、no. 1、pp.  99– 109、Bibcode :2011ITIP...20...99M、CiteSeerX 10.1.1.219.6735、doi :10.1109/TIP.2010.2056693、PMID  20615809、S2CID  10229455 
4. Mäkitalo, M.; Foi, A. (2011), 「アンスコム分散安定化変換の正確な不偏逆行列の閉形式近似」、IEEE Transactions on Image Processing、vol. 20、no. 9、pp.  2697– 2698、Bibcode :2011ITIP...20.2697M、doi :10.1109/TIP.2011.2121085、PMID  21356615、S2CID  7937596
5. Freeman, MF; Tukey, JW (1950)、「角度と平方根に関する変換」、The Annals of Mathematical Statistics、第21巻、第4号、pp.  607– 611、doi : 10.1214/aoms/1177729756、JSTOR  2236611
6. Starck, JL; Murtagh, F.; Bijaoui, A. (1998).画像処理とデータ分析. Cambridge University Press. ISBN 9780521599146。
7. Mäkitalo, M.; Foi, A. (2013)、「ポアソン-ガウスノイズに対する一般化アンスコム変換の最適逆変換」、IEEE Transactions on Image Processing、第22巻、第1号、  91～ 103ページ、Bibcode :2013ITIP...22...91M、doi :10.1109/TIP.2012.2202675、PMID  22692910、S2CID  206724566

参考文献

• Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001)、「天文画像と信号処理：ノイズ、情報、スケールの考察」、Signal Processing Magazine、IEEE、第18巻、第2号、  30～ 40ページ、Bibcode :2001ISPM...18...30S、doi :10.1109/79.916319、S2CID  13210703

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