アルキメデス立体

アルキメデスの立体。2つはキラルで、両方の形が示されているため、全部で15個のモデルがあります

アルキメデス立体は、面が正多角形で頂点推移的（[要出典]）である13個の凸多面体の集合であるが、面推移的ではない。この立体はアルキメデスにちなんで名付けられたが、アルキメデス自身はこれを考案したとは主張していない。アルキメデス立体は、面が正対で頂点が対称的な多面体である一様多面体に属する。ルネサンス期の芸術家や数学者の作品には、アルキメデス立体がいくつか描かれている。

細長い正方形のジャイロビキューポラ、または擬菱形立方八面体は、正多面体で頂点が合同な特別な。しかし、頂点推移的ではないため、一般的にはアルキメデスの立体とはみなされません。

固形物

アルキメデスの立体は、単一の頂点配置と高度な対称性を持っています。頂点配置は、各頂点でどの正多角形が交わるかを示します。例えば、この配置は、各頂点が2つの三角形と2つの五角形が交互に交わる多面体を示します。この場合の高度な対称性とは、各立体の対称群がプラトン立体から派生し、その構成から生じたことを意味します。[1]一部の情報源では、アルキメデスの立体は半正多面体と同義であると言われています。[2]しかし、半正多面体の定義には、細長い正方形のジャイロビキューポラを含む、無限のプリズムと反プリズムも含まれる場合があります。[3]

アルキメデス立体の骨格はグラフで表すことができ、アルキメデスグラフと呼ばれます。このようなグラフには、正則グラフ、多面体グラフ（したがって必然的に3頂点連結の 平面グラフ）、そしてハミルトングラフがあります。[4]

13のアルキメデス立体
名前立体頂点の構成[5]面[6]辺[6]頂点[6]点
群[7]
切頂四面体切頂四面体3.6.6
三角形4個、六角形
4個		1812T d
立方八面体立方八面体3.4.3.4
三角形8個、正方形
6個		2412ああ
切頂立方体切頂六面体3.8.8
三角形8個、
八角形6個		3624ああ
切頂八面体切頂八面体4.6.6
正方形6個、
六角形8個		3624ああ
菱形立方八面体菱形立方八面体3.4.4.4
三角形8個、
正方形18個		4824ああ
切頂立方八面体切頂立方八面体4.6.8
正方形12個、
六角形8個、
八角形6個		7248ああ
スナブキューブ反時計回りの六面体3.3.3.3.4
三角形32個、正方形
6個		6024O
二十十二面体二十十二面体3.5.3.5
三角形20個、五角形
12個		60301 h
切頂十二面体切頂十二面体3.10.10
20個の三角形、
12個の十角形		90601 h
切頂二十面体切頂二十面体5.6.6
五角形12個
、六角形20個		90601 h
菱形十二面体菱形十二面体3.4.5.4
三角形20個、
正方形30個、
五角形12個		120601 h
切頂二十十二面体切頂二十十二面体4.6.10
正方形30個、
六角形20個、十角形
12個		1801201 h
角ばった十二面体スナブ十二面体（Cw）3.3.3.3.5
三角形80個、
五角形12個		15060私

いくつかのアルキメデス立体の構築は、プラトン立体から始まります。切頂は角を切り落とすことを伴います。対称性を保つために、切断は多面体の中心と角を結ぶ線に垂直な平面で行われ、すべての角に対して同じです。その例として、20面体のすべての頂点を切り落とすことによって構築された切頂20面体が挙げられます。切頂20面体は20面体と同じ対称性を持ち、20面体対称性と呼ばれます。[8]切頂が、隣接する頂点の各面のペアがちょうど1点を共有するほど十分に深い場合、それは平行化と呼ばれます。拡大は、各面を中心から（プラトン立体の対称性を保つために同じ距離だけ）離し、凸包を取ることを伴います一例としては、立方体または正八面体の面をその重心から分離し、その面を正方形で埋めることによって構成される菱立方八面体が挙げられる。[9]スナブは、多面体の面を分離し、その面を特定の角度でねじり、その面を正三角形で埋めることによって多面体を構築する方法である。例としては、スナブ立方体とスナブ十二面体が挙げられる。これらの立体の構築結果にはキラリティーという性質があり、鏡に映したときに同一ではない。[10]しかし、すべてがこのように構築できるわけではなく、別の方法で構築することもできる。例えば、二十十二面体は、五角形のロタンダを2つ底面同士で接続することによって構築でき、菱立方八面体は、八角柱の底面に2つの正方形のキューポラを接続することによっても構築できる。 [6]

アルキメデスの立体のうち少なくとも10個はルパートの性質を持ち、それぞれが同じ大きさの自身の複製を通過できる。これらは、立方八面体、切頂八面体、切頂立方体、菱立方八面体、二十十二面体、切頂立方八面体、切頂二十面体、切頂十二面体、切頂四面体である。[11]

アルキメデス立体の双対多面体はカタラン立体である。[1]

発見の背景

アルキメデス立体の名称は、古代ギリシャの数学者アルキメデスに由来する。彼は現在では失われている著作の中で、この立体について論じている。元々はアルキメデスの著作ではないが、アレクサンドリアのパップスは著書『シナゴーグ』第5章でアルキメデスに言及し、13個の多面体を列挙し、それぞれの多面体が何面あるかを簡潔に説明している。[12]

ルネサンス期には、芸術家や数学者は対称性が高い純粋な形状を高く評価した。ピエロ・デラ・フランチェスカの『規則的な五つの体について』には、アルキメデスの著作を研究し模写しようとしただけでなく、アルキメデスへの引用も含まれており、アルキメデス立体がいくつか登場している。[13]しかし、デラ・フランチェスカはそれらの図形をアルキメデスの作品とはしておらず、アルキメデスの著作も知っていたが、独立した再発見だったようだ。[14]立体は他に、ヴェンツェル・ヤムニッツァーの『規則的な体観』や、レオナルド・ダ・ヴィンチが描いたルカ・パチョーリの『算術大全』と『神による比例』にも登場している。[15]アルキメデス立体の網目は、パチョーリの著作を模写したアルブレヒト・デューラーの『網の目の下で』に登場している。 1620年頃、ヨハネス・ケプラーは著書『世界の調和』の中で、13の多面体の再発見、プリズム、反プリズム、そしてケプラー・ポアンソ多面体として知られる非凸立体の定義を完了した。[16]

菱形立方八面体と細長い正方形のジャイロビキューポラ。後者は頂点推移的ではなく、したがってアルキメデス的ではない。

ケプラーは、細長い正方形のジャイロビキューポラまたは擬菱立方八面体として知られる別の立体も発見した可能性がある。ケプラーはかつてアルキメデスの立体は14種類あると述べたが、彼が公表した数え上げでは13個の均一な多面体しか含まれていない。このような立体の存在を初めて明確に述べたのは、 1905年にダンカン・サマービルである。[17]この立体は、数学者が誤って菱立方八面体を構築したときに登場した。これは、八角柱に2つの正方形のキューポラが取り付けられ、そのうちの1つが45度回転したものである。[18] 13個の立体は頂点推移的性質を持ち、つまり任意の2つの頂点を他の頂点に移動できるが、細長い正方形のジャイロビキューポラではそれができない。グリュンバウム（2009）は、これがアルキメデス立体のより弱い定義を満たしていると指摘した。この定義では、「同一の頂点」とは、多面体の任意の2つの頂点付近の部分が単に同じように見える（各頂点の周りで同じ順序で交わり、同じ角度を形成する面の形状が同じである）ことを意味する。グリュンバウムは、著者がアルキメデス立体をこの局所的な定義の何らかの形で定義しながら、14番目の多面体を省略するというよくある誤りを指摘した。13個の多面体のみを列挙する場合、定義では局所近傍ではなく、多面体の全体的対称性を用いなければならない。この結果、細長い正方形のジャイロビキューポラはアルキメデス立体から除外され、代わりにジョンソン立体、すなわちすべての面が正多角形である凸多面体に含まれることになった。[17] [検証失敗]

参照

参考文献

脚注

  1. ^ ab Diudea (2018)、39ページ
  2. ^ Kinsey、Moore、Prassidis (2011)、380ページ
  3. ^
    • ロベンスキー（2010）、116ページ
    • マルケヴィッチ（1988）、85ページ
  4. ^ グラフのアトラス、267-270ページ
  5. ^ ウィリアムズ（1979年）。
  6. ^ abcd バーマン (1971).
  7. ^ コカ＆コカ (2013)、p. 47～50。
  8. ^
    • チャンスィー＆オブライエン（1997）、13ページ
    • コカ＆コカ（2013）、48頁
  9. ^ ヴィアナら。 （2019）、p. 1123、図6を参照。
  10. ^ コカ＆コカ（2013）、49頁。
  11. ^
    • チャイ、ユアン、ザムフィレスク (2018)
    • ホフマン（2019）
    • ラヴォー（2019）
  12. ^
    • クロムウェル（1997）、156ページ
    • グリュンバウム（2009）
    • フィールド（1997年）、248ページ
  13. ^ バンカー（2005年）
  14. ^ フィールド（1997年）、248ページ
  15. ^
    • クロムウェル（1997）、156ページ
    • フィールド（1997）、253～254ページ
  16. ^ シュライバー、フィッシャー、スターナス（2008）。
  17. ^ ab Grünbaum (2009).
  18. ^
    • クロムウェル（1997）、91ページ
    • バーマン（1971）

参考文献

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  • Viana, Vera; Xavier, João Pedro; Aires, Ana Paula; Campos, Helena (2019)「アキラル多面体のインタラクティブな拡張」、Cocchiarella, Luigi (編)、ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics 40th Anniversary - Milan, Italy, August 3-7, 2018、Springer、doi :10.1007/978-3-319-95588-9、ISBN 978-3-319-95587-2。
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さらに詳しく

  • ヴィアナ、ヴェラ（2024）「15世紀と16世紀のアルキメデス立体」、正確科学史アーカイブ、78（6）：631-715、doi：10.1007/s00407-024-00331-7。
  • ウィリアムズ、キム。モンテレオーネ、コジモ (2021)、ダニエレ バルバロの 1568 年の視点、p. 19–20、土井：10.1007/978-3-030-76687-0、ISBN 978-3-030-76687-0。
  • ワイスタイン、エリック・W.「アルキメデス立体」MathWorld
  • Archimedean Solids、Eric W. Weisstein、Wolfram Demonstrations Project 著。
  • アルキメデス立体とカタラン立体の紙製模型
  • アルキメデス立体の無料ペーパーモデル（ネット）
  • R.メーダー博士著『均一多面体』
  • Visual Polyhedra のアルキメデス立体（David I. McCooey 著）
  • 仮想現実多面体、ジョージ・W・ハート著『多面体百科事典』
  • ジェームズ・S・プランクによる「最後から2番目のモジュラー折り紙」
  • Java でインタラクティブな 3D 多面体を作成する
  • Solid Body Viewer は、モデルを SVG、STL、または OBJ 形式で保存できるインタラクティブな 3D 多面体ビューアです。
  • Stella: Polyhedron Navigator: このページの多くの画像を作成するために使用されたソフトウェア。
  • アルキメデスの多面体（およびその他の多面体）の紙製モデル
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