アルキメデス順序ベクトル空間

Vector space with a binary relation

数学、特に順序論において、実数または複素数上のベクトル空間上の2項関係が 、すべての正の整数に対して必ず成り立つ関係が存在するとき、アルキメデス的と呼ばれる。 アルキメデス的（前）順序付きベクトル空間は、順序がアルキメデス的である（前）順序付きベクトル空間である。^[1] 前順序付きベクトル空間がほぼアルキメデス的と呼ばれるのは、すべての正の整数に対して必ず成り立つ関係が存在するとき、すべての正の整数に対して必ず成り立つ関係が存在するときである。 ^[2] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle nx\leq y}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle x\leq 0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle x=0.}$

特徴づけ

順序単位を持つベクトル空間 がアルキメデス順序付きである場合、かつその場合のみ、すべての非負整数に対して^[3]が成り立つ。 ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle nx\leq u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\leq 0.}$

プロパティ

を有限次元の実数上順序ベクトル空間とする。このとき、 の順序がアルキメデス的であることは、 の正錐が、ハウスドルフTVSとなる唯一の位相に対して閉じていることと同値である。 ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

注文単位ノルム

が実数上の順序ベクトル空間で、その順序がアルキメデス的である単位元を持つと仮定し、 とする と、のミンコフスキー汎関数（ によって定義される）は、順序元ノルムと呼ばれるノルムである。これは を満たし、 によって決定される閉単位球はに等しい（すなわち、^[3] ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U=[-u,u].}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$ ${\displaystyle p_{U}(u)=1}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle [-u,u]}$ ${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}$

例

点順序を持つ集合上の有界実数値写像空間は、アルキメデス順序で、単位順序（つまり、上で同一である関数）を持つ。 上の単位順序ノルム は、通常の sup ノルムと同一である：^[3] ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u:=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|f\|:=\sup _{}|f(S)|.}$

例

すべての順序完備 ベクトル格子はアルキメデス順序である。^[5] 次元の有限次元ベクトル格子がアルキメデス順序であるためには、その標準順序と同型でなければならない。^[5] しかし、 次元の全順序ベクトル順序はアルキメデス順序にはできない。^[5] ほぼアルキメデス順序であるがアルキメデス順序ではない順序ベクトル空間が存在する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \,>1}$

辞書式順序を持つ実数上のユークリッド空間は 、任意のに対してアルキメデス順序ではないが^、[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}$

参照

• アルキメデスの性質 – 代数構造の数学的性質
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間

参考文献

1. シェーファー＆ウォルフ 1999年、204～214頁。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、254ページ。
3. Narici & Beckenstein 2011、139–153ページ。
4. シェーファー＆ウォルフ 1999年、222～225頁。
5. シェーファー＆ウォルフ 1999、250–257ページ。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。

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