逆正弦分布

Type of probability distribution

アークサイン
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	なし
サポート	${\displaystyle x\in (0,1)}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}$
四分位数	${\displaystyle F^{-1}(x)=\sin \left({\frac {\pi x}{2}}\right)^{2}}$
平均	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
モード	${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
分散	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
エントロピ	${\displaystyle \log {\tfrac {\pi }{4}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
CF	${\displaystyle e^{i{\frac {t}{2}}}J_{0}({\frac {t}{2}})}$

確率論では、逆正弦分布は累積分布関数に逆正弦と平方根が含まれる確率分布です。

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$

0 ≤  x  ≤ 1 に対して、その確率密度関数は

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

(0, 1) 上の標準逆正弦分布は、α  =  β  = 1/2のベータ分布の特殊なケースです。つまり、が逆正弦分布に従う確率変数である場合、 となります。拡張すると、逆正弦分布はピアソンI型分布の特殊なケースとなります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

アークサイン分布は、レヴィのアークサイン法則、エルデシュのアークサイン法則、およびベルヌーイ試行の成功確率のジェフリーズの事前分布に登場します。^{[1] [2]} アークサイン確率密度は、いくつかのランダムウォークの基本定理に登場します。公平なコイン投げのランダムウォークでは、原点に最後に到達した時間の確率は、（U 字型の）アークサイン分布として分布します。^{[3] [4]} 2 人のプレイヤーによる公平なコイン投げゲームでは、（原点から始まった）ランダムウォークが原点の上にある場合、プレイヤーはリードしていると言われます。長さ 2 Nのゲームで、特定のプレイヤーがリードする可能性が最も高い回数は、 Nではありません。逆に、Nは、プレイヤーがリードする可能性が最も低い回数です。リードする可能性が最も高い回数は、0 または 2 Nです（アークサイン分布に従います）。

一般化

アークサイン – 有界サポート
パラメータ	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
サポート	${\displaystyle x\in (a,b)}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$
四分位数	${\displaystyle F^{-1}(x)=\left(b-a\right)\sin \left({\frac {\pi x}{2}}\right)^{2}+a}$
平均	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
モード	${\displaystyle x\in {a,b}}$
分散	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
エントロピ	${\displaystyle \log \left(\pi {\frac {b-a}{4}}\right)}$
CF	${\displaystyle e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)}$

任意の有界サポート

この分布は、単純な変換によって、 a  ≤  x  ≤  bの任意の有界サポートを含むように拡張できる。

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

a  ≤  x  ≤  bに対して、その確率密度関数は

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

( a、  b )について。

形状係数

確率密度関数による(0,1)上の一般化標準逆正弦分布

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

は、パラメータ を持つベータ分布の特殊なケースでもあります。 ${\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}$

一般的な逆正弦分布が上記の標準分布に縮小されることに注意してください。 ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$

プロパティ

• アークサイン分布は、正の係数による平行移動とスケーリングに対して閉じている。
  • もし ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}$
• (-1, 1)上の逆正弦分布の2乗は(0, 1)上の逆正弦分布を持つ。
  • もし ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}$
• 原点（0, 0）を中心とする半径の円上に均一に選ばれた点の座標は、分布を 持つ。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$
  • 例えば、円周上の一様に点を選択した場合、その点のx座標分布は、y座標分布は ${\displaystyle U\sim {\rm {Uniform}}(0,2\pi r)}$ ${\displaystyle r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$ ${\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$

特性関数

一般化逆正弦分布の特性関数は、第一種ゼロ次ベッセル関数に複素指数を乗じたものであり、 で表されます。 の特殊なケースでは、特性関数は の形になります。 ${\displaystyle e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)}$ ${\displaystyle b=-a}$ ${\displaystyle J_{0}(bt)}$

関連ディストリビューション

• U と V がiid 一様(−π,π) 確率変数である場合、、、、およびはすべて分布に従います。 ${\displaystyle \sin(U)}$ ${\displaystyle \sin(2U)}$ ${\displaystyle -\cos(2U)}$ ${\displaystyle \sin(U+V)}$ ${\displaystyle \sin(U-V)}$ ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}$
• が有限区間[a,b]でサポートされる形状パラメータを持つ一般化逆正弦分布である場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }$
• X ~ Cauchy(0, 1)の場合、標準逆正弦分布に従う。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+X^{2}}}}$

参考文献

1. Overturf, Drew; et al. (2017).体積分散型フェーズドアレイからのビームフォーミングパターンの調査. MILCOM 2017 - 2017 IEEE Military Communications Conference (MILCOM). pp.  817– 822. doi :10.1109/MILCOM.2017.8170756. ISBN 978-1-5386-0595-0。
2. Buchanan, K.; et al. (2020). 「分散アレイと共有開口分布を用いたヌルビームステアリング」. IEEE Transactions on Antennas and Propagation . 68 (7): 5353– 5364. Bibcode :2020ITAP...68.5353B. doi :10.1109/TAP.2020.2978887.
3. ウィリアム・フェラー（1971年）『確率論とその応用入門』第2巻、ワイリー社、ISBN 978-0471257097。
4. ウィリアム・フェラー（1968年）『確率論とその応用入門』第1巻（第3版）ワイリー社ISBN 978-0471257080。

さらに読む

• Rogozin, BA (2001) [1994]、「アークサイン分布」、数学百科事典、EMSプレス

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