算術数

正の約数の平均も整数となる整数

キュイゼネール棒を使​​った、数字6の算術的性質のデモンストレーション

数論において算術数とは、その正の約数の平均も整数となる整数のことである。例えば、6は算術数である。なぜなら、その約数の平均は

${\displaystyle {\frac {1+2+3+6}{4}}=3,}$

これも整数です。しかし、2は算術数ではありません。なぜなら、2の約数は1と2だけであり、その平均である3/2は整数ではないからです。

算術数列の最初の数字は

1、3、5、6、7、11、13、14、15、17、19、20、21、22、23、27、29、30、31、33、35、37、38、39、41、42、43、44、45、46、47、49、...（OEISのシーケンスA003601）。

算術数の約数の算術平均は A102187 にリストされています。

密度

このような数の自然密度は1であることが知られている：^[1]実際、 X未満の算術的でない数の割合は漸近的に^{[2]である。}

${\displaystyle \exp \left({-c{\sqrt {\log \log X}}}\,\right)}$

ここでc = 2√log2 +o(1) である。

数Nが算術数であるとは、約数の個数 d ( N  )が約数の和σ( N ) を割り切ることを意味する。より強い条件であるd ( N  ) ^{2が σ(} N )を割り切るという条件を満たす整数Nの密度は 1/2 である ことが知られている 。^{[1] [2]}

注記

1. Guy (2004) p.76
2. Bateman, Paul T. ; Erdős, Paul ; Pomerance, Carl ; Straus, EG (1981). 「整数の約数の算術平均」Knopp, MI (ed.). 解析的数論, Proc. Conf., Temple Univ., 1980 (PDF) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 899. Springer-Verlag . pp.  197– 220. Zbl  0478.10027.

参考文献

• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（第3版）.シュプリンガー・フェアラーク. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001。

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