ホロノミック関数

数学的解析における関数の種類

数学、より具体的には解析学において、ホロノミック関数は、多項式係数を持つ線型同次微分方程式系の解であり、 D-加群理論の観点から適切な次元条件を満たす、複数の変数の滑らかな関数です。より正確には、ホロノミック関数は滑らかな関数のホロノミック加群の要素です。ホロノミック関数は、微分可能有限関数、つまりD-有限関数とも呼ばれる関数として記述することもできます。変数のべき級数がホロノミック関数のテイラー展開である場合、1 つまたは複数のインデックスにおけるその係数のシーケンスもホロノミックと呼ばれます。 ホロノミック シーケンスはP-再帰シーケンスとも呼ばれ、シーケンス全体とその適切な特殊化によって満たされる多変数再帰によって再帰的に定義されます。単変数の場合は状況が単純化されます。多項式係数を持つ線形同次再帰関係を満たす任意の単変数シーケンス、またはそれと同等の多項式係数を持つ線形同次差分方程式はホロノミックです。^[1]

ホロノミック関数と1変数列

定義

を特性0の体とします(たとえば、または)。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$

関数がD有限（またはホロノミック）と呼ばれるのは、次のような 多項式が存在するときである。 ${\displaystyle f=f(x)}$ ${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

はすべてのxに対して成り立つ。これは次のようにも書ける。 ${\displaystyle Af=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

は に写像する微分作用素である。はfの消滅作用素と呼ばれる（ の消滅作用素は環 のイデアルを形成し、の消滅作用素と呼ばれる）。rは消滅作用素の位数と呼ばれる。拡張して、ホロノミック関数fは、そのような位数の消滅作用素が存在するとき、 r位であると言われる。 ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$ ${\displaystyle f}$

次のような多項式が存在するとき、その数列はP再帰的（またはホロノミック）と呼ばれる。 ${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$ ${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

全てのnに対して成り立つ。これは次のようにも書ける。 ${\displaystyle Ac=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

に写像するシフト演算子はcの消滅演算子と呼ばれる（ の消滅演算子は環 のイデアルを形成し、の消滅演算子と呼ばれる）。量rは消滅演算子の位数と呼ばれる。拡張して、そのような位数の消滅演算子が存在するとき、ホロノミック列cは位数rであると言われる。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$ ${\displaystyle c}$

ホロノミック関数はまさにホロノミック列の生成関数である。ホロノミックであれば、冪級数展開の係数は ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

ホロノミック列を形成する。逆に、与えられたホロノミック列に対して、上記の和によって定義される関数はホロノミックである（これは、和の収束半径がゼロであっても、形式的な冪級数の意味で真である）。 ${\displaystyle c_{n}}$

閉鎖特性

ホロノミック関数（または列）は、いくつかの閉包性を満たす。特に、ホロノミック関数（または列）は環を形成する。しかし、ホロノミック関数（または列）は除算に関して閉じていないため、体を形成しない。

およびがホロノミック関数である場合、次の関数もホロノミックです。 ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$、ここで、およびは定数である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$（数列のコーシー積）
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$（数列のアダマール積）
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}f_{k})x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$（ここでは任意の代数関数である。しかし、は一般にホロノミックではない。） ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle a(f(x))}$

ホロノミック関数の重要な特性は、閉包特性が有効であることです。つまり、およびの消滅演算子が与えられれば、上記の演算のいずれかを使用して定義される、の消滅演算子を明示的に計算できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

ホロノミック関数とシーケンスの例

ホロノミック関数の例には次のものがあります。

• 多項式と有理関数を含むすべての代数関数
• 正弦関数と余弦関数（ただし、正接関数、余接関数、割線関数、余割関数は除く）
• 双曲線正弦関数と双曲線余弦関数（ただし、双曲線正接、双曲線余弦、双曲線正割、双曲線余割は除く）
• 指数関数と対数（任意の底）
• 一般化超幾何関数は 、すべてのパラメータを固定した状態での関数として考えられます。 ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• 誤差関数 ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• ベッセル関数 、、、​​ ${\displaystyle J_{n}(x)}$ ${\displaystyle Y_{n}(x)}$ ${\displaystyle I_{n}(x)}$ ${\displaystyle K_{n}(x)}$
• エアリー関数 、 ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

ホロノミック関数のクラスは、超幾何関数のクラスの厳密なスーパーセットです。ホロノミックでありながら超幾何的ではない特殊関数の例としては、ホイン関数が挙げられます。

ホロノミックシーケンスの例には次のものがあります。

• フィボナッチ数列 、そしてより一般的にはすべての定数再帰列 ${\displaystyle F_{n}}$
• 階乗の列 ${\displaystyle n!}$
• 二項係数 の列（ nまたはkの関数として） ${\displaystyle {n \choose k}}$
• 調和 数列、より一般的には任意の整数mに対して ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$
• カタラン数の列
• モツキン数列
• 異常の列挙。

超幾何関数、ベッセル関数、および古典直交多項式は、その変数のホロノミック関数であることに加えて、そのパラメータに関するホロノミック列でもあります。例えば、ベッセル関数と は、2次線形回帰 を満たします。 ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$

非ホロノミック関数とシーケンスの例

非ホロノミック関数の例には次のものがあります。

• 機能^[2] ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
• 関数tan( x )+sec( x ) ^[3]
• 2 つのホロノミック関数の商は一般にホロノミックではありません。

非ホロノミックシーケンスの例には次のものがあります。

• ベルヌーイ数
• 交互順列の数^[4]
• 整数分割数^[3]
• 数字^[3] ${\displaystyle \log(n)}$
• ^[3]の数字 ${\displaystyle n^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$
• 素数[ 3 ^]
• 既約順列と連結順列の列挙。^[5]

アルゴリズムとソフトウェア

ホロノミック関数は、コンピュータ代数における強力なツールです。ホロノミック関数またはホロノミック列は、有限量のデータ、すなわち消滅演算子と有限の初期値集合で表現でき、その閉包性により、等式判定、和、積分といった演算をアルゴリズム的に実行できます。近年、これらの技術により、多数の特殊関数や組合せ恒等式の自動証明が可能になっています。

さらに、複素平面上の任意の点でホロノミック関数を任意の精度で評価し、ホロノミックシーケンス内の任意のエントリを数値的に計算するための高速アルゴリズムが存在します。

ホロノミック関数を操作するためのソフトウェアには、次のものがあります。

• Christoph Koutschanによって開発されたMathematica用のHolonomicFunctions [1]パッケージは、一変数および多変数ホロノミック関数の閉包性の計算と恒等式の証明をサポートしています。
• Maple用のalgolib [2]ライブラリには以下のパッケージが含まれています。
  • gfun は、ブルーノ・サルヴィ、ポール・ツィンマーマン、エイトネ・マレーによって開発された、一変数閉包性と証明のためのものである[3]
  • mgfun はフレデリック・チザックによって開発され、多変数閉包特性と証明に用いられる[4]
  • 数値評価のために Marc Mezzarobba が開発したnumgfun

参照

数学関数のダイナミック辞書 ( Wayback Machineに 2010-07-06 にアーカイブ) は、ホロノミック関数に基づいて、多数の古典的および特殊関数 (点における評価、テイラー級数とユーザー指定の精度への漸近展開、微分方程式、テイラー級数の係数の再帰、導関数、不定積分、プロットなど) を自動的に調査するオンライン ソフトウェアです。

注記

1. Zeilberger 1990 および Kauers & Paule 2011 を参照。
2. これは、関数には無限個の（複素）特異点があるのに対し、多項式係数を持つ線型微分方程式を満たす関数には必然的に有限個の特異点しかないという事実から導かれます。 ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
3. Flajolet、Gerhold、Salvy 2005 を参照。
4. これは、関数tan( x ) + sec( x )が非ホロノミック関数であるという事実から導かれる。Flajolet, Gerhold & Salvy 2005を参照。
5. Klazar 2003を参照。

参考文献

• フラジョレ、フィリップ；ゲルホールド、ステファン；サルヴィ、ブルーノ（2005）「対数、べき乗、およびn次素関数の非ホロノミック性について」、Electronic Journal of Combinatorics、11（2）、doi：10.37236/1894、S2CID  184136。
• フラジョレ, フィリップ; セジウィック, ロバート (2009).解析的組合せ論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521898065。
• カウアーズ、マヌエル、ポール、ピーター(2011). 『具体的な四面体：記号和、再帰方程式、生成関数、漸近推定』 . 記号計算テキストおよびモノグラフ. シュプリンガー. ISBN 978-3-7091-0444-6。
• Klazar, Martin (2003). 「既約順列と連結順列」(PDF) .（ITIシリーズプレプリント）
• マリンガー、クリスチャン (1996). 単変数ホロノミック関数とシーケンスのアルゴリズム的操作と変換(PDF) (論文) . 2013年6月4日閲覧.
• スタンリー、リチャード・P. (1999).列挙的組合せ論. 第2巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-56069-6。
• Zeilberger, Doron (1990). 「特殊関数恒等式へのホロノミックシステムアプローチ」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 32 (3): 321– 368. doi : 10.1016/0377-0427(90)90042-X . ISSN  0377-0427. MR  1090884.
• カウアーズ、マヌエル (2023). D-有限関数. 数学におけるアルゴリズムと計算. 第30巻. シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-031-34652-1. ISBN 978-3-031-34652-1。

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