Line or vector perpendicular to a curve or a surface
ポリゴンとその2つの法線ベクトル ある点における表面の法線は、同じ点における表面の接線面の法線と同じです。 デカルト座標系 における曲線の接線と法線 。 幾何学 において 、 法線とは、与えられた物体に 垂直な 物体 （例えば、 直線 、 光線 、 ベクトル ）の ことです 。例えば、 ある 点における 平面曲線 の 法線は、その点における 曲線の接線 に垂直な無限直線です 。
法線 ベクトル とは、ある特定の点において与えられた物体に垂直な ベクトル です。 長さ1の法線ベクトルは、 単位法線ベクトル または 法線方向 と呼ばれます 。 曲率ベクトルとは、その長さが物体の 曲率 である法線ベクトルです 。法線ベクトルに −1 の場合は 反対のベクトル となり、これは側面 (内側または外側など) や方向 (時計回りと反時計回り、 右回りと左回りなど ) を示すために使用できます。
3次元空間 において 、 点 P における面 法線 （または単に 法線）は 、点 P における面の 接平面 に垂直なベクトルです 。 面に対する法線方向の ベクトル場は ガウス写像 として知られています。「法線」という言葉は形容詞としても用いられ、例えば平面 に 垂直な 直線 、 力 の 法線 成分などです。法線性の概念は、 直交性 （ 直角 ）にも一般化されます。
この概念は、ユークリッド空間 に埋め込まれた任意次元の 微分可能多様体 へと一般化されている 。 点における多様体の 法ベクトル空間 、または 法空間 とは、点における 接空間 に直交するベクトルの集合である。法ベクトルは、 滑らかな曲線 や 滑らかな曲面 の場合に特に重要である 。 P {\displaystyle P} P . {\displaystyle P.}
法線は、 3D コンピュータ グラフィックス でよく使用され(法線は 1 つしか定義されないため、単数形であることに注意してください) 、 フラット シェーディング の場合は 光源に対するサーフェスの向きを決定し、 フォン シェーディング の場合はサーフェスの各コーナー ( 頂点 ) の向きを決定して曲面を模倣します 。
関心点 Q における法線の足（ 垂線の足 に類似） は 、法線ベクトルが Q を含む面上の点 P で定義できます。 点 Q から曲線または面までの 法線距離 は、 Q とその足 P 間の ユークリッド距離 です。
空間曲線に垂直 曲線 (黒) に対する法線方向 (赤)。 空間曲線 の法線方向は次の とおりです。
N = R d T d s {\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}} ここで 、 は 曲率半径 （逆 曲率 ）であり、
は曲線の位置 と弧の長さ に関する 接線ベクトル です 。 R = κ − 1 {\displaystyle R=\kappa ^{-1}} T {\displaystyle \mathbf {T} } r {\displaystyle \mathbf {r} } s {\displaystyle s}
T = d r d s {\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}
平面と多角形に対する法線 正規形の平面方程式 凸 多角形( 三角形 など) の場合、表面法線 は多角形の 2 つの (平行でない) エッジの
ベクトル 外積 として計算できます。
一般的な平面 方程式によって与えられた 平面 の場合、 ベクトル は法線です。 a x + b y + c z + d = 0 , {\displaystyle ax+by+cz+d=0,} n = ( a , b , c ) {\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}
平面上の点と 平面に沿う非平行ベクトルの方程式が媒介変数形式で与えられた平面の場合、平面の法線は両方の法線ベクトルであり 、 外積 として 求め られる。 r ( s , t ) = r 0 + s p + t q , {\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,} r 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{0}} p , q {\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} } p {\displaystyle \mathbf {p} } q , {\displaystyle \mathbf {q} ,} n = p × q . {\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}
3D空間における法線から一般的な表面まで 表面への単位法線ベクトル（青い矢印）を示す曲面 3次元空間の （おそらく平坦ではない）表面が、 実変数と 曲線 座標 系 によって パラメータ化されて いる場合、 S の法線は 定義により接平面の法線であり、 偏微分の外積で与えられる。 S {\displaystyle S} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} r ( s , t ) = ( x ( s , t ) , y ( s , t ) , z ( s , t ) ) , {\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),} s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} n = ∂ r ∂ s × ∂ r ∂ t . {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}
面が暗黙的に点の集合として与えられている場合 、 面 上 の 点 における法線は 勾配によって与えられる。なぜなら 、任意の点における勾配はレベル集合に垂直だ からである。 S {\displaystyle S} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} F ( x , y , z ) = 0 , {\displaystyle F(x,y,z)=0,} ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} n = ∇ F ( x , y , z ) . {\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).} S . {\displaystyle S.}
関数のグラフとして与えられた の 曲面に対して、 上向きの法線は、 のパラメータ化から求めることも 、より単純に の暗黙的な形式から求めることも でき
ます 。
曲面は 特異点 に接平面を持たないため、その点（例えば 円錐の頂点）には明確に定義された法線は存在しません。一般に、 リプシッツ連続 の曲面では、ほぼどこでも法線を定義することができます 。 S {\displaystyle S} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} z = f ( x , y ) , {\displaystyle z=f(x,y),} r ( x , y ) = ( x , y , f ( x , y ) ) , {\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),} n = ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y = ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) = ( − ∂ f ∂ x , − ∂ f ∂ y , 1 ) ; {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);} F ( x , y , z ) = z − f ( x , y ) = 0 , {\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,} n = ∇ F ( x , y , z ) = ( − ∂ f ∂ x , − ∂ f ∂ y , 1 ) . {\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}
オリエンテーション 表面の法線のベクトル場 （超）曲面の法線は通常、 単位長さ に尺度化されますが、その反対の法線も単位法線であるため、一意の方向を持ちません。3 次元集合の 位相境界となる曲面の場合、 内向き法線 と 外 向き法線 という2つの 法線 方向 を区別できます。 有向曲面の場合、法線は通常、 右手の法則 、または高次元におけるその類似法則 によって決定されます。
法線が接線ベクトルの外積として構築される場合（上記のテキストで説明されているように）、それは 擬似ベクトル です。
サーフェスに変換を適用する場合、元の法線から結果のサーフェスの法線を導出すると便利な場合がよくあります。
具体的には、3×3 の変換行列が与えられれば、 次のロジックによって、 接線平面に垂直な ベクトルを変換 された接線平面に垂直な ベクトルに変換する 行列を決定できます。 M , {\displaystyle \mathbf {M} ,} W {\displaystyle \mathbf {W} } n {\displaystyle \mathbf {n} } t {\displaystyle \mathbf {t} } n ′ {\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }} M t , {\displaystyle \mathbf {Mt} ,}
n′を 次の ように 書きます。 W n . {\displaystyle \mathbf {Wn} .} W . {\displaystyle \mathbf {W} .} W n is perpendicular to M t if and only if 0 = ( W n ) ⋅ ( M t ) if and only if 0 = ( W n ) T ( M t ) if and only if 0 = ( n T W T ) ( M t ) if and only if 0 = n T ( W T M ) t {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}
または を選択すると 、 上記の式が満たされ、必要に応じて または に 垂直になります 。 W {\displaystyle \mathbf {W} } W T M = I , {\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,} W = ( M − 1 ) T , {\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },} W n {\displaystyle W\mathbb {n} } M t , {\displaystyle M\mathbb {t} ,} n ′ {\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }} t ′ , {\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}
したがって、面法線を変換する際には、線形変換の逆転置を使用する必要があります。行列が直交行列、つまりスケーリングやシアーのない純粋な回転行列である場合、逆転置は元の行列と等しくなります。
超曲面における n 次元空間 次元空間 における 次元 超平面（ ここ で は超平面上の点、超平面に 沿う 線独立ベクトル）のパラメトリック表現によって与えられる場合、超平面への法線は行列の零空間内の任意のベクトル、つまり となる 。 つまり 、 すべて の 面 内 ベクトルに直交する任意のベクトルは、定義により面法線となる。あるいは、超平面が単一の線形方程式 の解集合として定義されている場合、ベクトルは 法線となる。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} r ( t 1 , … , t n − 1 ) = p 0 + t 1 v 1 + ⋯ + t n − 1 v n − 1 , {\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {v} _{n-1},} p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} v i {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} i = 1 , … , n − 1 {\displaystyle i=1,\ldots ,n-1} n {\displaystyle \mathbf {n} } V = [ v 1 ⋯ v n − 1 ] , {\displaystyle V={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}},} V n = 0 {\displaystyle V\mathbf {n} =\mathbf {0} } a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c} n = ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \mathbf {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}
3次元空間における面の法線の定義は、 における -次元 超曲面 にも拡張できます。超曲面は、 局所的に 、 方程式 を満たす点の集合として暗黙的に定義できます。ここで、 は与えられた スカラー関数 です。が 連続的に微分可能 である場合 、超曲面は 勾配が ゼロではない点の 近傍 において 微分可能多様体 です。これらの点において、法線ベクトルは勾配によって与えられます。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} F ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0} F {\displaystyle F} F {\displaystyle F} n = ∇ F ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( ∂ F ∂ x 1 , ∂ F ∂ x 2 , … , ∂ F ∂ x n ) . {\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}
法線 は 基底を持つ1次元部分空間である { n } . {\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}
線形独立ベクトルv 1 、...、 v r −1 が張る空間に垂直で 、 線形独立ベクトル v 1 、...、 v r が張るr 次元 空間に含まれるベクトルは、行列 Λ = V ( V T V ) −1の r 番目 の列で与えられます 。ここで、行列 V = ( v 1 、...、 v r )は、 r 列ベクトルの並置です 。(証明: Λ は 行列 V倍なので、 Λの各列は、 V の列の線形結合です 。さらに、 V T Λ = I なので、最後の列を除く Vの各列は、 Λ の最後の列に垂直です。) この式は、 r がユークリッド 空間 n の次元より小さい 場合でも機能します 。 r = n のとき、 式は Λ = ( V T ) −1 に簡略化されます。
暗黙の方程式で定義される多様体 n 次元空間 次元空間 の暗黙方程式によって定義される 微分 多様体は 、変数 の微分可能関数の有限集合の共通零点の集合である。 多様体のヤコビ行列は、その行が の勾配である行列である 。 暗黙 関数 定理 により 、 多様体は、 ヤコビ行列の階数が である点の近傍の 多様体 である。そのような点において、 法線 ベクトル空間 は、 の勾配ベクトルの における値によって生成されるベクトル空間である。 n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n} f 1 ( x 1 , … , x n ) , … , f k ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).} k × n {\displaystyle k\times n} i {\displaystyle i} f i . {\displaystyle f_{i}.} k . {\displaystyle k.} P , {\displaystyle P,} P {\displaystyle P} f i . {\displaystyle f_{i}.}
言い換えれば、多様体は 超曲面の交差として定義され、ある点における法線ベクトル空間はその点における超曲面の法線ベクトルによって生成されるベクトル空間です。 k {\displaystyle k}
多様体の 点における 法線 （アフィン）空間は 、その法線ベクトル空間を通過し 、その法線ベクトル空間によって生成される アフィン部分空間である。 P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} P . {\displaystyle P.}
これらの定義は、多様体が多様体ではない点まで 逐語的に 拡張することができます。
例 V を 3 次元空間で方程式によって定義される多様体とします。 この多様体は - 軸と- 軸 の和集合です 。 x y = 0 , z = 0. {\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
ヤコビ行列の行がであり 、 したがって 、 法アフィン空間は方程式の平面である。同様に、 法 平面 が方程式の平面である 場合 、 ( a , 0 , 0 ) , {\displaystyle (a,0,0),} a ≠ 0 , {\displaystyle a\neq 0,} ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} ( 0 , a , 0 ) . {\displaystyle (0,a,0).} x = a . {\displaystyle x=a.} b ≠ 0 , {\displaystyle b\neq 0,} ( 0 , b , 0 ) {\displaystyle (0,b,0)} y = b . {\displaystyle y=b.}
点では、 ヤコビ行列の行は、 そして、 したがって、法線ベクトル空間と法線アフィン空間は次元 1 を持ち、法線アフィン空間は -軸です。 ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0,0)} ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} ( 0 , 0 , 0 ) . {\displaystyle (0,0,0).} z {\displaystyle z}
用途
幾何光学における法線 鏡面反射の図 その 法光線 は、与えられた点における 光学媒体 の表面に対して 垂直 に外向きに向く光線である [2] 光の反射 において 、 入射角 と 反射角は それぞれ法線と 入射光線 （ 入射面 反射光線 との間の角度 。
参照
参考文献 ^ Ying Wu. 「放射測定、BRDF、フォトメトリックステレオ」 （PDF） ノースウェスタン大学。 ^ 「反射の法則」 物理学教室チュートリアル 。2009年4月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年3月31日 閲覧 。
外部リンク
