オペラド

Generalization of associativity properties

数学において、オペラドとは、固定された有限個の入力（引数）と 1 つの出力を持つ抽象演算と、これらの演算を構成する方法の仕様からなる構造です。オペラド が与えられた場合、上の代数を の抽象演算とまったく同じように動作するこの集合に対する具体的な演算とともに定義します。たとえば、上の代数がまさにリー代数であるようなリーオペラドが存在します。ある意味では、 はすべてのリー代数に共通する演算を抽象的に符号化します。オペラドとその代数との関係は、群とその群表現との関係と同じです。 ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

歴史

オペラドは代数位相幾何学に起源を持ち、反復ループ空間を特徴付けるために1968年にJ. Michael BoardmanとRainer M. Vogtによって導入された^{[1] [2] 。}また1972年にはJ. Peter Mayによって導入された^[3]。

マーティン・マークル、スティーブ・シュナイダー、ジム・スタシェフはオペラドに関する著書の中で次のように書いている。^[4]

オペラドという名称と正式な定義は、1970年代初頭のJ・ピーター・メイの『反復ループ空間の幾何学』に初めて登場しましたが、それより1年以上前に、ボードマンとヴォクトは、アダムズとマック・レーンのPROPとPACTに着想を得て、同じ概念を標準形式の演算子のカテゴリという名称で記述しました。実際には、その前史は豊富にあります。ワイベル[ウェイ]は、この概念が初めて登場したのは1世紀前、1898年に出版されたAN・ホワイトヘッドの『普遍代数学に関する論文』であると指摘しています。

「オペラド」という言葉はメイが「オペレーション」と「モナド」を組み合わせた造語として作った（また彼の母親がオペラ歌手だったことにも由来している）。^[5]

オペラドへの関心は、マクシム・コンツェヴィチの初期の洞察に基づいて、ヴィクター・ギンズブルグとミハイル・カプラノフが有理ホモトピー理論におけるいくつかの双対性現象がオペラドのコシュル双対性を使って説明できることを発見した90年代初頭に大幅に再燃した。^{[6] [7]オペラドはそれ以来、}ポアソン多様体の変形量子化、ドリーニュ予想、^[8]あるいはマクシム・コンツェヴィチとトーマス・ウィルヴァッハーの研究におけるグラフホモロジーなど、多くの応用が見出されている。

直感

が集合であるとし、に対して定義する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle P(n):=\{X^{n}\to X\}}$、

のコピーの直積からまでのすべての関数の集合。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

これらの関数を組み合わせることができます。 、 が与えられた場合、関数 ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})}$

${\displaystyle f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$

は次のように定義されます:から引数が与えられたら、それらをブロックに分割し、最初のブロックには引数があり、2 番目のブロックには引数があり、というように分割し、最初のブロックに を適用し、 2 番目のブロックに を適用します。次に、から取得した値のリストに を次のように適用します。 ${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

議論を並べ替えることもできる。つまり、対称群の右作用は 次のように定義される。 ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle (f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})}$

、および の場合。 ${\displaystyle f\in P(n)}$ ${\displaystyle s\in S_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$

以下に示す対称オペラドの定義は、これら 2 つの演算と の基本的な特性を捉えています。 ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle *}$

意味

非対称オペラド

非対称オペラド（順列のないオペラド、非オペラド、あるいはプレーンオペラドと呼ばれることもあります）は ${\displaystyle \Sigma }$、次の要素で構成されます。

• 要素が-ary 演算と呼ばれる集合の列。 ${\displaystyle (P(n))_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n}$
• 単位元と呼ばれる要素、 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P(1)}$
• すべての正の整数に対して、合成関数 ${\displaystyle n}$ ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}}$

次の一貫性公理を満たす:

• 身元： ${\displaystyle \theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta }$
• 結合性：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}}$

対称オペラド

対称オペラド（単にオペラドと呼ばれることが多い）は、上に示したような非対称オペラドに、に対する対称群の右作用を​​加えたもので、で表さ れ、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle *}$

• 同値性：順列が与えられた場合、 ${\displaystyle t\in S_{n}}$

${\displaystyle (\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t^{-1}(1)},\ldots ,\theta _{t^{-1}(n)}))*t'}$

（ここで 、右側の は、セットをサイズ の最初のブロック、サイズ の 2 番目のブロックからサイズ 番目のブロックまで、ブロックを ずつ並べ替えてセットに作用するの要素を指します。その後、各ブロックはそのままにして、これらのブロックを ずつ並べ替えます。） ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

そして順列が与えられると、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}\in S_{k_{i}}}$

${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})}$

(ここで、 は、これらのブロックの最初のものを、2 番目のものを などによって並べ替え、全体の順序をそのまま維持するの要素を表します)。 ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})}$ ${\displaystyle S_{k_{1}+\dots +k_{n}}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

この定義における順列アクションは、ループ空間への元のアプリケーションを含むほとんどのアプリケーションにとって重要です。

モルフィズム

オペラドの射影は、シーケンスから構成される。 ${\displaystyle f:P\to Q}$

${\displaystyle (f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }}$

それ：

• アイデンティティを保持します: ${\displaystyle f(1)=1}$
• 構成は保存されます。すべてのn項演算と演算に対して、 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$

${\displaystyle f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))}$

• 順列アクションを保存します: 。 ${\displaystyle f(x*s)=f(x)*s}$

したがって、オペラドはによって表されるカテゴリを形成します。 ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}}$

他のカテゴリー

これまでオペラドは集合の圏においてのみ考察されてきた。より一般的には、任意の対称モノイド圏 Cにおいてオペラドを定義することが可能である。その場合、各オペラドはCの対象であり、合成はCにおける射（ここで はモノイド圏のテンソル積を表す）であり、対称群の元の作用はCにおける同型によって与えられる。 ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})}$ ${\displaystyle \otimes }$

一般的な例としては、モノイド積が直積によって与えられる位相空間と連続写像の圏が挙げられる。この場合、オペラドは（集合ではなく）空間の列によって与えられる。オペラドの構造写像（対称群の合成と作用）は連続であると仮定される。その結果は位相オペラドと呼ばれる。同様に、オペラドの射の定義においては、関係する写像が連続であると仮定する必要がある。 ${\displaystyle \{P(n)\}_{n\geq 0}}$

オペラドを定義するための他の一般的な設定には、たとえば、可換環上のモジュール、連鎖複合体、群体（またはカテゴリのカテゴリ自体）、コジェネバなど があります。

代数学者の定義

可換環 Rが与えられたとき、R上の加群の圏を考える。R上のオペラドは、上の自己関数のモノイド圏におけるモノイド対象（モナド）として定義され、ある有限性条件を満たす。^{[注 1]} ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle (T,\gamma ,\eta )}$ ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$

例えば、 上の「多項式自己関数」のカテゴリにあるモノイドオブジェクトはオペラドである。^[8]同様に、対称オペラドは-オブジェクトのカテゴリにあるモノイドオブジェクトとして定義することができ、ここで は対称群を意味する。^[9]組合せ論的種のカテゴリにあるモノイドオブジェクトは有限集合におけるオペラドである。 ${\displaystyle R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

上記の意味でのオペラドは、一般化された環と考えられることもあります。例えば、ニコライ・デュロフは、フィルタード余極限と可換なモノイド圏の自己関数のモノイド対象として、一般化された環を定義しています。^{[10]これは環の一般化です。なぜなら、通常の環}R はそれぞれ、集合XをXによって生成される自由R加群の基底集合に送るモナドを定義するからです。 ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle \Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(X)}}$

公理を理解する

結合性公理

「結合性」とは、演算の合成が結合的である（関数が結合的である）ことを意味し、圏論における公理に類似している。これは、演算自体が演算として結合的であることを意味するものではない。以下の結合的オペランドと比較されたい。 ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

オペラド理論における結合性は、演算の結合性により、括弧を省略しても曖昧さなく積を記述できるのと同様に、省略された合成から曖昧さなく演算を含む式を記述できることを意味します。

例えば、が二項演算で、またはと書かれるとします（は必ずしも結合法則ではありません）。すると、一般的に と書かれるものは、と明確にオペラディック的に書かれます。これはを に送り（最初の2つには を適用し、3つ目には恒等式を適用します）、左側の は を「掛け合わせ」ます。これは木構造で表すとより明確になります。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ((ab)c)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta ,1)}$ ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle (ab,c)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle c}$

これは3項演算を生成します。

しかし、この式は先験的に曖昧です。内部合成が先に行われる場合はを意味する可能性があり、外部合成が先に行われる場合は を意味する可能性があります（演算は右から左に読み込まれます）。 と書くと、これはではなくとなります。つまり、木には「垂直括弧」が欠けているということです。 ${\displaystyle (((ab)c)d)}$ ${\displaystyle \theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))}$ ${\displaystyle (\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)}$ ${\displaystyle x\circ (y\circ z)}$ ${\displaystyle (x\circ y)\circ z}$

上位 2 行の操作が最初に合成された場合 (行に上向きの括弧を配置し、最初に内部合成を実行)、結果は次のようになります。 ${\displaystyle (ab)c\ \ d}$

これは明確に評価され、4項演算を生成します。注釈付きの式として：

${\displaystyle \theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))}$

下の 2 行の操作が最初に合成された場合 (行に下向きの括弧を配置し、最初に外側の合成を行う)、結果は次のようになります。 ${\displaystyle ab\quad c\ \ d}$

これは明確に評価され、4項演算が生成されます。

結合法則のオペラド公理は、これらが同じ結果を生むということであり、したがって、式は明確であるということです。 ${\displaystyle (((ab)c)d)}$

同一性公理

恒等公理（二項演算用）は、次のようにツリーで視覚化できます。

つまり、得られる3つの演算は等しい。つまり、恒等項との事前合成と事後合成は関係ない。圏論において、は圏の定義の一部である。 ${\displaystyle \theta \circ 1=\theta =1\circ \theta }$

例

集合とオペラド代数における準同型オペラド

最も基本的なオペラドは、上記の「直感」のセクションで示したものです。任意の集合 に対して、すべての関数 からなる自己準同型オペラドが得られます。これらのオペラドは、オペラド代数を定義するのに役立つため重要です。がオペラドである場合、 上のオペラド代数は集合とオペラド射によって与えられます。直感的に、このような射は の各「抽象的な」演算を集合 上の「具体的な」 -項演算に変換します。したがって、 上のオペラド代数は、集合 と、オペラド によって抽象的に指定された規則に従う上の具体的な演算 から構成されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle X^{n}\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

ベクトル空間とオペラド代数における準同型オペラド

kが体ならば、 k上の有限次元ベクトル空間の圏を考えることができる。これはk上の通常のテンソル積を用いたモノイド圏となる。そして、この圏における自己準同型オペラドを以下のように定義することができる。Vを有限次元ベクトル空間とする。Vの自己準同型オペラドは^[11]から構成される。 ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$= 線型写像の空間、 ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V}$
2. （合成）、、 ... 、が与えられた場合、それらの合成は写像 によって与えられ 、 ${\displaystyle f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})}$ ${\displaystyle g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})}$ ${\displaystyle V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V}$
3. （恒等） の恒等元は恒等写像であり、 ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$
4. (対称群作用) は、のテンソルの成分を並べ替えることによってに作用します。 ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {End}}_{V}(n)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

がオペラドである場合、k 上のk線型オペラド代数は、 k上の有限次元ベクトル空間Vとオペラド射影によって与えられます。これは、 の演算のように動作するV上の具体的な多重線型演算を指定することに相当します。(オペラドとオペラド代数と、環と加群の類似性に注意してください。環R上の加群は、アーベル群Mと環準同型 によって与えられます。) ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M)}$

アプリケーションに応じて、上記のバリエーションが可能です。たとえば、代数位相幾何学では、ベクトル空間とそれらの間のテンソル積の代わりに、(合理的な)位相空間とそれらの間のデカルト積を使用します。

「ちょっとした」オペラ

小さな 2 枚組オペラに収められたオペラの構成をテキストで解説します。

2次元小円盤オペラドは、原点を中心とする単位円盤の内部にあるn個の互いに素な円盤の順序付きリストで構成される位相オペラドです。対称群は、このような配置に対して、小円盤のリストを並べ替えることで作用します。小円盤のオペラド合成は右の図に示されています。ここで、元は元と合成され、の配置を縮小して のi番目の円盤に挿入することで得られる元を生成します（ の場合）。 ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \theta \in P(3)}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)}$ ${\displaystyle \theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

同様に、単位球の内部の互いに素なn球の配置を考えることによって、小さなn円板オペラドを定義することができる。^[12] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

もともと、リトルnキューブオペラドまたはリトルインターバルオペラド（当初はリトルnキューブPROPと呼ばれていた）は、マイケル・ボードマンとライナー・フォークトによって、単位超立方体の内部にある互いに素な軸に沿った n次元超立方体（n次元インターバル）の構成という観点から、同様の方法で定義されました。^{[13]その後、メイ[14]によって}リトル凸体オペラドへと一般化され、「リトルディスク」は「リトル凸体」から派生した「民間伝承」の一例です。^[15]

根付いた木々

グラフ理論において、根付き木は自然なオペラドを形成します。ここで、はn 個の葉を持つすべての根付き木の集合であり、葉には 1 からn までの番号が付けられます。群はこの集合に対して、葉のラベルを並べ替えることで作用します。オペラド合成は、のi番目の葉をi番目の木の根で置き換えることで得られます（ の場合）。これにより、 n個の木が に接続され、より大きな木が形成されます。このより大きな木 の根は の根と同じとされ、葉には順に番号が付けられます。 ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

スイスチーズオペラ

スイスチーズオペラ。

スイスチーズオペラドは^、単位n半円板の内部にある互いに素なn次元円板と、単位半円板の底面を中心とし、その内部にn次元半円板を配置することで定義される2色（定義要）の位相^オペラドで^ある。オペラドの構成は、単位円板内部の「小さな」円板配置を別の単位半円板内の「小さな」円板に接着し、単位半円板内部の「小さな」円板と半円板配置を別の単位半円板に接着することで得られる。

スイスチーズオペラドはアレクサンダー・A・ヴォロノフによって定義された。^[16]マキシム・コンツェヴィッチはこれを用いてホックシルトコホモロジーに関するドリーニュ予想のスイスチーズ版を定式化した。^[17]コンツェヴィッチの予想はポー・フー、イゴール・クリズ、アレクサンダー・A・ヴォロノフによって部分的に証明され^[18]、その後ジャスティン・トーマスによって完全に証明された。^[19]

連想オペラド

オペラドの別の例としては、結合代数、可換代数、リー代数といった代数構造を捉えるものがあります。これらはいずれも有限提示​​オペラドとして表すことができ、二項演算によって生成される3つのオペラドはそれぞれ有限提示オペラドとして表すことができます。

例えば、結合オペランドは、次の条件のみを満たす 二項演算によって生成される対称オペランドである。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).}$

この条件は二項演算 の結合性に対応します。乗法的に書き直すと、上記の条件は となります。この演算の結合性は、任意のオペランドに成立する合成の結合性と混同しないでください。上記の結合性公理を参照してください。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (a,b)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

結合オペラドにおいて、各 は対称群によって与えられ、その は右乗法によって作用します。合成オペラドは、ブロック内の入力を に従って並べ替え、ブロック内では適切な に従って並べ替えます。 ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

結合的オペラド上の代数は、まさに半群、すなわち単一の二項結合的演算を伴う集合である。結合的オペラド上のk線型代数は、まさに結合的k代数である。

末端対称オペランド

終端対称オペラドとは、各nに対して単一のn項演算を持ち、各演算が自明に作用するオペラドのことである。このオペラド上の代数は可換半群であり、k線型代数は可換結合k代数である。 ${\displaystyle S_{n}}$

編組グループのオペラ

同様に、それぞれがアルティン組紐群によって与えられる非オペラドが存在する。さらに、この非オペラドは組紐オペラドの構造を持ち、これはオペラドの概念を対称群から組紐群へと一般化する。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

線形代数

線型代数学において、実ベクトル空間はすべての線型結合のオペランド上の代数とみなすことができる^[要出典] 。このオペランドはに対してで定義され、その作用は明らかに成分の入れ替えであり、合成はベクトル の連結によって与えられる（ただし ）。例えば、ベクトル は係数が2,3,-5,0,...である線型結合を形成する演算を表す。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})}$ ${\displaystyle x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )}$

この観点は、線型結合がベクトル空間における最も一般的な演算であるという概念を形式化する。ベクトル空間が線型結合のオペラド上の代数であるということは、ベクトル空間におけるすべての可能な代数演算が線型結合であるということをまさに主張している。ベクトル加算とスカラー乗算という基本演算は、すべての線型結合のオペラドの生成集合であり、線型結合のオペラドはベクトル空間におけるすべての可能な演算を正準的に符号化する。

同様に、アフィン結合、円錐結合、凸結合は、それぞれベクトルの項の和が1になる、項がすべて非負になる、またはその両方になるサブオペラッドに対応すると考えることができます。図式的に言えば、これらは無限アフィン超平面、無限超八分面、無限単体です。これは、モデル空間であること、または標準単体がモデル空間であるという意味、そしてすべての有界凸多面体は単体の像であるといった観察を定式化します。ここで、サブオペラッドはより制限された演算、つまりより一般的な理論に対応します。 ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

可換環オペラドとリーオペラド

可換環オペラドとは、その代数が可換環であるオペラドである。これは によって定義され、 の明らかな作用と、変数を（変数の番号が付け直された）多項式に置き換えることによって得られるオペラド合成を伴う。同様のオペラドを定義でき、その代数は固定された基底体上の結合的可換代数である。このオペラドのコシュル双対はリーオペラド（その代数はリー代数である）であり、その逆もまた同様である。 ${\displaystyle P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle S_{n}}$

フリーオペラ

典型的な代数的構成（例えば、自由代数構成）はオペラドに拡張できます。群が作用する集合を対象とする圏を とします。すると、忘却関手が存在し、これは単にオペラドの合成を忘れます。この忘却関手の左随伴関数を構成することが可能です（これが自由関手の通常の定義です）。演算の集合Eが与えられたとき、はE上の自由オペラドです。 ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\to \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}}$ ${\displaystyle \Gamma :\prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}\to {\mathsf {Oper}}}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$

群や環と同様に、自由構成はオペラドを生成元と関係を用いて表現することを可能にする。オペラドの自由表現とは、自由オペラドの商として表すことを意味し、ここでEは生成元を表し、エピモーフィズムの核は関係を表す。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}}$

（対称）オペラドは、が生成元であり、関係が に含まれるような自由表現を持つとき、二次オペラドと呼ばれます。^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}}$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(2)}$ ${\displaystyle \Gamma (E)(3)}$

クローン

クローンは、同一視的な引数（一部のデータを「再利用」する）に関して閉じているオペラドの特殊なケースです。クローンは、ミニオン（またはクロノイド）でもあるオペラドとして定義できます。

ホモトピー理論におけるオペラド

Stasheff (2004) の中で、Stasheff は次のように書いています。

オペラドは、「ホモトピー」の適切な概念を持つカテゴリにおいて特に重要かつ有用であり、より高次のホモトピーの階層を編成する上で重要な役割を果たします。

高階オペラド

代数学において、高階オペラドとはオペラドの高次元一般化である。^{[21] [22]}

参照

• PRO（カテゴリー理論）
• オペラド上の代数
• 高階オペラド
• E∞オペランド
• 擬似代数
• マルチカテゴリ
• オペトープ

注記

1. 「有限性」とは、オペランドの定義において有限個の入力しか許されないという事実を指す。例えば、次のように書ける場合、条件は満たされる。

   ${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}}$、

   ${\displaystyle \gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}}$。

引用

1. Boardman, JM ; Vogt, RM (1968年11月1日). 「ホモトピー万能 $H$-空間」.アメリカ数学会報. 74 (6): 1117– 1123. doi : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . ISSN  0002-9904.
2. Boardman, JM ; Vogt, RM (1973).位相空間上のホモトピー不変代数構造. 数学講義ノート. 第347巻. doi :10.1007/bfb0068547. ISBN 978-3-540-06479-4. ISSN  0075-8434.
3. May, JP (1972).反復ループ空間の幾何学. 数学講義ノート. 第271巻. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . doi :10.1007/bfb0067491. ISBN  978-3-540-05904-2. ISSN  0075-8434.
4. 「代数、位相幾何学、物理学におけるオペラッド」：マーティン・マークル、スティーブ・シュナイダー、ジム・スタシェフ、『数学概論とモノグラフ』第96巻、2002年
5. May, J. Peter . 「オペラッド、代数、モジュール」(PDF) . math.uchicago.edu . p. 2 . 2018年9月28日閲覧。
6. ギンズバーグ, ヴィクター; カプラノフ, ミハイル (1994). 「オペラドに対するコシュル双対性」 .デューク数学ジャーナル. 76 (1): 203– 272. doi :10.1215/S0012-7094-94-07608-4. ISSN  0012-7094. MR  1301191. S2CID  115166937. Zbl  0855.18006 – Project Euclid経由.
7. ロデー、ジャン＝ルイ(1996)。 「ラ・ルネサンス・デ・オペラード」。www.numdam.org。ニコラ・ブルバキセミナー。MR  1423619. Zbl  0866.18007 。2018 年9 月 27 日に取得。
8. Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000年1月26日). 「オペラド上の代数の変形とドリーニュ予想」. arXiv : math/0001151 .
9. Jones, JDS; Getzler, Ezra (1994年3月8日). 「オペラッド、ホモトピー代数、および二重ループ空間の反復積分」. arXiv : hep-th/9403055 .
10. N. Durov、「アラケロフ幾何学への新しいアプローチ」、ボン大学、博士論文、2007年; arXiv:0704.2030。
11. Markl, Martin (2006). 「オペラドとPROP」.代数ハンドブック. 5 (1): 87–140 . arXiv : math/0601129 . doi :10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 9780444531018. S2CID  3239126。例2
12. Giovanni Giachetta、Luigi Mangiarotti、Gennadi Sardanashvily (2005)量子力学における幾何学的および代数的トポロジカル手法、 ISBN 981-256-129-3、474、475ページ
13. Greenlees, JPC (2002).公理的、エンリッチド、およびモティヴィック・ホモトピー理論. NATO高等研究所による公理的、エンリッチド、およびモティヴィック・ホモトピー理論に関する議事録. ケンブリッジ、イギリス: Springer Science & Business Media. pp.  154– 156. ISBN 978-1-4020-1834-3。
14. May, JP (1977). 「無限ループ空間理論」. Bull. Amer. Math. Soc . 83 (4): 456– 494. doi : 10.1090/s0002-9904-1977-14318-8 .
15. Stasheff, Jim (1998). 「量子場理論へのボードマンのチェリーツリーの接ぎ木」arXiv : math/9803156 .
16. ヴォロノフ、アレクサンダー・A. (1999). 『スイス・チーズ・オペラ』 現代数学. ボルチモア、メリーランド州、アメリカ合衆国: AMS. pp.  365– 373. ISBN 978-0-8218-7829-3。
17. Kontsevich, Maxim (1999). 「変形量子化におけるオペランドと動機」. Lett. Math. Phys . 48 : 35–72 . arXiv : math/9904055 . Bibcode :1999math......4055K. doi :10.1023/A:1007555725247. S2CID  16838440.
18. 胡、ポー;クリズ、イゴール。ヴォロノフ、アレクサンダー A. (2006)。 「コンツェヴィッチのホホシルト・コホモロジー予想について」。Compositio Mathematica。142 (1): 143–168 . arXiv : math/0309369。土井：10.1112/S0010437X05001521。
19. Thomas, Justin (2016). 「コンツェビッチのスイスチーズ予想」. Geom. Topol . 20 (1): 1– 48. arXiv : 1011.1635 . doi :10.2140/gt.2016.20.1. S2CID  119320246.
20. Markl, Martin (2006). 「オペラドとPROP」.代数ハンドブック. 5 : 87–140 . doi :10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 9780444531018. S2CID  3239126。定義37
21. Heuts, Gijs; Hinich, Vladimir; Moerdijk, Ieke (2016). 「無限オペラドに対するLurieモデルとデンドロイダルモデルの同値性について」. Advances in Mathematics . 302 : 869–1043 . arXiv : 1305.3658 . doi : 10.1016/j.aim.2016.07.021 . S2CID  119254588.
22. Leinster 2004、パートII。注：この参考文献では、高階オペラドは一般化オペラドと呼ばれています。 harvnb error: no target: CITEREFLeinster2004 (help)

参考文献

• トム・レンスター (2004). Higher Operads, Higher Categories . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode :2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0。
• マーティン・マークル、スティーブ・シュナイダー、ジム・スタシェフ(2002). 『代数学、位相幾何学、物理学におけるオペラッド』アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4362-8。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Markl, Martin (2006年6月). 「オペラドとPROP」. arXiv : math/0601129 .
• ジム・スタシェフ(2004年6～7月). 「オペラドとは何か？」(PDF) .アメリカ数学会報. 51 (6): 630– 631. 2008年1月17日閲覧.
• ジャン=ルイ・ロデー; Bruno Vallette (2012)、Algebraic Operads (PDF)、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 346、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-642-30361-6、 2011年8月23日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2011年1月13日閲覧。
• Zinbiel, Guillaume W. (2012), 「Encyclopedia of types of algebras 2010」, Bai, Chengming; Guo, Li; Loday, Jean-Louis (eds.), Operads and universal algebra , Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics, vol. 9, pp.  217– 298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode :2011arXiv1101.0267Z, ISBN 9789814365116
• Fresse, Benoit (2017年5月17日)、「オペラドとグロタンディーク-タイヒミュラー群のホモトピー」、数学概論およびモノグラフ、アメリカ数学会、ISBN 978-1-4704-3480-9、MR  3643404、Zbl  1373.55014
• ミゲル・A・メンデス (2015). 『組合せ論とコンピュータサイエンスにおける集合演算子』 SpringerBriefs in Mathematics. ISBN 978-3-319-11712-6。
• サミュエル・ジラウド (2018). 『組合せ論における非対称オペラド』 Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6。

外部リンク

• nラボのオペラド
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Operad&oldid=1311310594"