平行六面体

Hexahedron with parallelogram faces

平行六面体
タイプ	プリズム プレシオヘドロン
顔	6つの平行四辺形
エッジ	12
頂点	8
対称群	C i , [2 + ,2 + ], (×)、順序2
プロパティ	凸面体、ゾノヘドロン

幾何学において、平行六面体とは、6つの平行四辺形（この意味で菱形という用語も使われることがあります）によって形成される三次元図形です。類推的に、平行四辺形と立方体の関係は、正方形と立方体の関係に似ています。^[a]

平行六面体の同等の定義は3つある。

• 3組の平行面を持つ六面体、
• 6つの面を持つ多面体（六面体）で、各面は平行四辺形であり、
• 底面が平行四辺形である角柱。

直方体（6 つの長方形の面）、立方体（6 つの正方形の面）、および菱形面体（6つのひし形の面）はすべて平行六面体の特殊なケースです。

「平行六面体」は現在、通常/ ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d /または/ ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d /と発音されます。^[1]伝統的には/ ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped ^[2]でした。その語源はギリシャ語のπαραλληλεπίπεδον平行六面体(短い -i-)、つまり「平行な面を持つ」物体です。

平行六面体は角錐体のサブクラスです。

プロパティ

3組の平行面のいずれも、プリズムの底面とみなすことができます。平行六面体には4つの平行辺が3組あり、各組内の辺の長さは等しくなります。

平行六面体は、立方体の線形変換（非退化の場合：全単射線形変換）から生じます。

各面は点対称であるため、平行六面体はゾノヘドロンです。また、平行六面体全体も点対称C _iを持ちます（三斜晶系も参照）。各面は、外側から見ると、反対側の面の鏡像となります。面は一般にキラルですが、平行六面体はキラルではありません。

任意の平行六面体の合同なコピー を使用して、空間を埋めるモザイク化が可能です。

音量

3つのベクトルによって生成される平行六面体

平行六面体は、平行四辺形を底とする角柱です。したがって、平行六面体の体積は底面積と高さの積です（図を参照）。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$（ここでベクトルとベクトルの間の角度）、そして ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$（ベクトルと底辺の法線の間の角度）は次のようになります。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$3つのベクトルの混合積は三重積と呼ばれます。これは行列式で記述できます。したがって、体積は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$

$${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$$

V1

( V1 )を証明する別の方法は、ベクトルの方向のスカラー成分を使用することです。結果は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}}$$

ボリュームの別の表現では、幾何学的特性 (角度とエッジの長さ) のみを使用します。

$${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},}$$

V2

ここで、、、、は辺の長さです 。 ${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ ${\displaystyle a,b,c}$

証明（V2）

( V2 )の証明では、行列式の性質とドット積の幾何学的解釈を用いる。

3×3行列をベクトル列で表すとします（上記参照）。このとき、次が成り立ちます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=\left(\det M\right)^{2}=\det M\det M=\det M^{\mathsf {T}}\det M=\det(M^{\mathsf {T}}M)\\&=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \end{bmatrix}}\\&=\ a^{2}\left(b^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\alpha )\right)\\&\quad -ab\cos(\gamma )\left(ab\cos(\gamma )c^{2}-ac\cos(\beta )\;bc\cos(\alpha )\right)\\&\quad +ac\cos(\beta )\left(ab\cos(\gamma )bc\cos(\alpha )-ac\cos(\beta )b^{2}\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\alpha )\\&\quad -a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&\quad +a^{2}b^{2}c^{2}\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-a^{2}b^{2}c^{2}\cos ^{2}(\beta )\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\left(1-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )+\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\beta )\right)\\&=\ a^{2}b^{2}c^{2}\;\left(1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\right).\end{aligned}}}$$

(最後の手順では、、... 、、、、...を使用します) ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =a^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos \beta }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos \alpha }$

対応する四面体

平行六面体の 3 つの収束する辺を共有する任意の四面体の体積は、その平行六面体の体積の 6 分の 1 に等しい (証明を参照)。

表面積

平行六面体の表面積は、その周囲を囲む平行四辺形の面積の合計です。 (ラベルについては、前のセクションを参照してください。) $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$

対称性による特殊なケース

反転中心を持つ八面体対称性部分群の関係

平行六面体の特殊なケース

形状	キューブ	正方形直方体	三角台形	直方体	直菱形柱	直角平行四辺形柱	斜菱形プリズム
制約	${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$	${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ }}$	${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$
対称	ああ、 注文48	D 4h 注文番号 16	D 3d オーダー 12	D 2h 注文番号 8		C 2時間 注文4
画像
顔	6つの正方形	正方形2つ、 長方形4つ	6つの菱形	6つの長方形	長方形4つ、 菱形2つ	4つの長方形、 2つの平行四辺形	2つの菱形、 4つの平行四辺形

• _{O h}対称性を持つ平行六面体は立方体として知られており、6 つの合同な正方形の面を持ちます。
• D _4h対称性を持つ平行六面体は、2 つの正方形の面と 4 つの同形の長方形の面を持つ直方体として知られています。
• _{D 3d}対称性を持つ平行六面体は、6 つの合同な菱形面を持つ三角台形として知られています(等面菱形体とも呼ばれます)。
• D _2h対称性を持つ平行六面体の場合、次の 2 つのケースがあります。
  • 直方体: 6 つの長方形の面を持ちます (直方体、または単に直方体と呼ばれることもあります)。
  • 直菱形柱: 2 つの菱形の面と 4 つの同形の長方形の面を持ちます。

    注: 2 つの菱形面と 4 つの合同な正方形面を持つ完全な菱形の特殊なケースには、同じ名前と同じ対称群 (D _2h、次数 8) があります。 ${\displaystyle (a=b=c)}$

• C _2h対称性を持つ平行六面体の場合、次の2つのケースがあります。
  • 直平行四辺形柱: 4 つの長方形の面と 2 つの平行四辺形の面があります。
  • 斜菱形プリズム: 2 つの菱形の面があり、他の面のうち、隣接する 2 つの面は等しく、他の 2 つの面も等しくなっています (2 組は互いの鏡像です)。

完全な平行六面体

完全平行六面体とは、整数長の辺、面対角線、空間対角線を持つ平行六面体である。2009年には、リチャード・ガイ の未解決問題に答える形で、数十種類の完全平行六面体が存在することが示された^[3]。例えば、辺の数は271、106、103、面の短対角線は101、266、255、面の長対角線は183、312、323、空間対角線は374、300、278、272である。

2つの長方形の面を持つ完全な平行六面体はいくつか知られています。しかし、すべての面が長方形である直方体が存在するかどうかは分かっていません。そのような場合は完全な直方体と呼ばれます。

平行四辺形

コクセターは、高次元における平行六面体の一般化を平行六面体と呼んだ。現代の文献では、「平行六面体」という用語は、高次元（あるいは任意の有限次元）においてもしばしば用いられる。^[4]

特にn次元空間では、 n次元平行四辺形、あるいは単にn平行四辺形（あるいはn平行六面体）と呼ばれます。したがって、平行四辺形は2次元平行四辺形であり、平行六面体は3次元平行四辺形です。

n-平行体の対角線は一点で交差し、この点で二等分されます。この点を反転しても、 n-平行体は変化しません。ユークリッド空間における等長変換群の不動点も参照してください。

k平行四辺形の 1 つの頂点から放射状に伸びる辺はベクトル空間のkフレーム を形成し、重みが 0 から 1 の間のベクトルの線形結合を取ることで、これらのベクトルから平行四辺形を復元できます。 ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

に埋め込まれたn -平行体のn -体積は、グラム行列式を用いて計算できます。あるいは、体積はベクトルの外積のノルムです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\geq n}$ $${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

m = nの場合、これはn個のベクトルの成分によって形成される行列の行列式の絶対値に相当します。

n + 1個の頂点を持つにおけるn -平行体Pの体積を計算する公式は、 であり、 は と 1の成分を連結して形成される行ベクトルです 。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$ $${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$ ${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$ ${\displaystyle V_{i}}$

同様に、平行四辺形のn 個の収束辺を共有する任意のn単体の体積は、その平行四辺形の体積の 1/ n !に等しい。

語源

平行六面体という用語は、古代ギリシャ語の παραλληλεπίπεδον （ parallēlepípedon 、「平行な平面を持つ物体」）に由来し、parallēl（「平行」）+ epípedon（「平面」）、epí-（「上」）+ pedon（「地面」）からなる。したがって、平行六面体の面は平面であり、向かい合う面は平行である。^{[5] [6]}

英語では、1570年にヘンリー・ビリングズリーがユークリッドの『原論』を翻訳した際に「parallelipipedon」という用語が用いられている。また、1644年にピエール・エリゴンが『数学の理論』を翻訳した際に「parallelepipedum」という綴りが用いられている。さらに、1663年には、ウォルター・チャールトンの『巨舞曲』に、現在の「平行六面体」という用語が用いられている。^[5]

チャールズ・ハットンの『辞書』（1795年）には、 parallelopipedとparallelopipedon が掲載されており、これは結合形parallelo-の影響を示しており、2番目の要素がepipedonではなくpipedonであるかのように解釈されている。ノア・ウェブスター（1806年）はparallelopipedという綴りを掲載している。オックスフォード英語辞典の1989年版では、 parallelopiped（およびparalleliped ）は明確に誤用として説明されているが、2004年版ではこれらは注釈なしで掲載されており、5番目の音節pi ( /paɪ/ )にアクセントがある発音のみが記されている。

参照

• 図形のリスト

注記

1. ユークリッド幾何学では、 3次元における平行六面体と立方体、2次元における平行四辺形と正方形の4つの概念が定義されていますが、角度が区別されないより一般的なアフィン幾何学の文脈では、平行四辺形と平行六面体のみ存在します。

1. 「平行管」。Dictionary.com Unabridged（オンライン）.nd
2. オックスフォード英語辞典1904年;ウェブスター第二インターナショナル1947年
3. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). 「完全な平行六面体が存在する」.計算数学. 80 (274): 1037– 1040. arXiv : 0907.0220 . doi :10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID  206288198.。
4. Morgan, CL (1974). ユークリッド空間への距離空間の埋め込み. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
5. "parallelepiped".オックスフォード英語辞典. 1933年.
6. parallhlepi/pedon.リデル、ヘンリー・ジョージ；スコット、ロバート；ペルセウス・プロジェクトのギリシャ語-英語辞典。

参考文献

• Coxeter, HSM Regular Polytopes、第 3 版、ニューヨーク: Dover、p. 122、1973 年。(彼は平行六面体を、n 次元の平行四辺形と平行六面体の一般化として定義しています。)

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「平行六面体」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「平行四辺形」。MathWorld。
• 紙製平行六面体模型（ネット）

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