準ルジャンドル多項式

Canonical solutions of the general Legendre equation

数学において、ルジャンドル随伴多項式は、一般ルジャンドル方程式の標準解である。

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

または同等

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}$$

ここで、添え字ℓとm (どちらも整数) は、それぞれルジャンドル陪多項式の次数と位数と呼ばれます。この方程式は、ℓとmが 0 ≤ m ≤ ℓを満たす整数、または自明に同値な負の値である場合にのみ、[−1, 1]で特異でない非ゼロ解を持ちます。さらにmが偶数の場合、関数は多項式 になります。m が 0 で ℓ が整数の場合、これらの関数はルジャンドル多項式と同一です。一般に、ℓとmが整数の場合、 mが奇数のときは多項式ではありませんが、正規解は「ルジャンドル陪多項式」と呼ばれることがあります。ℓとm が任意の実数値または複素数値である関数の完全に一般的なクラスは、ルジャンドル関数です。その場合、パラメータは通常ギリシャ文字でラベル付けされます。

ルジャンドル常微分方程式は、物理学やその他の技術分野で頻繁に登場します。特に、球座標系におけるラプラス方程式（および関連する偏微分方程式）を解く際に用いられます。ルジャンドル随伴多項式は、球面調和関数の定義において重要な役割を果たします。

非負整数パラメータの定義ℓそしてメートル

これらの関数は と表記され、上付き文字はPのべき乗ではなく次数を示す。最も分かりやすい定義は、通常のルジャンドル多項式（m ≥ 0 ）の導関数である。 ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right),}$$

この式における(-1) ^m因子はコンドン・ショートリー位相として知られている。一部の著者はこれを省略している。この式で記述される関数が、パラメータℓとmの指定された値を持つ一般ルジャンドル微分方程式を満たすことは、ルジャンドル方程式をPℓについてm回微分することによって次式で表される_。 [ ^1] $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}$$

さらに、ロドリゲスの公式によれば、 P $${\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}$$^m
_ℓは次のように表現できる。 $${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}$$

この式は、 mの範囲を−ℓ≤m≤ℓまで拡張することを可能にする。この式に±mを代入することで得られる^Pℓ± mの_定義^は比例関係にある。実際、の左辺と右辺の等べき係数を等しくすると、比例定数は次のよう に表される。 $${\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}$$ $${\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}$$

代替表記

文献では以下の代替表記も使用されている: ^[2] $${\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

閉じた形式

ルジャンドル多項式の記事で提供された明示的な形式から始める

${\displaystyle P_{l}(x)=2^{l}\sum _{k=0}^{l}x^{k}{\binom {l}{k}}{\binom {(l+k-1)/2}{l}}}$

べき乗の-倍微分に関する標準規則を用いると、 ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}\cdot 2^{l}\cdot (1-x^{2})^{m/2}\cdot \sum _{k=m}^{l}{\frac {k!}{(k-m)!}}\cdot x^{k-m}\cdot {\binom {l}{k}}{\binom {\frac {l+k-1}{2}}{l}}}$$

単純な単項式と二項係数の一般化された形を用いて、和は実質的に が偶数である項にのみ拡張されます。なぜなら、奇数の場合、二項係数は0になるからです。 ${\displaystyle l-k}$ ${\displaystyle l-k}$ ${\displaystyle {\binom {(l+k-1)/2}{l}}}$

ドーハ^[3]の結果を要約すると 、導関数をルジャンドル多項式に展開すると係数が定義される。 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{l}(x)=\sum _{t=0}^{\lfloor (l-m)/2\rfloor }\tau _{l,m,t}P_{l-m-2t}(x),}$

どこ

${\displaystyle \tau _{l,m,t}=\epsilon _{l-t}{\frac {l-m-2t+1/2}{2l-2t+1}}{\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}{\binom {2l-2t+1}{2m}}{\frac {m}{m+t}}{\binom {m+t}{t}}{\frac {1}{\binom {l-t}{m}}},}$

そしてどこで

${\displaystyle \epsilon _{q}\equiv {\begin{cases}1,&q=0;\\2,&q\geq 1\end{cases}}}$

ノイマン因子です。

直交性

ルジャンドル陪多項式は一般に互いに直交しない。例えば、は と直交しない。しかし、いくつかの部分集合は直交する。0 ≤  m  ≤  ℓと仮定すると、それらはmを固定した状態で直交条件を満たす。 ${\displaystyle P_{1}^{1}}$ ${\displaystyle P_{2}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

ここで、 δ _k、ℓはクロネッカーのデルタです。

また、これらは固定されたℓに対して直交条件を満たす。

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

ネガティブメートルおよび/または否定的ℓ

微分方程式は、 mの符号の変化に対して明らかに不変です。

負のmの関数は正のmの関数に比例することが上で示されました。 $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

(これはロドリゲスの公式の定義から導かれたものです。この定義により、さまざまな漸化式がmが正または負の場合でも機能します。) $${\displaystyle {\text{If}}\quad |m|>\ell \,\quad {\text{then}}\quad P_{\ell }^{m}=0.\,}$$

微分方程式はℓから−ℓ −1への変化に対しても不変であり、負のℓに対する関数は次のように定義される。

$${\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,\dots ).}$$

パリティ

定義から、ルジャンドル関数は偶関数か奇関数かが次のように表せることが分かる。

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell -m}P_{\ell }^{m}(x)}$$

最初のいくつかのルジャンドル関数

m = 0のルジャンドル関数

m = 1のルジャンドル関数

m = 2のルジャンドル関数

mが負の値の場合も含め、最初のいくつかのルジャンドル関数は次のとおりです。

$${\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\P_{1}^{0}(x)&=x\\P_{1}^{1}(x)&=-(1-x^{2})^{1/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\P_{2}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\P_{2}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\P_{2}^{1}(x)&=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\P_{2}^{2}(x)&=3(1-x^{2})\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\P_{3}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\P_{3}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\P_{3}^{0}(x)&={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\P_{3}^{1}(x)&={\tfrac {3}{2}}(1-5x^{2})(1-x^{2})^{1/2}\\P_{3}^{2}(x)&=15x(1-x^{2})\\P_{3}^{3}(x)&=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}^{-4}(x)&={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\P_{4}^{-3}(x)&=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\P_{4}^{-2}(x)&={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\P_{4}^{-1}(x)&=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\P_{4}^{0}(x)&={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\P_{4}^{1}(x)&=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\P_{4}^{2}(x)&={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\P_{4}^{3}(x)&=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\P_{4}^{4}(x)&=105(1-x^{2})^{2}\end{aligned}}}$$

漸化式

これらの関数には、いくつかの繰り返しプロパティがあります。

$${\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2\ell +1}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)-P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}$$

$${\displaystyle (\ell -m-1)(\ell -m)P_{\ell }^{m}(x)=-P_{\ell }^{m+2}(x)+P_{\ell -2}^{m+2}(x)+(\ell +m)(\ell +m-1)P_{\ell -2}^{m}(x)}$$

役に立つ恒等式（最初の再帰の初期値）:

$${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}$$ $${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}$$ $${\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}$$

二重階乗で!!

ゴーントの公式

3つのルジャンドル従属多項式（以下に示すように順序が一致する）の積の積分は、ルジャンドル多項式の積をルジャンドル多項式における線型級数に展開する際に必要な要素である。例えば、クーロン演算子の行列要素が必要となるハートリー・フォック多様体の原子計算を行う際に、この積分が必要となる。この計算にはゴーントの公式^{[4] [5]}が用いられる。この公式は、以下の仮定の下で用いられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l}^{u}(x)P_{m}^{v}(x)P_{n}^{w}(x)dx={}&{}(-1)^{s-m-w}{\frac {(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}}\\&{}\times \ \sum _{t=p}^{q}(-1)^{t}{\frac {(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}}\end{aligned}}}$$

1. 度数は非負の整数である ${\displaystyle l,m,n\geq 0}$
2. 3つの順序はすべて非負の整数である ${\displaystyle u,v,w\geq 0}$
3. ${\displaystyle u}$3つの秩序の中で最大の秩序である
4. 注文は合計すると ${\displaystyle u=v+w}$
5. 学位は従う ${\displaystyle m\geq n}$

式に現れる他の量は次のように定義される。 $${\displaystyle 2s=l+m+n}$$ $${\displaystyle p=\max(0,\,n-m-u)}$$ $${\displaystyle q=\min(m+n-u,\,l-u,\,n-w)}$$

積分はゼロとなる。

1. 度数の合計は偶数なので整数である ${\displaystyle s}$
2. 三角形の条件は満たされている ${\displaystyle m+n\geq l\geq m-n}$

ドンとレムス（2002）^[6]は、この式の導出を任意の数のルジャンドル多項式の積の積分に一般化した。

超幾何関数による一般化

これらの関数は、実際には一般的な複素パラメータと引数に対して定義される可能性がある。^[7]

$${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}})}$$

ここではガンマ関数、は超幾何関数である。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle _{2}F_{1}}$

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)={\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+\beta )}{\Gamma (n+\gamma )\ n!}}z^{n},}$$

より一般的な方法で定義された関数は、ルジャンドル関数と呼ばれます。ルジャンドル関数は、前述と同じ微分方程式を満たします。

$${\displaystyle (1-z^{2})\,y''-2zy'+\left(\lambda [\lambda +1]-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right)\,y=0.\,}$$

これは2階微分方程式なので、2番目の解 は次のように定義されます。 ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

$${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {1}{z^{\lambda +\mu +1}}}(1-z^{2})^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$$

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)}$そして、どちらも前述のさまざまな再帰式に従います。 ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)}$

角度による再パラメータ化

これらの関数は、引数が角度に関して再パラメータ化され、次のようになる場合に最も役立ちます。 ${\displaystyle x=\cos \theta }$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)}$$

関係 を使用すると、上記のリストから、次のようにパラメータ化された最初のいくつかの多項式が得られます。 ${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}$$

上で示した直交関係は、次のように定式化されます。m を固定した場合、は直交し、 に対して θ でパラメータ化され、重みは です。 ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}$$

また、ℓを固定した場合：

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}$$

θに関して、解は ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

より正確には、整数m 0 が与えられた場合、上式はℓに対して整数 ≥  mの場合にのみ特異でない解を持ち、それらの解は に比例します。 ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$

物理学への応用：球面調和関数

物理学では、球面 対称性が関係する場合には、角度に関するルジャンドル准多項式がしばしば用いられる。球面座標における緯度角は、上記で用いた角度である。経度角 は、乗数として現れる。これらは、球面調和関数と呼ばれる関数群を構成する。これらの関数は、リー群SO(3)の作用下における二球面の対称性を表現する。^[要出典] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

これらの関数が有用なのは、球面上の方程式の解の中心となるからです 。球面座標θ（余緯度）とφ（経度）において、ラプラシアンは ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}.}$$

偏微分方程式

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}+\csc ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+\lambda \psi =0}$$

変数分離法によって解くと、φ依存部分または整数m≥0に対して、θ依存部分の方程式が 得られる。 ${\displaystyle \sin(m\phi )}$ ${\displaystyle \cos(m\phi )}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}$$

解はおよびです。 ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle \ell {\geq }m}$ ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

したがって、方程式

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda \psi =0}$$

の場合にのみ非特異分離解を持ち、それらの解は ${\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)}$

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\ \ \ \ 0\leq m\leq \ell }$$

そして

$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\ \ \ \ 0<m\leq \ell .}$$

ℓの各値に対して、 mの様々な値と正弦および余弦の様々な値に対して2ℓ + 1 個の関数が存在する。球面上で積分すると、これらはすべてℓとm の両方において直交する。

解は通常、複素指数で表されます。

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -\ell \leq m\leq \ell .}$$関数は球面調和関数であり、平方根の量は正規化係数である。正負のルジャンドル関数の関係を思い出すと、球面調和関数が恒等式^[8]を満たすことは容易に示される。 ${\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).}$$

球面調和関数は、フーリエ級数の意味で完全な直交関数の集合を形成します。測地学、地磁気学、スペクトル解析の分野では、ここで示したものとは異なる位相係数と正規化係数が用いられます（球面調和関数を参照）。

3次元球対称偏微分方程式を球座標における変数分離法で解く場合、放射状部分を除いた残りの部分は典型的には次のような形になる。

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\theta ,\phi )+\lambda \psi (\theta ,\phi )=0,}$$

したがって、解は球面調和関数になります。

一般化

ルジャンドル多項式は超幾何級数と密接な関連がある。球面調和関数の形で、リー群SO(3)の作用下での二次元球面の対称性を表現する。SO(3)以外にも多くのリー群が存在し、ルジャンドル多項式の類似した一般化は半単純リー群やリーマン対称空間の対称性を表現するために存在する。大まかに言えば、対称空間上にラプラシアンを定義することができ、ラプラシアンの固有関数は球面調和関数の他の設定への一般化と考えることができる。

ラプラス方程式を高次元（ にならないポテンシャルを持つ）で解くことで、3次元以上のルジャンドル多項式を定義することができる。^[9] ${\displaystyle \sim 1/r}$

参照

• 角運動量
• ガウス積分法
• ルジャンドル多項式
• 球面調和関数
• ルジャンドル関数のウィップル変換
• ラゲール多項式
• エルミート多項式

注釈と参考文献

1. クーラント＆ヒルベルト 1953、V、§10。
2. アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第8章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月発行の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省国立標準局、ドーバー出版。332ページ。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN  64-60036. MR 0167642.  LCCN 65-12253  .
3. Doha, EH (1991). 「超球面多項式の微分展開と導関数の係数」. Computers & Mathematics with Applications . 21 (2): 115– 122. doi :10.1016/0898-1221(91)90089-M. ISSN  0898-1221.
4. ジョン・C・スレーター著『原子構造の量子理論』マグロウヒル社（ニューヨーク、1960年）第1巻309ページより。原著はJAゴーント著『ロンドン王立協会哲学論文集』 A228:151（1929年）を引用している。
5. Xu, Yu-Lin (1996). 「Gaunt係数の高速評価」. Math. Comp . 65 (216): 1601– 1612. Bibcode :1996MaCom..65.1601X. doi :10.1090/S0025-5718-96-00774-0.
6. Dong SH, Lemus R., (2002)「3つのルジャンドル多項式の重なり積分」Appl. Math. Lett. 15, 541-546.
7. Mavromatis, HA; Alassar, RS (1999). 「3つの準ルジャンドル多項式の積分の一般化公式」. Appl. Math. Lett . 12 (3): 101– 105. doi :10.1016/S0893-9659(98)00180-3.
8. ウィグナーD行列に関連付け、後者の時間反転特性を用いることで示すこともできる。そして、± mのルジャンドル准関数間の関係は、球面調和関数の複素共役恒等式から証明できる。
9. Campos, LMBC; Cunha, FSRP (2012). 「超球面ルジャンドル多項式と高次元多重極展開について」(PDF) . J. Inequal. Spec. Func . 3 (3).

• Arfken, GB; Weber, HJ (2001), Mathematical methods for physicists , Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0; セクション 12.5. (異なる符号規則を使用します。)
• Belousov, SL (1962)、「正規化準ルジャンドル多項式の表」、数学表、第18巻、ペルガモン出版社。
• コンドン、EU; ショートリー、GH（1970）『原子スペクトルの理論』ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局、OCLC  5388084; 第3章。
• クーラント、リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド（1953年）、数理物理学の方法、第1巻、ニューヨーク：インターサイエンス出版社。
• Dunster, TM (2010)、「Legendre and Related Functions」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• エドモンズ、AR（1957）、量子力学における角運動量、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-07912-7 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help); 第2章。
• Gaunt, JA (1929). 「IV. ヘリウム三重項」. Phil. Trans. Royal Soc. A. 228 ( 659–669 ) : 151–196 . doi : 10.1098/rsta.1929.0004 .
• ヒルデブランド、FB（1976）、応用のための高度な微積分、プレンティスホール、ISBN 978-0-13-011189-0。
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)「直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Schach, SR (1976). 「整数位と次数のルジャンドル随伴関数の新しい恒等式」. SIAM J. Math. Anal . 7 (1): 59– 69. doi :10.1137/0507007.

外部リンク

• MathWorldにおけるルジャンドル多項式
• MathWorldにおけるルジャンドル多項式
• DLMFにおけるルジャンドル関数と関連関数

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Associated_Legendre_polynomials&oldid=1315173824"