原子充填係数

結晶学において、原子充填係数（APF）、充填効率、または充填率は、結晶構造における構成粒子の体積占有率である。これは無次元量であり、常に1未満である。原子系では、慣例的に、原子を剛体球と仮定してAPFを決定する。球の半径は、原子が重なり合わない最大値とする。一成分結晶（1種類の粒子のみを含む結晶）の場合、充填率は数学的に次のように表される。

\mathrm {APF} ={\frac {N_{\mathrm {particle} }V_{\mathrm {particle} }}{V_{\text{unit cell}}}}

ここで、N_粒子は単位格子内の粒子数、V_粒子は各粒子の体積、V_単位セルは単位格子が占める体積です。単成分構造の場合、原子の最密配置は最密充填構造によって得られるAPFが約0.74であることが数学的に証明されています（ケプラーの予想を参照）。多成分構造（格子間合金など）の場合、APFは0.74を超えることがあります。

単位格子の原子充填率は材料科学の研究に関連し、材料の多くの特性を説明します。例えば、原子充填率の高い金属は「加工性」（展性または延性）が高くなります。これは、道路の石が密集しているほど金属原子が互いに滑りやすくなるのと同じです。

単成分結晶構造

原子系が採用する一般的な球状充填と、それに対応する充填率を以下に示します。

六方最密充填（HCP）：0.74 ^[1]
面心立方格子（FCC）：0.74 ^[1]（立方最密充填格子、CCPとも呼ばれる）
体心立方格子（BCC）：0.68 ^[1]
単純立方体：0.52 ^[1]
ダイヤモンドキュービック：0.34

ほとんどの金属はHCP、FCC、BCCのいずれかの構造をとります。^[2]

単純な立方体

単純立方充填の場合、単位胞あたりの原子数は1個です。単位胞の辺の長さは2 rです（rは原子の半径）。

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {1\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left(2r\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{6}}\approx 0.5236\end{aligned}}

面心立方

面心立方格子の単位格子の原子数は4です。立方体の上端から同じ辺の下端まで対角線上に直線を引くと、その長さは4 rになります。幾何学と辺の長さを用いると、aとrの関係は次のように表すことができます。

a={2r}{\sqrt {2}}\,.

このことと球の体積の公式を知ることで、次のように APF を計算できるようになります。

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {4\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left({2r{\sqrt {2}}}\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.740\,48048\ .\end{aligned}}

体心立方格子

体心立方結晶構造の基本単位胞は、 9個の原子（結晶中の粒子が原子である場合）から複数の割合を取り、立方体の各頂点に1個ずつ、中心に1個ずつ配置されます。8個の頂点原子の体積は隣接する8個のセル間で共有されるため、各体心立方格子には2個の原子（中心原子1個と頂点原子1個）に相当する体積が含まれます。

各頂点の原子は中心の原子に接しています。立方体の一方の頂点から中心を通り、もう一方の頂点まで引いた直線は、4 rを通ります。ここでrは原子の半径です。幾何学により、対角線の長さは √ 3 です。したがって、BCC 構造の各辺の長さは、原子の半径と次のように関係付けられます。

a={\frac {4r}{\sqrt {3}}}\,.

このことと球の体積の公式を知ることで、次のように APF を計算できるようになります。

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {2\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left({\frac {4r}{\sqrt {3}}}\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{8}}\approx 0.680\,174\,762\,.\end{aligned}}

六方最密充填

六方最密構造の場合も、導出は同様です。ここで、単位格子（3つの基本単位格子に相当）は、6つの原子（結晶中の粒子が原子である場合）を含む六角柱です。確かに、中間層（柱の内側）には3つの原子があります。さらに、上層と下層（柱の底面）では、中心の原子は隣接するセルと共有され、頂点にある6つの原子はそれぞれ他の6つの隣接するセルと共有されます。したがって、セル内の原子の総数は3 + (1/2)×2 + (1/6)×6×2 = 6です。各原子は他の12個の原子と接しています。ここで、を柱の底面の辺の長さ、を高さとします。後者は隣接する層間の距離の2倍、つまり、下層の中心原子、同じ層の隣接する非中心原子2個、そしてそれらの原子3個の上に「乗っている」中間層の原子1個が頂点を占める正四面体の高さの2倍です。明らかに、この四面体の辺はです。の場合、その高さはと簡単に計算でき、したがってとなります。したがって、 hcp単位格子の体積は(3/2) √3、つまり24√2となります。 $a\$ $c\$ $a\$ $a=2r\$ ${\sqrt {\tfrac {8}{3}}}a\$ $c=4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}r\$ $a^{2}c\$ $r^{3}\$

次のようにして APF を計算できます。

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}c}}\\[10pt]&={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}(2r)^{2}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot 4r}}={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot 16r^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{\sqrt {18}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.740\,480\,48\,.\end{aligned}}

参照

参考文献

^ abcd Ellis, Arthur B.; et al. (1995). Teaching General Chemistry: A Materials Science Companion (第3版). Washington, DC: American Chemical Society. ISBN 084122725X。
^ ムーア, レスリー・E.; スマート, エレイン・A. (2005). 『固体化学入門（第3版）』ボカラトン、フロリダ州: テイラー・アンド・フランシス、CRC. p. 8. ISBN 0748775161。

さらに読む

シャファー、サクセナ、アントロヴィッチ、サンダース、ワーナー (1999). 『工学材料の科学と設計』（第2版）. ニューヨーク: WCB/McGraw-Hill. pp. 81– 88. ISBN 978-0256247664。
カリスター, W. (2002). 『材料科学と工学』（第6版）サンフランシスコ, カリフォルニア州: John Wiley and Sons. pp. 105–114. ISBN 978-0471135760。

[Ellis-1] Ellis, Arthur B.; et al. (1995). Teaching General Chemistry: A Materials Science Companion (第3版). Washington, DC: American Chemical Society. ISBN 084122725X。

[2] ムーア, レスリー・E.; スマート, エレイン・A. (2005). 『固体化学入門（第3版）』ボカラトン、フロリダ州: テイラー・アンド・フランシス、CRC. p. 8. ISBN 0748775161。