原子（測度論）

正測度を持つ最小の測定可能集合

数学、より正確には測度論において、原子とは、正の測度を持ち、それより小さい正の測度の集合を含まない測定可能な集合である。原子を含まない測度は、非原子的、あるいは無原子的と呼ばれる。

定義

測定可能な空間 と その空間上の測度が与えられたとき、任意の測定可能な部分集合 に対して またはであるとき、内の集合はアトムと呼ばれます。^[1] ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu (A)>0}$$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \mu (B)=0}$ ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

の同値類は によって定義されます 。 ここでは対称差分演算子です。 が原子である場合、 のすべての部分集合は原子であり、は原子類と呼ばれます。^[2]が -有限測度である場合、原子類は可算個存在します。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma :\mu (A\Delta B)=0\},}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

例

• 集合X = {1, 2, ..., 9, 10}を考え、シグマ 代数をXの冪集合とします。集合の測度をその濃度、つまり集合内の要素の数と定義します。すると、 i = 1, 2, ..., 9, 10のそれぞれのシングルトン{ i }はアトムです ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$
• 実数直線上のルベーグ測度を考えます。この測度には原子は存在しません。

原子測定

可測空間上の-有限測度は、正測度のすべての可測集合が原子を含む場合、原子または純粋に原子的と呼ばれます。これは、原子によって形成される の可算分割が空集合まで存在すると言うことと同義です。^{[3] -}有限性の仮定は不可欠です。そうでない場合、が計数測度を表す空間を考えてみましょう。この空間は原子であり、すべての原子は単体ですが、この空間は可算個の互いに素な原子の非連続和と空集合に分割することはできません。なぜなら、単体の可算和は可算集合であり、実数の非可算性から、補集合は非可算でなければならないことが示されており、したがってその-測度は無限であり、空集合であることと矛盾するからです。-有限空間の結果の妥当性は、有限測度空間の証明から、可算和の可算和が再び可算和であり、空集合の可算和が空であることを観察することによって導かれます ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$

離散測度

任意の原子クラスの原子の交差が空でない場合、有限原子測度は離散的と呼ばれます。[ 4 ]は^可算 個のディラック測度の重み付き和である、つまり、における点の列と、 となる正の実数（重み）の列が存在する、つまり任意の に対してとなる、と言うことと同値です。各点を、番目の原子クラスの原子の共通点として選ぶことができます ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$ ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$ ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle k}$

離散測度は原子的であるが、その逆は成り立たない。可算部分集合と余可算部分集合の -代数 を、 可算部分集合と余可算部分集合にそれぞれ取る。すると、余可算部分集合によって形成される単一の原子類が存在する。この測度は原子的であるが、その唯一の原子類に含まれる原子の共通部分は空であり、ディラック測度の和として表すことができない。 ${\displaystyle X=[0,1]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

すべての原子が単体と同値であるならば、それが離散的であることは、それが原子であることと同値である。この場合、上記のものは原子単体であるため、それらは一意である。ボレル集合が与えられた可分計量空間における任意の有限測度はこの条件を満たす。^[5] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{k}}$

非原子的尺度

原子を持たない尺度は非原子的測定または拡散測度。言い換えれば、測度が非原子的であるとは、任意の測定可能な集合に対して、その測定可能な部分集合が存在し、 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

少なくとも1つの正の値を持つ非原子的測度は、1つの集合から始めて、測定可能な集合の減少するシーケンスを構築できるため、無限の数の異なる値を持ちます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0}$ $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

これは、原子を含むメジャーには当てはまらない可能性があります。上記の最初の例を参照してください。

非原子測度は実際には値の連続体を持つことが判明している。が非原子測度であり、が を満たす可測集合である場合、を満たす 任意の実数に対して、の可測部分集合が存在し、 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu (A)>0,}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

この定理はヴァツワフ・シェルピンスキによるものである。^{[6] [7]これは連続関数の}中間値定理を彷彿とさせる。

非原子測度に関するシェルピンスキーの定理の証明の概略。やや強い主張だが、証明を容易にする主張は、 が非原子測度空間であり、包含に関して単調な関数と の右逆関数が存在するというものである。つまり、すべての に対して となるような、1パラメータの測定可能集合族が存在する。証明は、へのすべての単調な部分切断の集合にゾルンの補題を適用することから容易に導かれる 。グラフの包含順で順序付けられる。すると、 のすべての連鎖には に上限があり、 の任意の極大元には定義域があることが示され、主張が証明される。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=c,}$ ${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,c].}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$ $${\displaystyle S(t)\subseteq S(t'),}$$ $${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ,}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle [0,c],}$

参照

• 原子（秩序理論） —秩序理論における類似の概念
• ディラックのデルタ関数
• 素事象、原子事象とも呼ばれる

注

1. Dunford & Schwartz 1988, p. 308.
2. Kadets 2018, pp. 43, 45–46
3. 「分析 - 原子の可算分割」。
4. 「なぜ離散的原子測度はディラック測度への分解が可能でなければならないのか？さらに、「原子クラス」とは何なのか？」
5. カデット2018、45頁。
6. シェルピンスキー、W. (1922)。 「アンサンブル添加剤の詳細と続き」(PDF)。Fundamenta Mathematicae (フランス語)。3 : 240–246。土井:10.4064/fm-3-1-240-246。
7. Fryszkowski, Andrzej (2005).分解可能集合の不動点理論（位相的不動点理論とその応用） . ニューヨーク: Springer. p. 39. ISBN 1-4020-2498-3。

参考文献

• ブルックナー、アンドリュー・M.、ブルックナー、ジュディス・B.、トムソン、ブライアン・S. (1997).実解析. アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティス・ホール. p. 108. ISBN 0-13-458886-X。
• Butnariu, Dan; Klement, EP (1993).三角ノルムベースの測度とファジィ連合を伴うゲーム. ドルドレヒト: Kluwer Academic. p. 87. ISBN 0-7923-2369-6。
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T. (1988).線形演算子 第1部. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-60848-6。
• カデッツ、ウラジミール (2018). 『関数解析と測度論のコース』Universitext. doi :10.1007/978-3-319-92004-7. ISBN 978-3-319-92003-0 ISSN  0172-5939

外部リンク

• 数学百科事典の原子

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