自己共分散

Concept in probability and statistics

確率論と統計学において、確率過程が与えられた場合、自己共分散とは、ある時点における過程自身との共分散を与える関数である。自己共分散は、問題の過程の自己相関と密接に関連している。

確率過程の自己共分散

意味

期待値演算子の通常の表記を用いると、確率過程が平均関数を持つ場合、自己共分散は^{[1] : p. 162}で与えられる。 ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}}$

式1

ここで、 とは時間における 2 つのインスタンスです。 ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

弱定常過程の定義

が弱定常（WSS）過程である場合、以下が成り立つ：^{[1] ：p.163} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$すべての人のために ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$すべての人のために ${\displaystyle t}$

そして

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

ここで、遅延時間、つまり信号がシフトされた時間の量です。 ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

したがって、WSSプロセスの自己共分散関数は次のように表される: ^{[2] : p. 517}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }}$

式2

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$。

正規化

一部の分野（例えば統計学や時系列解析）では、時間依存のピアソン相関係数を得るために自己共分散関数を正規化することが一般的です。しかし、他の分野（例えば工学）では、正規化は通常省略され、「自己相関」と「自己共分散」という用語は同じ意味で使用されます。

確率過程の正規化された自己相関の定義は

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$。

関数が明確に定義されている場合、その値は の範囲内にある必要があり、1 は完全な相関を示し、-1 は完全な反相関を示します。 ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

WSSプロセスの場合、定義は次のようになります。

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$。

どこ

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$。

プロパティ

対称性

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3] : p.169}

それぞれ WSS プロセスの場合:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3] : p.173}

線形フィルタリング

線形フィルタリングプロセスの自己共分散 ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

は

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

乱流拡散係数の計算

自己共分散は乱流拡散係数を計算するために用いることができる。^[4]流れの中の乱流は、空間と時間における速度の変動を引き起こす可能性がある。したがって、これらの変動の統計を通して乱流を識別することができる^[要出典]。

レイノルズ分解は速度変動を定義するために使用されます（ここでは 1D の問題を扱っており、 方向に沿った速度であると仮定します）。 ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

ここで、 は真の速度、 は速度 の期待値です。正しい を選択すると、乱流速度のすべての確率的成分が に含まれます。 を決定するには、空間上の点、時間上の瞬間、または繰り返し実験から収集された一連の速度測定値が必要です。 ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$

乱流フラックス（、cは濃度項）がランダムウォークによって発生すると仮定すると、フィックの拡散法則を使用して乱流フラックス項を表すことができます。 ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ ${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

速度の自己共分散は次のように定義される。

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$または ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

ここで、 は遅延時間、 は遅延距離です。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle r}$

乱流拡散率は、次の 3 つの方法で計算できます。 ${\displaystyle D_{T_{x}}}$

1. ラグランジュ軌道に沿った速度データがある場合：

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. 1つの固定された（オイラー）位置での速度データがある場合^{（引用が必要）}：
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. 2つの固定された（オイラー）位置での速度情報がある場合^{[引用が必要]}：
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   ここで、これら 2 つの固定された場所の間の距離は です。 ${\displaystyle r}$

ランダムベクトルの自己共分散

参照

• 自己回帰過程
• 相関
• 相互共分散
• 相互相関
• ノイズ共分散推定（応用例として）

参考文献

1. Hsu, Hwei (1997).確率、ランダム変数、ランダムプロセス. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8。
2. ラピドス、エイモス（2009年）『デジタルコミュニケーションの基礎』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19395-5。
3. Kun Il Park, 確率過程の基礎と通信への応用, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
4. Taylor, GI (1922-01-01). 「連続運動による拡散」.ロンドン数学会報. s2-20 (1): 196– 212. Bibcode :1922PLMS..220S.196T. doi :10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN  1460-244X.

さらに読む

• Hoel, PG (1984).数理統計学（第5版）. ニューヨーク: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4。
• WHOIによる自己共分散に関する講義ノート

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