公理A
数学において、スメールの公理Aは、広く研究され、そのダイナミクスが比較的よく理解されている力学系のクラスを定義する。その顕著な例として、スメールの馬蹄形写像が挙げられる。「公理A」という用語は、スティーブン・スメールに由来する。[ 1 ] [ 2 ] このような系の重要性は、カオス仮説によって実証されている。カオス仮説によれば、「あらゆる実用的目的において」多体系のサーモスタット系はアノソフ系によって近似される。[ 3 ]
意味
M を微分同相写像f : M → Mを持つ滑らかな多様体とする。このとき、次の2つの条件が満たされるとき、 fは公理 A 微分同相写像となる。
曲面の場合、非移動集合の双曲性は周期点の密度を意味するが、高次元ではもはやこれは成り立たない。しかしながら、公理Aの微分同相写像は、興味深いダイナミクスが生じるMの部分、すなわちΩ ( f )が双曲的な振る舞いを示すため、双曲型微分同相写像と呼ばれることもある。
公理Aの微分同相写像は、モース・スメール系を一般化し、さらなる制約（有限個の周期点と安定部分多様体および不安定部分多様体の横断性）を満たす。スメール馬蹄形写像は、無限個の周期点と正の位相エントロピーを持つ公理Aの微分同相写像である。
プロパティ
任意のアノソフ微分同相写像は公理 A を満たす。この場合、多様体M全体は双曲的である（ただし、非放浪集合Ω ( f ) がM全体を構成するかどうかは未解決の問題である）。
ルーファス・ボーエンは、任意の公理Aの非放浪集合Ω ( f )がマルコフ分割をサポートすることを示した。[ 2 ] [ 4 ]したがって、 Ω ( f )の特定の一般的な部分集合へのf の制限は、有限型のシフトと共役である。
非放浪集合における周期点の密度は、その局所的最大値を意味する。すなわち、 Ω ( f )の開近傍U が存在し、
オメガの安定性
公理A系の重要な性質の一つは、小さな摂動に対する構造安定性である。[ 5 ]つまり、摂動を受けた系の軌跡は、摂動を受けていない系と1対1の位相対応を維持する。この性質は、公理A系が例外的なものではなく、ある意味で「ロバスト」であることを示している点で重要である。
より正確には、 fの任意のC 1摂動f εに対して、その非移動集合は、2つのコンパクトなf ε不変部分集合Ω 1とΩ 2によって形成される。最初の部分集合は、fのΩ ( f )への制限とf εのΩ 1への制限を共役とする同相写像hを介して、 Ω ( f )に同相である。
Ω 2が空ならば、 hはΩ ( f ε )上に存在する。このことがすべての摂動f εに対して成り立つならば、fはオメガ安定と呼ばれる。微分同相写像fがオメガ安定であるための必要十分条件は、公理 A と無閉路条件（軌道がΩ ( f )の推移的部分集合を一度離れたら、再び戻らないこと）を満たす場合である。
参照
参考文献
- ^ Smale, S. (1967), 「微分可能動的システム」 , Bull. Amer. Math. Soc. , 73 (6): 747– 817, doi : 10.1090/s0002-9904-1967-11798-1 , Zbl 0202.55202
- ^ a bルエル（1978）p.149
- ^ Scholarpedia「カオス仮説」参照
- ^ Bowen、R. (1970)、「公理 A 微分同相写像のマルコフ分割」、Am。 Ｊ．Ｍａｔｈ．、92 (3): 725–747、土井: 10.2307/2373370、JSTOR 2373370、Zbl 0208.25901
- ^アブラハムとマースデン『力学の基礎』（1978年）ベンジャミン/カミングス出版、 7.5節参照
- ルーエル、デイヴィッド(1978).熱力学形式論. 古典平衡の数学的構造. 数学とその応用百科事典. 第5巻. マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016 .
- ルエル、デイヴィッド(1989).カオス的進化と奇妙なアトラクター. 決定論的非線形システムの時系列統計解析. レツィオーニ・リンセ. ステファノ・イゾラによるメモ.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001 .
