八面体対称性

3次元で選択された点群
多面体群, [n,3], (*n32)
反転対称性 C _s、 (*) [ ] =	周期対称性 C _nv , (*nn) [n] =	二面対称性 D _nh , (*n22) [n,2] =
四面体対称性 T _d、 (*332) [3,3] =	八面体対称性 O _h、 (*432) [4,3] =	正20面体対称性 I _h、 (*532) [5,3] =

正八面体には、回転対称性（または向き保存対称性）が24個、合計で48個の対称性があります。これらには、鏡映と回転を組み合わせた変換も含まれます。立方体も正八面体の双対である多面体であるため、同様の対称性を持っています。

方向保存対称性のグループは S ₄、つまり対称グループまたは 4 つのオブジェクトの順列のグループです。これは、立方体の 4 つの対角線の各順列に対して、このような対称性が 1 つだけ存在するためです。

詳細

キラル八面体対称性と完全（またはアキラル）八面体対称性は、並進対称性と両立する最大の対称群を持つ離散点対称性（または球面上の対称性）である。これらは立方晶系の結晶学的点群に含まれる。

共役類
Oの要素		Oの要素の反転
身元	0	反転	0′
4回軸を中心に180°回転（3回）	7、16、23	4回軸に垂直な平面での3回反射	7′、16′、23′
3倍軸の周りの8×120°回転	3、4、8、11、12、15、19、20	8 × 60°のローター反射	3′、4′、8′、11′、12′、15′、19′、20′
2倍軸を中心に6回180°回転	1′、2′、5′、6′、14′、21′	2回軸に垂直な平面での6回の反射	1、2、5、6、14、21
4倍軸を中心に6回90°回転	9′、10′、13′、17′、18′、22′	6 × 90°回転反射	9、10、13、17、18、22

例
$(0,0)=0$	$(3,0)=7$	$(0,3)=3$	$(7,1)=1'$	$(4,5)=9'$
$(7,0)=0'$	$(4,0)=7'$	$(7,3)=3'$	$(0,1)=1$	$(3,5)=9$
完全なリストはWikiversityの記事でご覧いただけます。

3次元の超八面体群である完全八面体群は花輪積であり、その元をおよびのペア( m , n )として識別するのが自然な方法です。しかし、これはS ₄ × S ₂の直積でもあるため、四面体部分群T _dの元を、それらの反転をとして識別するだけで済みます。 $\mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}$ $m\in [0,2^{3})$ $n\in [0,3!)$
$a\in [0,4!)$ $a'$

したがって、例えば、恒等変換(0, 0)は 0 として表され、反転変換(7, 0)は 0′ として表されます。
(3, 1)は 6 として表され、 (4, 1)は6′ として表されます。

ローター反射は回転と反射の組み合わせです。

ローター反射の図
$7'\circ 4=8'$
$7'\circ 22'=17$

カイラル八面体対称性

回転軸
C4	C ₃ >	C ₂
3	4	6

O、432 、または位数 24 の[4,3] ^+は、キラル八面体対称性または回転八面体対称性です。このグループはキラル四面体対称性T に似ていますが、C _{2軸が C}₄軸になり、さらに立方体の辺の中点を通る6 つの C _{2軸があります。T}_dと O は抽象グループとして同型です。つまり、どちらも 4 つのオブジェクトの対称グループである S 4 に対応します。T d_は、_{T と}、O \ T の各要素を反転して組み合わせることによって得られるセットの和集合です。O は、立方体と正八面体の回転グループです。

カイラル八面体対称性
正射影	立体投影
2倍	4倍	3倍	2倍

完全な八面体対称性

O _h、*432、[4,3]、または位数48のm3mは、非アキラル八面体対称性または完全八面体対称性を持つ。この群はOと同じ回転軸を持つが、鏡面を持ち、T _dとT _hの両方の鏡面を含む。この群はS ₄ .C _{2と同型であり、}立方体と八面体の完全対称群である。n = 3の場合には超八面体群である。立方体の等長変換も参照のこと。

4回対称軸を座標軸として、O _hの基本領域は 0 ≤ x ≤ y ≤ zで与えられます。この対称性を持つ物体は、基本領域における物体の部分によって特徴付けられます。例えば、立方体はz = 1、八面体はx + y + z = 1（または、面ではなく立体を得るための対応する不等式）で与えられます。ax + by + cz = 1 は、 48面を持つ多面体、例えば二面体十二面体を与えます。

面は、 a = b = 0 (立方体)の場合は 8 x 8 の大きな面に、 a = b = c (八面体)の場合は 6 x 6 の大きな面に結合されます。

完全な八面体対称性の9本の鏡面線は、3本と6本の2つのサブグループ（紫と赤で描かれている）に分けられ、2つの直交する部分対称性、すなわちD _2hとT _dで表される。D _{2h対称性は、3つの方向のいずれかから2つの鏡面を復元することで、D}_4hに倍増することができる。

八面体対称性と反射部分群

正投影	立体投影
正投影	4倍	3倍	2倍
ああ_、 [4,3]、、完全な八面体対称（3+6ミラー）

T _d , [3,3]=[1 ⁺ ,4,3],＝、四面体サブグループ（6つの鏡）

C _3v、[3]、、二面体部分群（3つの鏡）

正投影	立体投影
正投影	4倍	3倍	2倍
D _4h、[4,2]、二面体部分群（1+2+2鏡像）

D _2h、[2,2]=[4,3*]、= 二面体部分群（1+1+1 個の鏡像）

C _4v、[4]、、二面体部分群（2+2鏡）

回転行列

3×3の順列行列の集合を取り、3つの1にそれぞれ+または-の符号を割り当てます。順列と符号の組み合わせは合計48通りあり、これらが正八面体群全体となります。これらの行列のうち24通りは行列式が+1で、カイラル正八面体群の回転行列です。残りの24通りは行列式が-1で、鏡映または反転に対応します。 $3!=6$ $2^{3}=8$

八面体対称性には、コクセター・ディンキン図の3つの鏡像を表す3つの反射生成行列が必要である。反射の積は3つの回転生成行列を生成する。

[4,3],
	反射			回転			回転反射
発電機	R ₀	R1	R2	R ₀ R ₁	R ₁ R ₂	R ₀ R ₂	R ₀ R ₁ R ₂
グループ
注文	2	2	2	4	3	2	6
マトリックス	$\left[{\begin{smallmatrix}1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}1&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}1\\0&-1&{\phantom {+}}0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&{\phantom {+}}1&{\phantom {+}}0\\1&{\phantom {+}}0&{\phantom {+}}0\\0&{\phantom {+}}0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\phantom {+}}0&1&0\\{\phantom {+}}0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

完全八面体対称性の部分群

位数24の部分群のサイクルグラフ

シェーンフライ記法	コクセター	オーブ。	フム	構造	注文	索引
おお	[4,3]	*432	メートル3メートル	S ₄ × S ₂	48	1
T _d	[3,3]	*332	4 3m	S4	24	2
D _4時間	[2,4]	*224	4/mmm	D ₂ × D ₈	16	3
D _2時間	[2,2]	*222	うーん	D³ ₂= D ₂ × D ₄	8	6
C _4v	[4]	*44	4mm	D8	8	6
C _3v	[3]	*33	3メートル	D ₆ = S ₃	6	8
C _2v	[2]	*22	mm2	D² ₂= D ₄	4	12
C _s = C _1v	[ ]	*	2またはm	D2	2	24
T _h	[3 ⁺ ,4]	3*2	メートル3	A ₄ × S ₂	24	2
C _4時間	[4 ⁺ ,2]	4*	4/m	Z ₄ × D ₂	8	6
D _3d	[2 ⁺ ,6]	2*3	3メートル	D ₁₂ = Z ₂ × D ₆	12	4
D _2d	[2 ⁺ ,4]	2*2	4 2m	D8	8	6
C _2h = D _1d	[2 ⁺ ,2]	2*	2/m	Z ₂ × D ₂	4	12
S ₆	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	3×	3	Z ₆ = Z ₂ × Z ₃	6	8
S4	[2 ⁺、4 ⁺ ]	2×	4	Z4	4	12
S2	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	×	1	S2	2	24
お	[4,3] ⁺	432	432	S4	24	2
T	[3,3] ⁺	332	23	A4	12	4
D4	[2,4] ⁺	224	422	D8	8	6
D3	[2,3] ⁺	223	322	D ₆ = S ₃	6	8
D2	[2,2] ⁺	222	222	D ₄ = Z² ₂	4	12
C4	[4] ⁺	44	4	Z4	4	12
C ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃ = A ₃	3	16
C ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	24
C ₁	[ ] ⁺	11	1	Z ₁	1	48

コクセター記法における八面体部分群^[1]

立方体の等長変換

立方体には48個の等長変換（対称要素）があり、対称群O _{hを形成します。これは}S ₄ × Z ₂と同型です。これらは以下のように分類できます。

O（恒等回転と23の固有回転）は次の共役類を持つ（括弧内には体対角線の順列と単位四元数表現が与えられている）：
- アイデンティティ（アイデンティティ; 1）
- ある面の中心から反対側の面の中心までの軸の周りの 90° の回転: 3 つの軸 (軸ごとに 2 つずつ)、合計 6 ((1 2 3 4) など、((1 ± i )/ √ 2など)
- 180°の角度で同じ：3つの軸、軸ごとに1つ、合わせて3つ（（1 2）（3 4）、など; i、j、k）
- ある辺の中心から反対側の辺の中心までの軸の周りの180°の回転：6つの軸（軸ごとに1つ、合計6つ）（（1 2）など、（（i ± j ）/ √2など）
- 体の対角線を中心に120°回転：4軸、各軸2軸、合計8軸（（1 2 3）など、（1 ± i ± j ± k）/2）
反転も同様です（x は− xに写像されます）（等長変換も24通りあります）。軸を中心とした180°の回転と反転を組み合わせると、垂直面における鏡映変換に過ぎないことに注意してください。反転と体対角線を中心とした120°の回転を組み合わせると、体対角線を中心とした60°の回転と垂直面における鏡映変換が組み合わされます（回転自体は立方体を自身に写像するものではなく、鏡映面と立方体の交点は正六角形です）。

立方体の等長変換は、さまざまな方法で識別できます。

面によって、隣接する３つの面（例えばサイコロの１、２、３）が
片面に非対称の模様がある立方体の像：模様のある面、それが正像か鏡像か、そしてその向き
4つの対角線の順列（24通りの順列が可能）と、立方体の反転のトグルの組み合わせによって、または

色やマークが付いた立方体（サイコロなど）の場合、対称群は O _hのサブグループです。

例:

C _4v、[4]、(*422): 1つの面が異なる色を持っている場合(または2つの向かい合った面が互いに異なる色を持ち、他の4つの面とも異なる色を持っている場合)、立方体には2Dの正方形と同様に8つの等長変換があります。
D _2h、[2,2]、(*222): 向かい合う面が同じ色で、2面ずつの色が異なる場合、立方体には直方体のように8つの等長変換が存在します。
D _4h、[4,2]、(*422): 向かい合う2つの面が同じ色で、他のすべての面が1つの異なる色である場合、立方体には正方形のプリズム(正方形の箱)のような16の等長投影が存在します。
C _2v、[2]、(*22):
- 隣接する 2 つの面が同じ色で、他のすべての面が異なる色である場合、立方体には 4 つの等長投影面があります。
- 3 つの面があり、そのうち 2 つが互いに向かい合って 1 つの色を持ち、他の 3 つが別の 1 色を持つ場合、立方体には 4 つの等長投影面があります。
- 向かい合う 2 つの面が同じ色で、他の向かい合う 2 つの面も色が同じで、最後の 2 つの面が異なる色である場合、立方体には 4 つの等長写像があり、これは鏡面対称の形状を持つ白紙のようになります。
C _s、[ ]、(*):
- 隣接する 2 つの面の色が異なり、他の 4 つの面の色が 3 色目の場合、立方体には 2 つの等長投影面があります。
- 向かい合う 2 つの面が同じ色で、他のすべての面が異なる色である場合、立方体には、非対称の白紙のように 2 つの等長投影面があります。
C _3v、[3]、(*33): 互いに向かい合っていない3つの面が1つの色で、他の3つの面が別の色である場合、立方体には6つの等長変換があります。

いくつかの大きな部分群では、その群を対称群とする立方体は、面全体を単に塗りつぶすだけでは作成できません。面上に何らかの模様を描く必要があります。

例:

D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2): 一方の面に、その面を 2 つの等しい長方形に分割する線分があり、反対側にも垂直方向に同じ線分がある場合、立方体には 8 つの等長変換があります。対称面と、その面に対して 45° の角度の軸を持つ 2 回回転対称性があり、その結果、最初の対称面に対して垂直な別の対称面と、最初の対称面に対して垂直な別の 2 回回転対称軸も存在します。
T _h , [3 ⁺ ,4], (3*2): 各面に、面を2つの等しい長方形に分割する線分があり、隣接する面の線分が辺で交わらない場合、立方体には24の等長変換（体の対角線の均等な順列と反転を組み合わせたもの（xは - xにマッピングされます））があります。
T _d、[3,3]、(*332): 立方体が 8 つの小さな立方体 (白 4 つと黒 4 つ) で構成され、3 つの標準方向すべてで交互に配置されている場合、立方体には再び 24 の等長変換が存在します。今回は、体の対角線の均等な順列と、その他の適切な回転の逆です。
T, [3,3] ⁺ , (332): 各面が2回回転対称の同じパターン（例えば文字S）を持ち、すべての辺で一方のSの頂点がもう一方のSの辺と交わる場合、立方体には12個の等長変換（体の対角線の均等な順列）が存在します。

立方体O _h , [4,3], (*432)の完全な対称性は、すべての面が同じパターンを持ち、正方形の完全な対称性が維持される場合にのみ維持され、正方形には8次の対称群Dih ₄ , [4]があります。

^{適切な回転O, [4,3] +} , (432)の下での立方体の完全な対称性は、すべての面が4回回転対称Z ₄ , [4] ⁺と同じパターンを持つ場合にのみ保持されます。

ボルザ面の八面体対称性

リーマン面論において、ボルザ面（ボルザ曲線とも呼ばれる）は、リーマン球面の分岐二重被覆として得られ、その分岐軌跡は正内接八面体の頂点集合に位置する。その自己同型群には、被覆の二枚のシートを反転させる超楕円反転が含まれる。超楕円反転によって生成される位数2の部分群による商は、まさに八面体の対称群を与える。ボルザ面の多くの注目すべき性質の一つは、種数2のすべての双曲面の中で、シストールを最大化するという事実である。

八面体キラル対称性を持つ固体

クラス	名前	写真	顔	エッジ	頂点	二重名	写真
アルキメデス立体（カタラン立体）	スナブキューブ		38	60	24	五角形二十四面体

完全な八面体対称性を持つ固体

クラス	名前	顔	エッジ	頂点	二重名
プラトン立体	キューブ	6	12	8	八面体
アルキメデス立体（双対カタラン立体）	立方八面体	14	24	12	菱形十二面体
	切り取られた立方体	14	36	24	トリアキス八面体
	切頂八面体	14	36	24	テトラキス六面体
	菱形立方八面体	26	48	24	三角錐二十四面体
	切頂立方八面体	26	72	48	ディスディアキス十二面体
正複合多面体	星型八面体	8	12	8	自己双対
正複合多面体	立方体と八面体	14	24	14	自己双対

参照

参考文献

^ ジョン・コンウェイ『ものの対称性』図20.8、280ページ

さらに読む

ピーター・R・クロムウェル『多面体』（1997年）、295ページ
物事の対称性2008年、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、ISBN 978-1-56881-220-5
万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.5 球面コクセター群

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「八面体群」。MathWorld。
Groupprops: S4とZ2の直積

[1] ジョン・コンウェイ『ものの対称性』図20.8、280ページ