2進化10進数

バイナリ時計では、 LEDを使って2進数の値を表すことがあります。この時計では、LEDの各列に、伝統的な60進法の時刻を表す2進化10進数が表示されます。

コンピュータおよび電子システムにおいて、 2進化10進数（BCD ）は、 10進数の2進符号化の一種であり、各桁は固定数のビット（通常は4または8）で表されます。符号やその他の表示（エラーやオーバーフローなど）には、特殊なビットパターンが使用される場合もあります。

バイト指向システム（つまり、ほとんどの現代のコンピュータ）では、アンパックBCD [1]という用語は通常、各桁が完全なバイト（多くの場合、符号を含む）であることを意味しますが、パックBCDは通常、0から9の範囲を表すのに4ビットで十分であるという事実を利用して、1バイト内に2桁をエンコードします。ただし、正確な4ビットエンコードは、技術的な理由（Excess-3など）により異なる場合があります。

BCD桁を表す10個の状態はテトラド[2] [3]と呼ばれることもある（通常、これらを保持するために必要なニブルもテトラドと呼ばれる）。一方、使われない、don't care状態は擬似テトラド[de]、[4] [5] [6] [7] [8] 擬似10進数、[3]または擬似10進数と呼ばれる。[9] [10] [注 1]

BCDの主な利点は、2進位置システムと比較して、10進数の表現と丸め精度が高く、従来の人間が読める表現への変換が容易なことです。主な欠点は、基本的な演算を実装するために必要な回路の複雑さが若干増加することと、記憶密度が若干低いことです。

BCD は多くの初期の10 進コンピュータで使用されており、IBM System/360シリーズとその派生機種、Digital Equipment CorporationのVAX、Burroughs B1700、Motorola 68000シリーズ プロセッサなどのマシンの命令セットに実装されています。

BCD自体は以前ほど広く使用されておらず、新しい命令セット（例：ARM、x86のロングモード）では利用できないか、制限されています。しかし、10進固定小数点形式と10進浮動小数点形式は依然として重要であり、金融​​、商業、産業コンピューティングの分野では、2進浮動小数点形式に固有の微妙な変換誤差や小数点の丸め誤差が許容されないため、引き続き使用されています。[11]

背景

BCDは、10進数の任意の1桁を4ビットのパターンで表現できるという特性を利用します。数字をエンコードする最も分かりやすい方法は、自然BCD（NBCD）です。この方法では、各10進数は対応する4ビットの2進値で表現されます（下表参照）。これは「8421」エンコードとも呼ばれます。

小数点BCD
8421
00000
10001
20010
30011
40100
50101
60110
70111
81000
91001

この方式は、単純2進化10進数（SBCD）またはBCD 8421とも呼ばれ、最も一般的な符号化方式です。[12]その他には、ビットの重み付けにちなんで名付けられた、いわゆる「4221」符号化方式や「7421」符号化方式、および「Excess-3」符号化方式があります。[13]例えば、BCDの数字6は、0110'b8421表記では1100'b4221（2つの符号化方式が可能）、0110'b7421では（）となり、Excess-3では1001'b（）となります。

4ビットBCDコードと擬似テトラード
少し重さ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415        コメント        
480000000011111111バイナリ
340000111100001111
220011001100110011
110101010101010101
名前0123456789101112131415小数点
8 4 2 1 (XS-0)0123456789101112131415[14] [15] [16] [17] [注2]
7 4 2 10123456 789     [18] [19] [20]
エイケン（2 4 2 1）01234      56789[14] [15] [16] [17] [注3]
エクセス-3（XS-3）-3-2-10123456789101112[14] [15] [16] [17] [注2]
エクセス-6（XS-6）-6-5-4-3-2-10123456789[18] [注2]
2ジャンプ（2 4 2 1）01      23456789[16] [17]
8でジャンプ（2 4 2 1）01234567      89[21] [22] [16] [17] [注4]
4 2 2 1 (私)0123  45    6789[16] [17]
4 2 2 1 (II)0123  45  67  89[21] [22]
5 4 2 101234   56789   [18] [14] [16] [17]
5 2 2 10123  4 5678  9 [14] [16] [17]
5 1 2 10123   45678   9[19]
5 3 1 101 234  56 789  [16] [17]
ホワイト（5 2 1 1）01 2 3 456 7 8 9[23] [18] [14] [16] [17]
5 2 1 101 2 3 45 6 7 89[24]
 0123456789101112131415
磁気テープ 1234567890     [15]
ポール 1326754 0  89  [25]
グレー0132675415141213891110[26] [14] [15] [16] [17] [注2]
グリクソン013267549   8   [27] [14] [15] [16] [17]
レドリー01327645    8 9 [28]
4 3 1 101 23  54  67 89[19]
LARC01 2  4356 7  98[29]
クラル01 2  4398 7  56[2] [3]
ペザリック（RAE） 132 04  867 95 [30] [31] [注5]
オブライエン1世（ワッツ）0132  4 9867  5 [32] [14] [16] [17] [注6]
5環式0132  4 5687  9 [28]
トンプキンス1世0132  4  9  8756[33] [14] [16] [17]
リッペル0123  4  9  8765[34] [35] [14]
オブライエン2世 0214 3  9785 6 [32] [14] [16] [17]
トンプキンス II  0143 2 79856  [33] [14] [16] [17]
過剰-3グレー-3-20-1431212119105687[16] [17] [20] [注7] [注2]
6 3 −2 −1 (I)    3210 5489 76[29] [36]
6 3 −2 −1 (II)0   321 654 987 [29] [36]
8 4 −2 −10   43218765   9[29]
ルカル0151411232138769411105[37]
カウツ1世0  2 513 79 86 4[18]
カウツ II 94 1 328 67 05 [18] [14]
ズスキンド1世 0 1 432 9 85 67[35]
ズスキント2世 0 1 9 84 325 67[35]
 0123456789101112131415

以下の表は、0から9までの10進数を様々なBCD符号化方式で表したものです。ヘッダーの「 」は各ビットの重みを示しています。5列目（「BCD 8 4 −2 −1」）では、重みのうち2つが負の値になっています。また、ゾーンBCDの例である各桁のASCII文字コードとEBCDIC文字コードも示されています。8 4 2 1   

 
桁		BCD
8  4  2  1		スティビッツ コードまたはエクセス3エイケンコードまたはBCD
2  4  2  1		BCD
8  4  −2  −1		 IBM 702、 IBM 705、IBM 7080、IBM 1401 8421
   		ASCII
0000 8421		EBCDIC
0000 8421
0000000110000000010100011 00001111 0000
1000101000001011100010011 00011111 0001
2001001010010011000100011 00101111 0010
3001101100011010100110011 00111111 0011
4010001110100010001000011 01001111 0100
5010110001011101101010011 01011111 0101
6011010011100101001100011 01101111 0110
7011110101101100101110011 01111111 0111
8100010111110100010000011 10001111 1000
9100111001111111110010011 10011111 1001

ほとんどのコンピュータは 8 ビットバイトでデータを処理するため、次のいずれかの方法を使用して BCD 数値をエンコードできます。

  • アンパック: 各 10 進数は 1 バイトにエンコードされ、4 ビットが数値を表し、残りのビットは意味を持ちません。
  • パック: 2つの10進数字が1バイトにエンコードされ、1つの数字が最下位ニブル（ビット0から3）に、もう1つの数字が最上位ニブル（ビット4から7）に格納されます。[注 8]

たとえば、91アンパックされた BCD を使用して 10 進数をエンコードすると、次の 2 バイトのバイナリ パターンが生成されます。

小数点: 9 12進数: 0000 1001 0000 0001

パックされた BCD では、同じ数値が 1 バイトに収まります。

小数点: 9 1バイナリ: 1001 0001

したがって、1 つのアンパック BCD バイトの数値範囲は 0 から 9 までですが、1 つのパック BCD バイトの範囲は 0 から 99 までとなります。

1バイトの範囲を超える数値を表すには、任意の数の連続バイトを使用できます。例えば、ビッグエンディアン12345形式を用いてパックBCDで10進数を表す場合、プログラムは次のようにエンコードします。

10進数: 0 1 2 3 4 52進数: 0000 0001 0010 0011 0100 0101

ここでは、最上位バイトの最上位ニブルがゼロとしてエンコードされているため、数値は次のように保存されます012345（ただし、フォーマットルーチンによって先頭のゼロが置換または削除される場合があります）。パックBCDはアンパックBCDよりもストレージの使用効率が高いです。同じ数値（先頭にゼロが付く）をアンパック形式でエンコードすると、2倍のストレージを消費します。

シフト演算とマスク演算は、パックされたBCD桁をパックまたはアンパックするために使用されます。その他のビット演算は、数値を同等のビットパターンに変換したり、その逆の処理を行うために使用されます。

パックされたBCD

ワードがオクテット（8ビットバイト）の倍数である一部のコンピュータ、たとえば現代のIBMメインフレームシステムは、各ニブルが10進数または符号のいずれかを表すパックBCD（またはパック10進数[38] ）数値表現をサポートしています。 [nb 8]パックBCDは少なくとも1960年代から使用されており、それ以降のすべてのIBMメインフレームハードウェアに実装されています。ほとんどの実装はビッグエンディアン、つまり各バイトの上位半分に重要な数字があり、左端のバイト（最下位のメモリアドレスに存在）にパック10進数値の最上位桁が含まれます。右端のバイトの下位ニブルは通常、符号フラグとして使用されますが、符号なし表現の中には符号フラグがないものもあります。

例えば、4バイトの値は8ニブルで構成され、上位7ニブルは7桁の10進数値の桁を格納し、最下位ニブルは10進整数値の符号を示します。標準的な符号値は、正（+）の場合は1100（16進数C ）、負（-）の場合は1101（16進数D）です。この規則は、 EBCDIC文字のゾーンフィールドと符号付きオーバーパンチ表現に由来します。

他に許容される符号は、正の場合は1010 (A) と 1110 (E)、負の場合は1011 (B) です。IBM System/360プロセッサは、PSWのAビットがセットされている場合、1010 (A) と 1011 (B) の符号を使用します。これは、ASCII-8規格（この規格は未だ採用されていません）のためです。ほとんどの実装では、符号ニブルが1111 (F) の符号なしBCD値も提供されています。[39] [40] [41] ILE RPGは、正の場合は1111 (F)、負の場合は1101 (D) を使用します。[42]これらは、符号オーバーパンチのない数字のEBCDICゾーンと一致します。パックBCDでは、127は0001 0010 0111 1100 (127C) で表され、-127は0001 0010 0111 1101 (127D) で表されます。バロウズシステムでは、1101 (D) は負の値を表し、それ以外の値は正の値とみなされます（プロセッサは正の値を1100 (C) に正規化します）。

符号
数字		BCD
8 4 2 1		サイン注記
あ1 0 1 0+ 
B1 0 1 1− 
C1 1 0 0+優先
D1 1 0 1−優先
E1 1 1 0+ 
F1 1 1 1+署名なし

ワードのバイト数に関わらず、各バイトにはニブルが2つ含まれているため、常にニブルの数は偶数です。したがって、 nバイトのワードには最大(2 n )−1桁の10進数を含めることができ、これは常に奇数桁です。d桁の10進数には、⁠1/2⁠ ( d +1) バイトのストレージスペース。

例えば、4バイト（32ビット）のワードは7桁の10進数と符号を保持でき、±9,999,999の範囲の値を表現できます。したがって、-1,234,567という数値は7桁で、次のようにエンコードされます。

0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 11011 2 3 4 5 6 7 −

文字列と同様に、パック 10 進数の最初のバイト (最上位 2 桁) は、マシンのエンディアンとは関係なく、通常はメモリの最も低いアドレスに格納されます。

対照的に、4 バイトの 2 の補数整数は、-2,147,483,648 から +2,147,483,647 までの値を表すことができます。

パックBCDはストレージを最適に利用しません（同じ数値を格納するのに2進数表記よりも約20%多くのメモリを使用します）。しかし、算術演算が不要なため、 ASCII 、EBCDIC、またはUnicodeの各種エンコーディングへの変換は容易です。追加のストレージ要件は通常、固定小数点10進演算が提供する精度と電卓や手計算との互換性によって相殺されます。BCDをより高密度にパックすることで、ストレージのペナルティを回避し、一般的な変換において算術演算も不要になります。

パックBCDは、COBOLプログラミング言語では「COMPUTATIONAL-3」（多くのコンパイラベンダーが採用しているIBM拡張）または「PACKED-DECIMAL」（1985 COBOL標準の一部）データ型としてサポートされています。PL /Iでは「FIXED DECIMAL」としてサポートされています。IBM System/360以降の互換メインフレームに加え、パックBCDはDigital Equipment CorporationのオリジナルVAXプロセッサおよびSDS Sigmaシリーズメインフレームの一部モデルのネイティブ命令セットに実装されており、Burroughs Medium Systemsシリーズのメインフレーム（1950年代のElectrodata 200シリーズを継承）ではネイティブ形式となっています。

負の数の10の補数表現は、パックBCD数（およびその他のBCD数）の符号をエンコードする別のアプローチを提供します。この場合、正の数は常に最上位桁が0から4（両端を含む）の範囲にあり、負の数は対応する正の数の10の補数で表されます。

その結果、このシステムでは、32 ビットのパック BCD 数値の範囲は -50,000,000 から +49,999,999 までとなり、-1 は 99999999 として表されます (2 の補数の 2 進数と同様に、範囲はゼロを中心に対称ではありません)。

固定小数点パック10進数

固定小数点数は、一部のプログラミング言語（COBOLやPL/Iなど）でサポートされています。これらの言語では、プログラマーが数字の前に暗黙的に小数点を付けることができます。

たとえば、バイト 12 34 56 7C でエンコードされたパック 10 進数値は、暗黙の小数点が 4 桁目と 5 桁目の間にある場合、固定小数点値 +1,234.567 を表します。

12 34 56 7C 12 34.56 7+

パックBCD形式では小数点がメモリに格納されないため、小数点は実際にはメモリに格納されません。小数点の位置はコンパイラによって認識され、生成されたコードは様々な算術演算においてそれに応じて動作します。

高密度エンコーディング

10進数の1桁に4ビットが必要な場合、3桁の10進数には12ビットが必要です。しかし、2の10乗（1,024）は10の3乗（1,000）より大きいため、3桁の10進数をまとめてエンコードする場合、必要なビット数は10ビットのみです。このようなエンコード方式として、Chen-Hoエンコードと高密度10進数（DPD）があります。後者の利点は、エンコードのサブセットによって、通常のBCDと同様に、2桁を最適な7ビットでエンコードし、1桁を4ビットでエンコードできる点です。

ゾーン10進数

IBMメインフレームシステムなど、一部の実装ではゾーン10進数表現をサポートしています。各10進数は8ビット[nb 9]バイトに格納され、下位4ビットはBCD形式で数値をエンコードします。上位4ビット[nb 10]は「ゾーン」ビットと呼ばれ、通常は固定値に設定され、バイトには数値に対応する文字値、またはプラスまたはマイナスを表す値が保持されます。 EBCDIC [nb 11]システムでは、ゾーン値1111 2 (F 16 ) を使用し、F0 16～F9 16（0～9のコード）を生成します。正の場合にはゾーン値1100 2 (C 16 ) を使用し、C0 16～C9 16（{～Iのコード）を生成します。負の場合にはゾーン値1110 2 (D 16 ) を使用し、D0 16～D9 16（}～Rのコード）を生成します。同様に、ASCIIシステムではゾーン値0011 (16進数3) を使用し、文字コード30～39 (16進数) を生成します。

符号付きゾーン10進数値の場合、右端（最下位）のゾーンニブルに符号桁が保持されます。これは、符号付きパック10進数値で使用される値のセットと同じです（上記参照）。したがって、16進バイト F1 F2 D3 としてエンコードされたゾーン10進数値は、符号付き10進数値 -123 を表します。

F1 F2 D31 2 −3

EBCDICゾーン10進数変換表

BCD桁16進数EBCDIC文字
0歳以上C0A0E0F0{ （*） \ （*）0
1歳以上C1A1E1F1あ～（*） 1
2歳以上C2A2E2F2BsS2
3歳以上C3A3E3F3CtT3
4歳以上C4A4E4F4Dあなたあなた4
5歳以上C5A5E5F5EvV5
6歳以上C6A6E6F6FわW6
7歳以上C7A7E7F7G×X7
8歳以上C8A8E8F8Hyはい8
9歳以上C9A9E9F9私zZ9
0−D0B0  } （*）^（*）  
1−D1B1  J   
2−D2B2  K   
3−D3B3  L   
4−D4B4  M   
5−D5B5  北   
6−D6B6  お   
7−D7B7  P   
8−D8B8  質問   
9−D9B9  R   

(*)注意: これらの文字は、ローカルの文字コード ページの設定によって異なります。

固定小数点ゾーン10進数

一部の言語 (COBOL や PL/I など) は、固定小数点ゾーン 10 進数値を直接サポートし、数値の小数点間のどこかに暗黙的な小数点を割り当てます。

たとえば、4 桁目の右側に暗黙の小数点がある 6 バイトの符号付きゾーン 10 進数値の場合、16 進バイト F1 F2 F7 F9 F5 C0 は値 +1,279.50 を表します。

F1 F2 F7 F9 F5 C01 2 7 9. 5 +0

BCDを使った操作

追加

最初に2進数で加算し、その後BCDに変換することで加算を行うことができます。2桁の単純な加算をBCDに変換するには、2桁の数字を加算した5ビットの結果が9より大きい場合、6（つまり16 - 10）を加算します。6を加算する理由は、4ビットBCDの値は16通り（2 4 = 16）ありますが、有効な値は10通り（0000から1001）しかないためです。例えば、

1001 + 1000 = 10001 9 + 8 = 17

10001は、求める結果の10進数ではなく2進数表現ですが、最上位の1（「キャリー」）は4ビットの2進数には収まりきりません。BCDでは、10進数と同様に、1桁あたり9（1001）を超える値は存在できません。これを修正するために、合計に6（0110）を加算し、結果を2ニブルとして扱います。

10001 + 0110 = 00010111 => 0001 0111 17 + 6 = 23 1 7

結果の2ニブル、0001と0111は、それぞれ数字「1」と「7」に対応します。BCDでは「17」となり、これが正しい結果です。

この手法は、右から左へグループごとに加算し、2桁目をキャリーとして伝播させ、各桁の5ビットの合計値を常に9と比較することで、複数の桁を加算する処理にも拡張できます。一部のCPUは、2進加算および減算演算後のBCD演算調整を容易にするために、ハーフキャリーフラグを提供しています。Intel 8080、Zilog Z80、およびx86ファミリーのCPUは、DAA（Decimal Adjust Accumulator）オペコードを提供しています。

減算

減算は、被減数に減数の10の補数を加算することで行われます。BCDでは、数値の符号を表すために、正の数を表すには0000を、負の数を表すには1001を使用します。残りの14通りの組み合わせは無効な符号です。符号付きBCD減算を説明するために、次の問題を考えてみましょう：357 − 432。

符号付きBCDでは、357は0000 0011 0101 0111となります。432の10の補数は、432の9の補数に1を加えることで得られます。つまり、999 - 432 = 567、567 + 1 = 568となります。BCDでは、568の前に負の符号コードを付けることで、-432を表すことができます。つまり、符号付きBCDでは-432は1001 0101 0110 1000となります。

両方の数値が符号付き BCD で表現されるようになったので、これらを加算することができます。

 0000 0011 0101 0111 0 3 5 7+ 1001 0101 0110 1000 9 5 6 8= 1001 1000 1011 1111 9 8 11 15

BCDは10進数表現の一種であるため、上記の数字の合計の中には無効なものがいくつかあります。無効なエントリ（BCDの数字が1001より大きい）が存在する場合、6が加算されてキャリービットが生成され、合計が有効なエントリになります。したがって、無効なエントリに6を加算すると、以下のようになります。

 1001 1000 1011 1111 9 8 11 15+ 0000 0000 0110 0110 0 0 6 6= 1001 1001 0010 0101 9 9 2 5

したがって、引き算の結果は1001 1001 0010 0101 (-925) です。結果を確認するために、最初の桁が9であることに注目してください。これは負の数を意味します。357 − 432 は負の数になるはずなので、これは正しいようです。残りのニブルはBCDなので、1001 0010 0101 は925です。925の10の補数は1000 − 925 = 75なので、計算結果は-75です。

加算するニブルの数が異なる場合（例えば1053 − 2）、10の補数を取るか減算する前に、桁数の少ない方の数値の前にゼロを付ける必要がある。したがって、1053 − 2の場合、まず2をBCDで0002と表現し、その10の補数を計算する必要がある。

コンピュータのBCD

IBM

IBMは、数字、大文字、特殊文字を表す6ビットの英数字コードに、 2進化10進コード（BCDIC、または単にBCDと呼ばれることもあります）という用語を使用していました。BCDIC英数字のバリエーションは、 IBM 1620（1959年発売）、IBM 1400シリーズ、およびIBM 700/7000シリーズの非10進アーキテクチャーモデルなど、初期のIBMコンピューターのほとんどで使用されています。

IBM 1400 シリーズは文字アドレス指定可能なマシンで、各位置はB、A、8、4、2、1とラベル付けされた 6 ビットと、奇数パリティ チェック ビット ( C ) およびワード マーク ビット ( M ) で構成されています。1から9までの数字をエンコードする場合、BとAはゼロで、ビット8から1は標準の 4 ビット BCD で表される数字の値です。 その他のほとんどの文字の場合、ビットBとAは、パンチカード文字コードの「12」、「11」、「0」の「ゾーン パンチ」から単純に導出され、ビット8から1は1から9 のパンチから導出されます。 「12 ゾーン」パンチはBとAの両方を設定し、「11 ゾーン」パンチはBを設定し、「0 ゾーン」（0 パンチと他のパンチの組み合わせ）はAを設定します。通貨記号$（パンチカードでは(11,8,3) ）は、メモリ上では(B,8,2,1)としてエンコードされます。これにより、パンチカード形式と内部記憶形式間の変換回路は、いくつかの特殊なケースを除いて非常にシンプルになります。重要な特殊なケースの一つは数字0で、カードでは0 が1つだけパンチされ、コアメモリでは(8,2)として表されます。 [43]

IBM 1620 のメモリは、通常の8、4、2、1に加え、フラグビットとして使用されるFと、奇数パリティチェックビットであるCで構成される、6 ビットのアドレス指定可能な数字で構成されています。BCD英数字は数字のペアを使用してエンコードされ、偶数アドレスの数字に「ゾーン」、奇数アドレスの数字に「数字」が配置されます。「ゾーン」は、1400 シリーズと同様に、12、11、0 の「ゾーンパンチ」に関連付けられています。入出力変換ハードウェアは、内部の数字ペアと外部の標準 6 ビット BCD コード間の変換を行います。

IBM 7070、IBM 7072、およびIBM 7074の 10進アーキテクチャでは、英数字は10桁のワードの数字ペア（ BCDではなく、5桁中2桁のコードを使用）を使用してエンコードされ、左の数字が「ゾーン」、右の数字が「数字」となります。入出力変換ハードウェアは、内部の数字ペアと外部の標準6ビットBCDコードの間で変換を行います。

System/360の導入により、IBMは6ビットBCD英数字を8ビットEBCDICに拡張し、より多くの文字（例：小文字）を追加できるようになりました。可変長パックBCD数値データ型も実装され、パック10進データに対して直接演算を実行する機械語命令が提供されています。

IBM 1130および1800では、パック BCD は IBM の Commercial Subroutine Package によってソフトウェアでサポートされています。

現在でも、BCDデータはIBM Db2などのIBMデータベースや、 z/Architecture、POWER6以降のPower ISAプロセッサなどのプロセッサで広く使用されています。これらの製品では、BCDは通常、ゾーンBCD（EBCDICまたはASCII）、パックBCD（1バイトあたり2桁の10進数）、または「純粋な」BCDエンコーディング（各バイトの下位4ビットに1桁の10進数をBCDとして格納）のいずれかです。これらはすべて、ハードウェアレジスタと処理ユニット、そしてソフトウェアで使用されます。

その他のコンピューター

デジタル・イクイップメント・コーポレーションのVAXシリーズには、パックBCDデータに対して直接演算を実行したり、パックBCDデータと他の整数表現との間で変換を実行したりできる命令が搭載されている。 [41] VAXのパックBCD形式は、IBM System/360およびそれ以降のIBM互換プロセッサの形式と互換性がある。MicroVAX以降のVAX実装では、この機能はCPUから削除されたが、不足している命令をオペレーティングシステム付属のソフトウェアライブラリに実装することで、以前のマシンとのコード互換性を維持した。このライブラリは、廃止された命令に遭遇すると例外処理によって自動的に呼び出されるため、それらを使用するプログラムは新しいマシンでも変更することなく実行できる。

多くのプロセッサは、 BCDエンコードされた整数演算をハードウェアでサポートしています。例えば、6502、[44] [45]、 Motorola 68000シリーズ、[46] 、 x86シリーズなどです。[47] Intel x86アーキテクチャは、独自の18桁（10バイト）BCD形式をサポートしており、浮動小数点レジスタへのロードとストアが可能で、そこから演算を実行できます。[48]

最近のコンピュータでは、このような機能は CPU の命令セットではなくソフトウェアで実装されることがほとんどですが、BCD 数値データは商用および金融アプリケーションでは依然として非常に一般的です。

パックBCDとゾーン10進数の加減算演算を、短いながらも理解しにくいワード並列ロジックと2進算術演算のシーケンスを使用して実装するためのトリックがあります。[49]たとえば、次のコード（Cで記述）は、32ビットの2進演算を使用して、符号なし8桁のパックBCD加算を計算します。

uint32_t BCDadd ( uint32_t a , uint32_t b ) { uint32_t t1 , t2 ; // 符号なし32ビットの中間値         t1 = a + 0x06666666 ; t2 = t1 ^ b ; // 桁上げの伝播なしの合計t1 = t1 + b ; // 暫定的な合計t2 = t1 ^ t2 ; // すべてのバイナリ桁上げビットt2 = ~ t2 & 0x11111110 ; // BCD桁上げビットのみt2 = ( t2 >> 2 ) | ( t2 >> 3 ); // 修正return t1 - t2 ; // 修正されたBCD合計}

電子機器におけるBCD

BCDは、数値を表示する電子システム、特にマイクロプロセッサを搭載せず、デジタルロジックのみで構成されたシステムで広く使用されています。BCDを採用することで、各桁を独立したサブ回路として扱うことができ、表示のための数値データの操作が大幅に簡素化されます。

これはディスプレイハードウェアの物理的な現実に非常に近いものです。例えば、設計者はメーター回路を構築するために、同一の7セグメントディスプレイを複数個並べて使用するという選択肢があります。もし数値を純粋な2進数で保存・操作するとしたら、そのようなディスプレイとのインターフェースには複雑な回路が必要になります。したがって、計算が比較的単純な場合、BCD方式で処理する方が、2進数との変換よりもシステム全体を簡素化できます。ほとんどのポケット電卓は、すべての計算をBCD方式で行っています。

この種のハードウェアが組み込みマイクロコントローラやその他の小型プロセッサを使用する場合にも、同様の議論が当てはまります。多くの場合、数値を内部的にBCD形式で表現すると、コードサイズが小さくなります。これは、このような限られたプロセッサでは、バイナリ表現との変換にコストがかかるためです。このようなアプリケーション向けに、一部の小型プロセッサには専用の算術モードが搭載されており、BCD値を操作するルーチンの作成に役立ちます。[50] [51]

純粋なバイナリとの比較

利点

デメリット

  • 実際のBCDの実装では、ネイティブBCD操作に対するプロセッサのサポートが限られているため、特に組み込みシステムでは、バイナリ表現の操作よりも遅くなるのが一般的です。[52]
  • 一部の演算は実装がより複雑です。加算器は、ラップして早期に桁上げを生成するための追加ロジックを必要とします。また、BCD加算では、純粋なバイナリと比較して15～20%多くの回路が必要になります。[要出典]乗算には、シフトマスク加算よりもやや複雑なアルゴリズム（バイナリ乗算、つまり桁ごとまたは桁グループごとのバイナリシフトと加算、あるいはそれに相当する処理が必要）を使用する必要があります。
  • 標準BCDでは1桁あたり4ビットが必要で、バイナリエンコードよりも約20%多くのスペースを必要とします（4ビットとlog 2 10ビットの比は1.204です）。3桁を10ビットでエンコードするようにパックすると、ストレージのオーバーヘッドは大幅に削減されますが、エンコードが既存のハードウェアで一般的に使用されている8ビットのバイト境界と整合しないため、これらのシステムでは実装速度が低下します。

表現のバリエーション

数値に他の表現を用いるBCD実装も数多く存在します。Texas Instruments、Hewlett-Packard、その他メーカーのプログラマブル計算機は、一般的に浮動小数点BCD形式を採用しており、指数部（10進数）は通常2桁または3桁です。符号桁の追加ビットは、無限大、アンダーフロー/オーバーフロー、エラー（点滅表示）などの特殊な数値を示すために使用される場合があります。

署名されたバリエーション

符号付き10進数値は複数の方法で表現できます。例えば、 COBOLプログラミング言語は5つのゾーン10進数形式をサポートしており、それぞれ異なる方法で数値の符号をエンコードします。

タイプ説明例
署名なし兆候なしF1 F2 F3
符号付き末尾（標準形式）最後の（最下位）バイトの符号ニブルF1 F2 C3
署名されたリーディング（オーバーパンチ）最初の（最上位）バイトの符号ニブルC1 F2 F3
末尾に別の符号付き数字バイトの後に続く別の符号文字バイト（'+'または）'−'F1 F2 F3 2B
署名された先頭の分離数字バイトの前にある別の符号文字バイト（'+'または）'−'2B F1 F2 F3

電話2進化10進数（TBCD）

3GPPはTBCD [ 53]を開発しました。これはBCDの拡張であり、残りの（未使用の）ビットの組み合わせを使用して特定の電話記号を追加します。 [54] [55]これは電話のキーパッド設計に似ています。

小数点
​		未定
8 4 2 1
*1 0 1 0
#1 0 1 1
1つの1 1 0 0
b1 1 0 1
c1 1 1 0
桁数が奇数の場合の穴埋めとして使用される1 1 1 1

前述の3GPPドキュメントでは、各バイトのニブルを入れ替えたTBCD-STRINGを定義しています。ビット、オクテット、数字は1から始まり、ビットは右から、数字とオクテットは左からインデックスされます。

オクテットnのビット8765は数字2nをエンコードする

オクテットnのビット4321は数字2( n -1)+1 をエンコードする

意味番号は1234、21 43TBCD では次のようになります。

このフォーマットは現代の携帯電話でダイヤル番号の送信に使用されているほか、オペレータID（MCC/MNCタプル）、IMEI、IMSI（SUPI）などにも使用されている。[56] [57]

代替エンコーディング

表示と計算における誤差がディスプレイへの変換速度よりも重要な場合は、スケーリングされた2進表現が使用される場合があります。これは、10進数を2進数でエンコードされた整数と、2進数でエンコードされた符号付き10進指数として格納します。例えば、0.2は2 × 10と表現できます。−1。

この表現は高速な乗算と除算を可能にしますが、加算と減算の際に小数点を揃えるために10の累乗でシフトする必要がある場合があります。この表現は、小数点以下の桁数が固定で、この調整を必要としないアプリケーション、特に小数点以下2桁または4桁で十分な金融アプリケーションに適しています。実際、基数点の位置が暗黙的に示されるため、これはほぼ固定小数点演算の一種と言えます。

ヘルツ符号化とチェン・ホー符号化は、 BCD符号化された3桁の数字のグループを10ビット値[注1]に変換するためのブール変換を提供します。これらの値は、わずか2～3ゲートの遅延でハードウェアで効率的に符号化できます。高密度パック10進数（DPD）は同様の方式[注1]であり、 IEEE 754-2008浮動小数点規格で規定されている2つの代替10進符号化方式の1つにおいて、先頭桁を除く仮数部の大部分に使用されます。

応用

多くのパーソナルコンピュータのBIOSは日付と時刻をBCD形式で保存します。これは、オリジナルのIBM PC ATマザーボードに搭載されていたMC6818リアルタイムクロックチップがBCD形式で時刻を提供していたためです。この形式はASCII形式に簡単に変換でき、表示に便利です。[58] [59]

Atari 8ビットコンピュータは、浮動小数点数にBCD形式を採用しています。MOS Technology 6502プロセッサは、加算命令と減算命令にBCDモードを備えています。Psion Organiser 1ハンドヘルドコンピュータのメーカー提供ソフトウェアも、浮動小数点数の実装にBCDを使用しています。ただし、Psionの後継モデルでは、2進数のみを採用しています。

PlayStation 3の初期モデルは、日付と時刻をBCD形式で保存していました。そのため、2010年3月1日に世界中で本体の故障が発生しました。BCD形式で保存されていた西暦の下2桁が誤って16と解釈され、本体の日付にエラーが発生し、ほとんどの機能が動作しなくなりました。これは「 2010年問題」と呼ばれています。

1972 年のゴットシャルク対ベンソン事件で、米国最高裁判所は、 BCD エンコードされた数値をコンピューター上で 2 進数に変換する特許を認めた下級裁判所の判決を覆しました。

この判決では、特許は「数式を完全に先取りするものとなり、実質的にはアルゴリズム自体の特許となる」と指摘されている。[60]これは、ソフトウェアとアルゴリズムの特許性を決定した画期的な判決であった。

参照

注記

  1. ^ abc 標準的なパックされた 4 ビット表現では、10 個のテトラドと 6 個の擬似テトラドを含む 16 個の状態 (各桁に 4 ビット) がありますが、ヘルツ、チェンホー、DPDエンコードなどのより高密度にパックされた方式では、その数は少なくなります (たとえば、 1024 個の状態 (3 桁に 10 ビット) のうち未使用の状態は24 個のみです)。
  2. ^ abcde 0～9の10進範囲外のコード状態（黒で表示）は、非BCDコードのバリエーションにおける追加の状態を示します。ここで説明するBCDコードのバリエーションでは、これらは擬似テトラードです。
  3. ^ エイケンコードは、2 4 2 1 コードの一つです。2* 4 2 1 コードとも呼ばれます。
  4. ^ 8 ジャンプ コードは非対称 2 4 2 1 コードとも呼ばれます。
  5. ^ ペザリックコードは、王立航空機協会(RAE) コードとも呼ばれます。
  6. ^ オブライエンコードタイプIは、ワッツコードまたはワッツ反射十進数（WRD）コードとも呼ばれます。
  7. ^ Excess -3 グレイ コードは、グレイ-スティビッツコードとも呼ばれます。
  8. ^ ab 同様に、ミニコンピュータでは複数の文字がマシンワードにパックされることがよくありました。IBM SQUOZEおよびDEC RADIX 50を参照してください。
  9. ^ 古いマシンの場合は 6 ビット。
  10. ^ 古いマシンの場合は 2 つ。
  11. ^ C0 16および D0 16に表示されている値は、コード ページ 037 のものです。

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さらに読む

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  • BCDを10進数、2進数、16進数に変換します。
  • Java 用の BCD
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