ブレード要素理論

ブレード要素理論（BET）は、ウィリアム・フルード（1878年）、^[1]、デイヴィッド・W・テイラー（1893年）およびステファン・ドゥジェヴィエツキ（1885年）によってプロペラの挙動を決定するために考案された数学的プロセスです。これは、ブレードをいくつかの小さな部分に分解し、これらの小さなブレード要素それぞれにかかる力を決定することを含みます。次に、これらの力をブレード全体とローターの1回転にわたって積分し、プロペラ全体またはローターによって生成される力とモーメントを取得します。主な困難の1つは、ローターディスク上の誘導速度をモデル化することです。このため、ブレード要素理論は、ローターディスク上の誘導速度を記述するために必要な追加の関係を提供するために、運動量理論と組み合わされることが多く、ブレード要素運動量理論が生成されます。最も基本的な近似レベルでは、ディスク上の均一な誘導速度が仮定されます。

v_{i}={\sqrt {{\frac {T}{A}}\cdot {\frac {1}{2\rho }}}}.

あるいは、半径に沿った誘導速度の変化は、ブレードを小さな環状領域に分割し、各環状領域に質量、運動量、エネルギーの保存則を適用することでモデル化できる。このアプローチは、フルード・フィンスターワルダー方程式と呼ばれることもある。

前進飛行中のヘリコプターローターにブレード要素法を適用する場合、ブレードのフラッピング運動に加え、ローターディスク上の誘導速度の縦方向および横方向の分布を考慮する必要があります。最も単純な前進飛行流入モデルは、第一調和モデルです。

シンプルなブレード要素理論

運動量理論は理想的な効率を決定するのに有用であるが、スクリュープロペラの作用については非常に不完全な説明しか与えず、とりわけトルクを無視している。プロペラの作用をより詳細に調査するために、ブレードは多数の小さな要素で構成されていると考えられ、各要素に働く空気力が計算される。したがって、運動量理論が空気の流れを扱うのに対し、ブレード要素理論は主にプロペラブレードに働く力を取り扱う。プロペラブレードの基本ストリップに働く力を分析するというアイデアは、1878 年にウィリアムフルードによって初めて発表された^{。[1]これはまた、}ドゥジェヴィエツキによっても独自に研究され、 7 年後の 1885 年にロシアで出版された機械飛行に関する本の中で紹介された。 ^[2]また、1907 年にランチェスターが、この主題に関する先行研究を知らないまま、いくぶん進化したブレード要素理論を発表した。しかしながら、この単純なブレード要素理論は、ドゥジェヴィエツキ理論と呼ばれることが多い。なぜなら、ドゥジェヴィエツキはそれを実用化し、広く普及させたからである。また、彼はブレード要素にかかる力を合計してプロペラ全体の推力とトルクを求めた最初の人物であり、翼型データを用いてブレード要素にかかる力を求めるというアイデアを初めて提唱した人物でもある。

ドゥジェヴィエツキ翼要素理論では、プロペラは反り返った、あるいはねじれた翼型とみなされ、翼の各セグメントは螺旋状の軌跡を描き、通常の翼のセグメントとして扱われる。この単純な理論では、模型翼の風洞試験（通常はアスペクト比6で試験）から得られる翼係数が、同じ断面形状のプロペラ翼要素に直接適用されると通常想定されている。^[3]

各要素周囲の空気の流れは2次元的であるとみなされ、したがってブレードの隣接部分の影響を受けない。任意の半径におけるブレード要素の隣接要素に対する独立性は理論的に確立されており^{[4] 、また、この目的のために行われた特別な実験}^[5]によって、ブレードの作動部において実質的に成り立つことが実証されている。また、空気はプロペラを通過する際に半径方向の流れを持たず（すなわち、プロペラディスクを通過する際に後流が収縮しない）、ブレード干渉も発生しないと仮定する。

ブレード要素にかかる空気力

図 1 に示すように、半径 rに位置し、長さdrが無限小で幅bが小さい要素を考えます。飛行中の航空機プロペラにおける要素の運動は、航空機の前進速度Vとプロペラディスク面における要素の接線速度 2πrn によって決まる螺旋状の軌跡を描きます。ここで、 n は単位時間あたりの回転数を表します。空気に対する要素の速度Vrは、図 2 に示すように、前進速度と接線速度の合成値になります。要素の運動方向と回転面の間の角度をΦ、ブレード角度をβ とします。空気に対する要素の迎え角 α はとなります。 $\alpha =\beta -\phi$

通常の翼係数を適用すると、要素にかかる揚力は次のようになります。

dL={\frac {1}{2}}V_{r}^{2}\rho C_{L}b\,dr.

γ を揚力成分と合力（または）の間の角度とします。このとき、要素にかかる合力は次のように表されます。 ${\textstyle \gamma =\arctan {\frac {D}{L}}}$ $dR={\frac {{\frac {1}{2}}V_{r}^{2}C_{L}b\,dr}{\cos \gamma }}.$

要素の推力は、プロペラ軸方向の合力の成分である（図2）。 ${\begin{aligned}dT&=dR\cos(\phi +\gamma )\\&={\frac {{\frac {1}{2}}V_{r}^{2}C_{L}b\cos(\phi +\gamma )}{\cos \gamma }}dr,\end{aligned}}$ ${\textstyle V_{r}={\frac {V}{\sin \phi }}}$ $dT={\frac {{\frac {1}{2}}V^{2}C_{L}b\cos(\phi +\gamma )}{\sin ^{2}\phi \cos \gamma }}dr.$

便宜上、 $K={\frac {C_{L}b}{\sin ^{2}\phi \cos \gamma }}$ $T_{c}=K\cos(\phi +\gamma ).$

そして、プロペラ（Bブレード）の合計推力は次のようになります。 $dT={\frac {1}{2}}\rho V^{2}T_{c}\,dr,$ $T={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}T_{c}\,dr.$

図2をもう一度参照すると、接線力またはトルク力は

dF=dR\sin(\phi +\gamma ),

そして要素にかかるトルクは

dQ=r\,dR\,\sin(\phi +\gamma ),

であれば、次のように書くことができる。 ${\textstyle Q_{c}=Kr\sin(\phi +\gamma )}$

dQ={\frac {1}{2}}\rho V^{2}Q_{c}dr.

したがって、プロペラ全体のトルクの式は次のようになる。

Q={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}Q_{c}dr.

プロペラが吸収する馬力、つまりトルク馬力は

QHP={\frac {2\pi nQ}{550}}

そして効率は

\eta ={\frac {THP}{QHP}}={\frac {TV}{2\pi nQ}}.

効率

ブレードの幅、角度、翼断面形状はブレードに沿って変化するため、一般的にプロペラの推力、トルク、効率を表す単純な式を得ることはできません。しかし、先端半径の約3分の2または4分の3に位置する単一の要素は、プロペラ全体をほぼ代表するため、単一の要素の効率を表す式を検討することは興味深いものです。要素の効率とは、有効出力と吸収出力の比、つまり

{\begin{aligned}\eta &={\frac {dTV}{dQ2\pi n}}\\&={\frac {dR\cos(\phi +\gamma )V}{dR\sin(\phi +\gamma )2\pi nr}}\\&={\frac {\tan \phi }{\tan(\phi +\gamma )}}.\end{aligned}}

ここで、tanΦは順方向速度と接線方向速度の比であり、です。したがって、単純な翼要素理論によれば、プロペラ要素の効率は、順方向速度と接線方向速度の比と、翼断面ののみに依存します。 ${\textstyle \tan \gamma ={\frac {D}{L}}}$ ${\textstyle {\frac {D}{L}}}$

Φの値は、効率をΦに関して微分し、その結果をゼロとすることで求められ、要素の最大効率を与える。

$\phi =45^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}$

γの2つの極端な値について、 Φに対する効率の変化を図3に示します。効率はで最大に上昇し、で再びゼロに低下します。αが28.6の場合、単純な理論によれば要素の最大効率は0.932ですが、αが9.5の場合はわずか0.812です。ほとんどのプロペラの最も重要な要素が機能するΦの値（10°から15°）では、効率への影響はさらに大きくなります。10°から15°の範囲内では、図3の曲線は、翼断面のαと角度Φ（または1回転あたりの前進、ひいてはピッチ）の両方を可能な限り高くすることが有利であることを示しています ${\textstyle 45^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}}$ ${\textstyle 90^{\circ }-\gamma }$ ${\textstyle {\frac {L}{D}}}$ ${\textstyle {\frac {L}{D}}}$ ${\textstyle {\frac {L}{D}}}$ ${\textstyle {\frac {L}{D}}}$

制限

運動量理論によれば、プロペラを通過する空気には速度が与えられ、この速度の半分はプロペラ面に到達するまでに空気に与えられます。プロペラディスクに入るときの空気の速度の増加は流入速度と呼ばれます。これは、流体に圧力不連続がある場所で常に見られます。図4に示すように、水平方向に移動する翼の場合、空気には下向きの速度が与えられ、理論的にはこの速度の半分は翼の前方と上方に、残りの半分は下方と後方に与えられます

この誘導下降流は、翼要素理論で使用される翼係数を得るための模型翼試験に存在するため、運動量理論によって示される流入量は、単純な翼要素理論において自動的に考慮される。しかし、誘導下降流はアスペクト比によって大きく異なり、無限アスペクト比ではゼロとなる。ほとんどの模型翼試験は、任意に選ばれたアスペクト比6の長方形翼を用いて行われ、そのような試験における下降流がプロペラ翼の各要素への流入量に対応すると考える理由はない。実際、風洞内で動作する模型プロペラの12セクションにわたって圧力分布を測定した徹底的な一連の試験^{[6]から得られた一般的な結論は、プロペラ翼要素の}揚力係数は、アスペクト比6の翼において同じ迎え角で測定された揚力係数とはかなり異なるということである。これは単純な翼要素理論の最大の弱点の一つである。

もう一つの弱点は、プロペラブレード間の干渉が考慮されていないことです。図5に示すように、特定の半径におけるブレード要素は、負のスタッガーを持つ多面翼に似たカスケードを形成します。隙間が大きい先端付近では干渉は非常に小さいですが、ブレード根元に向かうにつれて干渉は非常に大きくなります。

実際のプロペラでは、翼要素理論では考慮されていない先端損失が存在する。そのため、理論によって計算される推力とトルクは、先端近傍の要素では実験で得られる値よりも大きくなる。^[7]

スケール効果を排除するために、モデル翼の風洞テストは、プロペラブレードの対応する要素と同じレイノルズ数の値（スケール）で実行する必要があります。たとえば、翼弦長 3 インチの翼で風速 30 mph のような低いスケールで測定された翼型特性は、プロペラ要素のスケールでテストを実行した場合には見られない特異性を示します。図 11、12、13、および 14 に示す標準的なプロペラ断面特性は、 NACAの可変密度風洞での高レイノルズ数テストから得られたもので、幸いなことに、これらの断面のうち最も厚い部分を除いて、高レイノルズ数と低レイノルズ数で特性にほとんど差はありません。これらの値は、空気中の音速をはるかに下回る先端速度で動作するプロペラのスケールに関して妥当な精度で使用でき、そのため圧縮性の影響は比較的受けません。

単純な翼要素理論の精度の低さは、デュランドとレスリーによる報告書^[8]で非常によく示されています。彼らは、多数の模型プロペラ（80）の性能を計算し、その計算値を模型プロペラ自体の試験から得られた実際の性能と比較しています。著者らは次のように述べています。

2 つの結果セット間の相違は、一定の一貫性の要素を示しているものの、全体としては大きすぎ、気まぐれに分布しているため、概算または比較目的以外でこの最も単純な形式の理論を使用することは正当化されません。

翼型は 2 つの異なる風洞で、またそのうちの 1 つの風洞で 2 つの異なる空気速度でテストされましたが、3 セットの翼型データから計算されたプロペラの特性は最大 28% 異なり、翼型テストを正しいスケールで行う必要があることが非常に強く示されています。

単純な翼要素理論は、その不正確さにもかかわらず、経験豊富なプロペラ設計者にとって有用なツールとなってきました。適切な経験的要素に関する知識を持つ熟練した設計者は、この理論を用いて、エンジン出力をほぼ適正回転数で吸収するという点で、通常、課せられる主要な条件にかなり適合するプロペラを設計することができます。しかしながら、これらのプロペラは必ずしもその目的に最も効率的なプロペラであるとは限りません。なぜなら、この単純な理論は、ピッチ分布や平面形状などの変化による効率のわずかな違いを示すほど正確ではないからです。

例

解析するプロペラを選択する際には、計算結果の精度を確認できるように、その空力特性を把握しておくことが望ましい。また、圧縮性の影響を受けないように、比較的低い先端速度で動作するプロペラと、物体の干渉を受けずに動作するプロペラについて解析を行うことが望ましい。これらの条件をすべて満たすプロペラ試験は、風洞内での模型プロペラの試験のみである。したがって、例として、スタンフォード大学のWF Durand博士によって試験された、海軍標準形状の模型木製プロペラシリーズの中央またはマスタープロペラを取り上げます。^[9]これは、直径3フィートの2枚羽根プロペラで、均一な幾何学的ピッチは2.1フィート（ピッチ直径比0.7）ですブレードはRAF-6翼型（図6）に基づく標準的なプロペラ断面を持ち、ブレードの幅、厚さ、角度は表Iの最初の部分に示されているとおりです。この解析では、プロペラが時速40マイルの速度で前進し、1,800rpmで回転すると仮定します。

先端半径の 75% のセクションでは、半径は 1.125 フィート、ブレード幅は 0.198 フィート、厚さ比は 0.107、下部キャンバーはゼロ、ブレード角度βは 16.6 度です。

前進速度 ${\begin{aligned}V&=40\ \mathrm {m.p.h.} \\&={\frac {40\times 88}{60}}\\&=58.65\ {\text{ft./sec.}},\end{aligned}}$

そして ${\begin{aligned}n&={\frac {1800}{60}}\\&=30\ {\text{r.p.s.}}\end{aligned}}$

経路角

{\begin{aligned}\phi &=\arctan {\frac {V}{2\pi rn}}\\&=\arctan {\frac {58.65}{2\pi \times 1.125\times 30}}\\&=15.5^{\circ }\end{aligned}}

したがって、迎え角は

{\begin{aligned}\alpha &=\beta -\phi \\&=16.6^{\circ }-15.5^{\circ }\\&=1.1^{\circ }\\\end{aligned}}

図7から、板厚比0.107の平面断面で迎え角1.1°の場合、γ = 3.0°となり、図9からCL = 0.425となります。（キャンバーが低い断面の場合、_CLは図8に示されている関係に従って修正する必要があり、γは_上部キャンバーのみを持つ平面断面の場合と同じ値になります。）

そして

{\begin{aligned}K&={\frac {C_{L}b}{\sin ^{2}\phi \cos \gamma }}\\&={\frac {0.425\times 0.198}{0.2672^{2}\times 0.999}}\\&=1.180,\end{aligned}}

そして

{\begin{aligned}T_{C}&=K\cos(\phi +\gamma )\\&=1.180\times \cos 18.5^{\circ }\\&=1.119.\\\end{aligned}}

また、

{\begin{aligned}Q_{C}&=Kr\sin(\phi +\gamma )\\&=1.180\times 1.125\times \sin 18.5^{\circ }\\&=1.421.\end{aligned}}

プロペラの代表的な6つの要素のT _cとQ _cの計算値は、表Iに便利な表形式で示されており、 T _cとQ _cの値は図9に半径に対してプロットされています。これらの点を通る曲線は、トルクグレーディング曲線と呼ばれることもあります。曲線の下の面積は、前進速度による動圧単位あたりのブレードあたりの総推力とトルクを表しています。面積は、もちろん値のスケールを適切に考慮した上で、プラニメーターを使用して求めることができます。また、シンプソンの法則を使用して近似的に（ただし十分な精度で）積分を行うこともできます $\int _{0}^{R}T_{c}dr$ $\int _{0}^{R}Q_{c}dr,$

シンプソンの法則を用いる場合、半径は10などの偶数個の均等な部分に分割されます。各分割点の縦座標は、段階曲線から求めることができます。元のブレード要素がブレードを偶数個の均等な部分に分割している場合は、段階曲線をプロットする必要はありませんが、この曲線はブレードに沿った推力とトルクの分布を視覚的に示すという点で便利です。また、計算結果の検証にも役立ちます。なぜなら、誤った点は通常、正しい曲線を形成しないからです。

表I. — 単純なブレード要素理論によるプロペラ解析の計算
D = 3.0 フィート。 p = 2.1 フィート。	前進速度 = 40 mph = 58.65 フィート/秒。回転速度 = 1,800 rpm = 30 rps
$r / R$	0.15	0.30	0.45	0.60	0.75	0.90
r (フィート)	0.225	0.450	0.675	0.900	1.125	1.350
b（フィート）	0.225	0.236	0.250	0.236	0.198	0.135
h _v /b	0.190	0.200	0.167	0.133	0.107	0.090
h _l /b	0.180	0.058	0.007	000	000	000
$β$ （度）	56.1	36.6	26.4	20.4	16.6	13.9
$2πrn$	42.3	84.7	127.1	169.6	212.0	254.0
${\textstyle \tan \phi ={\frac {V}{2\pi rn}}}$	1.389	0.693	0.461	0.346	0.277	0.231
$Φ$ (度)	54.2	34.7	24.7	19.1	15.5	13.0
$\alpha =\beta -\phi \ \mathrm {(deg.)}$	1.9	1.9	1.7	1.3	1.1	0.9
$γ$ （度）	3.9	4.1	3.6	3.3	3.0	3.0
$\cos \gamma$	0.998	0.997	0.998	0.998	0.999	0.999
CL	0.084	0.445	0.588	0.514	0.425	0.356
$sinΦ$	0.8111	0.5693	0.4179	0.3272	0.2672	0.2250
${\textstyle K={\frac {C_{L}b}{\cos \gamma \sin ^{2}\phi }}}$	0.0288	0.325	0.843	1.135	1.180	0.949
$Φ+ γ$ (度)	58.1	38.8	28.3	22.4	18.5	16.0
$cos(γ +Φ)$	0.5280	0.7793	0.8805	0.9245	0.9483	0.9613
${\textstyle T_{c}=K\cos(\gamma +\phi )}$	0.0152	0.253	0.742	1.050	1.119	0.912
$sin(γ +Φ)$	0.8490	0.6266	0.4741	0.3811	0.3173	0.2756
${\textstyle Q_{c}=Kr\sin(\gamma +\phi )}$	0.0055	0.0916	0.270	0.389	0.421	0.353

横軸をr、縦軸を各区分におけるy ₁、y ₂、…、y ₁₁とすると、シンプソンの定理によれば、10等分した面積は $\int _{0}^{R}F(r)\,dr={\frac {\Delta r}{3}}[y_{1}+2(y_{3}+y_{5}+y_{7}+y_{9})+4(y_{2}+y_{4}+y_{6}+y_{8}+y_{10})+y_{11}].$

したがって、この例の推力勾配曲線の下の面積は

{\begin{aligned}\int _{0}^{R}T_{c}dr&={\frac {0.15}{3}}[0+2(0.038+0.600+1.050+1.091)+4(0+0.253+0.863+1.120+0912)+0]\\&=0.9075,\end{aligned}}

同様に $\int _{0}^{R}Q_{c}\,dr=0.340.$

上記の積分もプラニメータによって行われ、5 回の試行の平均結果は、シンプソンの法則によって得られた結果と 0.4 パーセント以内で一致しています。

標準空気中のプロペラの推力は

{\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}T_{c}dr\\&={\frac {1}{2}}\times 0.002378\times 58.65^{2}\times 2\times 0.9075\\&=7.42\ \mathrm {lb.} ,\end{aligned}}

そしてトルクは

{\begin{aligned}Q&={\frac {1}{2}}\rho V^{2}B\int _{0}^{R}Q_{c}dr\\&={\frac {1}{2}}\times 0.002378\times 58.65^{2}\times 2\times 0.340\\&=2.78\ \mathrm {lb.ft.} \end{aligned}}

プロペラが吸収する動力は

{\begin{aligned}P&=2\pi nQ\\&=2\times \pi \times 30\times 2.78\\&=524\ \mathrm {ft.lb./\ sec} .\end{aligned}}

または

{\begin{aligned}HP&={\frac {524}{550}}\\&=0.953,\end{aligned}}

そして効率は

{\begin{aligned}\eta &={\frac {TV}{2\pi nQ}}\\&={\frac {7.42\times 58.65}{524}}\\&=0.830.\end{aligned}}

上記で計算された性能は、風洞で測定された性能と以下のように比較されます

	計算値	模型試験
吸収動力、馬力	0.953	1.073
推力（ポンド）	7.42	7.77
効率	0.830	0.771

この場合、単純な翼要素理論で計算された出力は11%以上低く、推力は約5%低く、効率は約8%高くなっています。もちろん、別の風洞で同じシリーズの翼型を用いて行われた試験で得られたプロペラ断面特性を用いていれば、異なる計算結果が得られたでしょう。しかし、可変密度風洞試験はおそらく最も信頼性が高いと言えるでしょう。

計算値と観測値の食い違いについては、模型プロペラの圧力分布試験を再度参照することで、いくらか解明できるかもしれない。^[6]これらの試験では、プロペラが風洞内で回転している間にプロペラブレードの複数のセクションにわたる圧力分布が測定され、対応する翼型に対して以下の3つの試験が行われた。

アスペクト比6の翼に対する標準力テスト。
アスペクト比6の上記翼の中央部における圧力分布のテスト。
プロペラの 1 枚のブレードの形状でねじれのない特殊な翼上の圧力分布をテストします。圧力はプロペラブレードと同じセクションで測定されます。

これら3組の翼型試験の結果は、先端半径の4分の3の断面について、報告書から引用した図10に示されている。アスペクト比6の翼型の中央断面と特殊プロペラブレード翼型の対応する断面では、合力係数C _Rが非常によく一致していることがわかるが、アスペクト比6の翼型全体の合力係数は大幅に低い。したがって、アスペクト比6の翼型特性に基づいて計算されたプロペラの推力と出力が低すぎるのは当然である。

修正

単純な翼要素理論をより完全なものにし、精度を向上させるために、多くの修正が提案されてきました。これらの修正された理論のほとんどは、翼の干渉を考慮に入れようとしており、中には6のような有限のアスペクト比を持つ翼の試験から得られた翼型データを使用することによる不正確さを排除しようとするものもあります。最初に行われた修正は、単純なドゥジェヴィエツキ理論とフルードの運動量理論を組み合わせるという性質のものでした

図

RAF-6無限アスペクト比に基づく標準プロペラ断面
図11
図12
図13
図14

帰属

この記事には、パブリックドメインである以下の文献からのテキストが含まれています： Weick, Fred Ernest (1899). Aircraft propeller design . New York, McGraw-Hill Book Company, inc

参照

外部リンク

プロペラのブレード要素解析
Aerospaceweb.orgのヘリコプター理論 - 前進飛行におけるブレード要素理論
ブレード要素理論
シュテファン・ドジェヴィエツキ 1903
QBlade：HFI TUベルリンのオープンソースブレード要素法ソフトウェア
NASA-TM-102219: 回転翼航空機の飛行力学と制御アプリケーションのための非均一流入モデルの調査、ロバート・チェン、NASA

参考文献

^ ab ウィリアム・フルード（1878年4月11日）「ピッチ、スリップ、および推進効率の基本関係」海軍建築家協会19:47 – Hathi Trust経由
^ 英語圏では一般的に知られていないこの事実は、ミシガン大学のFW・パウロフスキー教授によって著者の注意を引いた。ドゥジェヴィエツキの理論に関する最初のフランス語論文は1892年に発表された。彼は、1900年7月15日に開催されたアカデミー科学、海事技術協会、そして国際建築・建設船会議で発表された航空機推進に関する7本の論文すべてにこの論文を執筆した。彼は最終的に、自身の研究成果を総括した著書『推進力の一般理論』を執筆し、1920年にパリのゴーティエ＝ヴィラール社から出版した。
^ Drzewiecki は、翼型特性は特殊モデルのプロペラのテストから得られると示唆した。
^ Glauert, H (1926).翼型とスクリュー理論. ケンブリッジ大学出版局.
^ CNH, Lock; Bateman, H.; Townend, HCH (1924).エアスクリューブレードの要素の独立性を検証する実験. British R. and M. 953.
^ ab Fage, A.; Howard, RG (1921). 「エアスクリューブレードの全表面および適切な形状の翼面上の圧力分布に関する実験的調査から得られたデータに基づくエアスクリュー理論の考察」 British R. and M. 681.
^ 渦理論と全頭測定によるエアスクリューファミリーの分析、CNH Lock、H. Bateman 著、British R. and M. 892、1923 年。
^ モデルプロペラテストと翼理論の比較、William F. Durand および EP Lesley 著、NACA .TR 196、1924 年。
^ Durand, WF (1926).海軍型モデルプロペラ13種の試験. NACA.TR237. プロペラモデルC.

[:1-1] ウィリアム・フルード（1878年4月11日）「ピッチ、スリップ、および推進効率の基本関係」海軍建築家協会19:47 – Hathi Trust経由

[2] 英語圏では一般的に知られていないこの事実は、ミシガン大学のFW・パウロフスキー教授によって著者の注意を引いた。ドゥジェヴィエツキの理論に関する最初のフランス語論文は1892年に発表された。彼は、1900年7月15日に開催されたアカデミー科学、海事技術協会、そして国際建築・建設船会議で発表された航空機推進に関する7本の論文すべてにこの論文を執筆した。彼は最終的に、自身の研究成果を総括した著書『推進力の一般理論』を執筆し、1920年にパリのゴーティエ＝ヴィラール社から出版した。

[3] Drzewiecki は、翼型特性は特殊モデルのプロペラのテストから得られると示唆した。

[4] Glauert, H (1926).翼型とスクリュー理論. ケンブリッジ大学出版局.

[5] CNH, Lock; Bateman, H.; Townend, HCH (1924).エアスクリューブレードの要素の独立性を検証する実験. British R. and M. 953.

[:0-6] Fage, A.; Howard, RG (1921). 「エアスクリューブレードの全表面および適切な形状の翼面上の圧力分布に関する実験的調査から得られたデータに基づくエアスクリュー理論の考察」 British R. and M. 681.

[7] 渦理論と全頭測定によるエアスクリューファミリーの分析、CNH Lock、H. Bateman 著、British R. and M. 892、1923 年。

[8] モデルプロペラテストと翼理論の比較、William F. Durand および EP Lesley 著、NACA .TR 196、1924 年。

[9] Durand, WF (1926).海軍型モデルプロペラ13種の試験. NACA.TR237. プロペラモデルC.