レイオの番号

ラヨ数は、メキシコの哲学教授アグスティン・ラヨにちなんで名付けられた大きな数です。これは、名前の付いた数の中で最大であると主張されています。^{[ 1 ] [ 2 ]} 2007年1月26日にマサチューセッツ工科大学で開催された「大きな数対決」で最初に定義されました。^{[ 3 ] [ 4 ]}

意味

レイヨ数の定義は次の定義のバリエーションである: ^{[ 5 ]}

言語が 1グーゴル記号以下しか使用しない一階集合論の任意の言語の式によって命名される任意の有限数よりも大きい最小の数。

具体的には、後に明確化された定義の初期バージョンは、「1グーゴル（10^100個のシンボル」。 ^{[ 4 ]}

数の正式な定義は、次の2階式に従って述語を定義する。ここで、はゲーデルコード化された式であり、は変数割り当てである。^{[ 5 ]} ${\displaystyle {\mbox{Sat}}}$ ${\displaystyle [\phi ]}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Sat}}([\phi ],s):=&{\mbox{For all }}R\ \{\\&\{{\mbox{for any (coded) formula }}[\psi ]{\mbox{ and any variable assignment }}t\\&(R([\psi ],t)\leftrightarrow \\&(([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}\in x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})\in t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}=x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})=t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\neg \theta ){\mbox{''}}\land \neg R([\theta ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\theta \land \xi ){\mbox{''}}\land R([\theta ],t)\land R([\xi ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}\exists x_{i}\ (\theta ){\mbox{'' and, for some an }}x_{i}{\mbox{-variant }}t'{\mbox{ of }}t,R([\theta ],t'))\\&)\}\rightarrow \\&R([\phi ],s)\}\end{aligned}}}$

この式を用いると、レイオ数は次のように定義される。^{[ 5 ]}

次の特性を持つ、あらゆる有限数よりも大きい最小の数値:第一階集合論の言語( の定義で示されているように)には、 グーゴル未満の記号と を唯一の自由変数として持つ式が存在し、(a) となるようなへの変数割り当てが存在し、(b) 任意の変数割り当て に対して、 であればを に割り当てます。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (x_{1})}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],s)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{1}}$

説明

直感的に、レイヨ数は次のように形式言語で定義されます。

• ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$およびは原子式です。 ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$
• が式である場合、 は式 (の否定) になります。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\neg \theta )}$ ${\displaystyle \theta }$
• と が式である場合、 は式です (との論理積)。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (\theta \land \xi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$
• が式であれば、 は式です (存在量化)。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \exists x_{i}(\theta )}$

括弧を省略することはできないことに注意してください。例えば、の代わりに と書く必要があります。 ${\displaystyle \exists x_{i}((\neg \theta ))}$ ${\displaystyle \exists x_{i}(\neg \theta )}$

この言語では、欠けている論理接続詞を表現することが可能です。例えば：

• 選言：として。 ${\displaystyle (\theta \lor \xi )}$ ${\displaystyle (\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi )))}$
• 含意:として。 ${\displaystyle (\theta \Rightarrow \xi )}$ ${\displaystyle (\neg (\theta \land (\neg \xi )))}$
• 双条件:として。 ${\displaystyle (\theta \Leftrightarrow \xi )}$ ${\displaystyle (\neg ((\neg (\theta \land \xi ))\land (\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi )))))}$
• 全称量化:として。 ${\displaystyle \forall x_{i}(\theta )}$ ${\displaystyle (\neg \exists x_{i}((\neg \theta )))}$

この定義は、この言語において自由変数 を1 つだけ持つ式、具体的にはに関するものです。長さ を持つ式がを満たす場合、かつが有限フォン・ノイマン順序数と等しい場合、そのような式は に対する「Rayo 文字列」であり、これはシンボルにおいて「Rayo 名付け可能」です。そして、 は最大 シンボルにおいて Rayo 名付け可能なすべての数より大きい最小のものとして定義されます。 ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mbox{Rayo}}(10^{100})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (10^{100})}$

参考文献

1. 「CH. Rayo's Number」 . The Math Factor Podcast . 2014年3月24日閲覧。
2. Kerr, Josh (2013年12月7日). “Name the biggest number contest” . 2016年3月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年3月27日閲覧。
3. エルガ、アダム. 「Large Number Championship」（PDF） . 2019年7月14日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2014年3月24日閲覧。
4. Manzari, Mandana; Nick Semenkovich (2007年1月31日). 「Profs Duke It Out in Big Number Duel」 . The Tech . 2008年9月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2014年3月24日閲覧。
5. Rayo, Agustín. 「Big Number Duel」 . 2014年3月24日閲覧。

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