BL（ロジック）

数理論理学において、連続t-ノルムの論理である基本ファジィ論理（または略してBL ）は、 t-ノルムファジィ論理の一つである。これは、より広義のサブ構造論理、あるいは残余格子の論理に属し、^[1]すべての左連続t-ノルムの論理MTLを拡張する。

構文

言語

命題論理BLの言語は、可算個の命題変数と以下の基本論理接続詞から構成されます。

• 含意 （バイナリ） ${\displaystyle \rightarrow }$
• 強結合 （二項）。ファジィ論理の文献では、記号&は強結合を表すより伝統的な表記法であるが、表記法は部分構造論理の伝統に従っている。 ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$
• Bottom (ヌル引数-命題定数)、またはは共通代替記号であり、ゼロは命題定数の共通代替名です (サブ構造論理の定数 bottom と zero は MTL で一致するため)。 ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {0}}}$

最も一般的に定義されている論理接続詞は次のとおりです。

• 弱連言 （二項）。格子連言とも呼ばれる（代数的意味論において、 meetの格子演算によって常に実現されるため）。MTLやより弱い部分構造論理とは異なり、BL では弱連言は次のように定義できる。 ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle A\wedge B\equiv A\otimes (A\rightarrow B)}$

• 否定 （単項）は次のように定義される ${\displaystyle \neg }$

${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$

• 等価性 （バイナリ）は次のように定義される ${\displaystyle \leftrightarrow }$

${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$

MTLと同様に、定義は次のようになります。 ${\displaystyle (A\rightarrow B)\otimes (B\rightarrow A).}$

• （弱い）論理和 （二項）は、格子論理和とも呼ばれ（代数的意味論において常に結合の格子演算によって実現されるため）、次のように定義される。 ${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

• トップ （ゼロ）は、1とも呼ばれ、または（MTLでは部分構造論理の定数トップとゼロが一致するため）で表され、次のように定義されます。 ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\overline {1}}}$

${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot }$

BLの整形式論理式は、命題論理で通常通り定義されます。括弧を節約するために、以下の優先順位を用いるのが一般的です。

• 単項接続詞（最も密接に結合する）
• 含意と同値以外の二項接続詞
• 含意と同等性（最も緩く結びつく）

公理

BLに対するヒルベルト型の演繹体系は、ペトル・ハジェク（1998）によって導入された。その導出規則は、モーダス・ポネンス（modus ponens）のみである。

から派生する ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle B.}$

その公理スキーマは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {(BL1)}}\colon &(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\{\rm {(BL2)}}\colon &A\otimes B\rightarrow A\\{\rm {(BL3)}}\colon &A\otimes B\rightarrow B\otimes A\\{\rm {(BL4)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow B\otimes (B\rightarrow A)\\{\rm {(BL5a)}}\colon &(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow (A\otimes B\rightarrow C)\\{\rm {(BL5b)}}\colon &(A\otimes B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))\\{\rm {(BL6)}}\colon &((A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(BL7)}}\colon &\bot \rightarrow A\end{array}}}$

元の公理体系の公理(BL2)と公理(BL3)は冗長であることが示されました(Chvalovský, 2012)および(Cintula, 2005)。その他の公理はすべて独立であることが示されました(Chvalovský, 2012)。

セマンティクス

他の命題t-ノルムファジー論理と同様に、 BLでは代数的意味論が主に使用され、論理が完全である代数には主に3つのクラスがあります。

• 一般意味論は、すべてのBL代数、つまり論理が健全なすべての代数から構成される。
• 線形意味論は、すべての線形BL代数、つまり格子順序が線形であるすべてのBL代数から構成される。
• 標準意味論は、すべての標準BL 代数、つまり格子縮約が通常の順序を持​​つ実単位区間 [0, 1] であるすべての BL 代数から構成されます。これらは、強結合を解釈する関数によって一意に決定されます。この関数は、任意の連続t ノルムになります。

参考文献

• Hájek P.、1998、ファジー論理のメタ数学。ドルドレヒト: クルーワー。
• 小野 浩, 2003, 「部分構造論理と残余格子 ― 入門」 FV Hendricks、J. Malinowski（編）『Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica』Trends in Logic 20 : 177–212。
• Cintula P., 2005, 「短報：BLとMTLにおける公理（A3）の冗長性について」Soft Computing 9 :942.
• Chvalovský K., 2012, 「BLとMTLにおける公理の独立性について」『ファジー集合とシステム』 197 : 123–129, doi :10.1016/j.fss.2011.10.018.

参考文献

1. 小野（2003年）。

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