ベールの所有物

位相空間の部分集合は、ベールの性質（ベールの性質、ルネ＝ルイ・ベールにちなんで名付けられた）を持ち、あるいは、開集合との差が僅少な集合だけであるとき、すなわち、が僅少であるような開集合が存在するとき（ここでは対称差を表す）、概開集合と呼ばれる。 ^[¹^] $A$ $X$ $U\subseteq X$ $A\bigtriangleup U$ $\bigtriangleup$

定義

位相空間の部分集合はほぼ開集合と呼ばれ、が貧弱な部分集合（ただし、は対称差）となるような開集合が存在するとき、ベールの性質またはベールの性質を持つと言われる。^[¹^]さらに、が制限された意味でベールの性質を持つ場合、の共通部分集合のすべてに対してがに対してベールの性質を持つ。^[²^] $A\subseteq X$ $X$ $U\subseteq X$ $A\bigtriangleup U$ $\bigtriangleup$ $A$ $E$ $X$ $A\cap E$ $E$

プロパティ

ベールの性質を持つ集合族はσ-代数を形成する。つまり、概開集合の補集合は概開集合であり、概開集合の可算和集合や可算積集合はいずれも概開集合である。 ^{[ 1 ]} すべての開集合は概開集合である（空集合は乏しい）ので、すべてのボレル集合は概開集合となる。

ポーランド空間の部分集合がベールの性質を持つ場合、それに対応するバナッハ・マズールゲームは決定される。逆は成り立たない。しかし、与えられた適切な点類におけるすべてのゲームが決定される場合、その中のすべての集合はベールの性質を持つ。したがって、射影的決定性から、そしてさらに十分に大きな基数から導かれる射影的決定性から、（ポーランド空間における）すべての射影的集合はベールの性質を持つことがわかる。^[³^] $\Gamma$ $\Gamma$

選択公理から、ベールの性質を持たない実数集合が存在することが分かる。特に、ヴィタリ集合はベールの性質を持たない。^{[ 4 ]} 選択公理のより弱いバージョンで十分である。ブール素イデアル定理は、自然数集合上に非主超フィルタが存在することを意味する。そのような超フィルタはそれぞれ、実数の2元表現を介して、ベールの性質を持たない実数集合を誘導する。^[⁵^]

参照

ほぼオープンな地図 - オープンな地図と同等の条件を満たす地図
ベールのカテゴリ定理 – 可算個数の稠密開集合の交差が稠密である位相空間について
開集合 – 位相空間の基本部分集合

参考文献

^ ^a ^b ^cオクストビー、ジョン・C. (1980)、「4. ベールの性質」、測度と範疇、数学入門第2巻（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、pp. 19– 21、ISBN 978-0-387-90508-2。
^クラトフスキ、カジミエシュ（1966年）、トポロジー第1巻、アカデミックプレスおよびポーランド科学出版社。
^ベッカー、ハワード; ケクリス、アレクサンダー S. (1996)、「ポーランド群作用の記述的集合論」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第232巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、p. 69、doi : 10.1017/CBO9780511735264、ISBN 0-521-57605-9、MR 1425877。
^オックストビー（1980）、22ページ。
^ Blass, Andreas (2010)、「Ultrafilters and set theory」、Ultrafilters across math、Contemporary Mathematics、vol. 530、Providence, RI: American Mathematical Society、pp. 49– 71、doi : 10.1090/conm/530/10440、MR 2757533 特に64ページを参照してください。

外部リンク

Springer Encyclopedia of Mathematics のベア特性に関する記事

[oxtoby-1] オクストビー、ジョン・C. (1980)、「4. ベールの性質」、測度と範疇、数学入門第2巻（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、pp. 19– 21、ISBN 978-0-387-90508-2。

[2] クラトフスキ、カジミエシュ（1966年）、トポロジー第1巻、アカデミックプレスおよびポーランド科学出版社。

[3] ベッカー、ハワード; ケクリス、アレクサンダー S. (1996)、「ポーランド群作用の記述的集合論」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第232巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、p. 69、doi : 10.1017/CBO9780511735264、ISBN 0-521-57605-9、MR 1425877。

[4] オックストビー（1980）、22ページ。

[5] Blass, Andreas (2010)、「Ultrafilters and set theory」、Ultrafilters across math、Contemporary Mathematics、vol. 530、Providence, RI: American Mathematical Society、pp. 49– 71、doi : 10.1090/conm/530/10440、MR 2757533 特に64ページを参照してください。

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