バッハテンソル

微分幾何学と一般相対論において、バッハテンソルは階数2のトレースフリーテンソルであり、 n = 4次元で共形不変である。^{[1] 1968年以前は、バッハテンソルは代数的に}ワイルテンソルから独立な唯一の共形不変テンソルとして知られていた。^[2]抽象的添え字では、バッハテンソルは次のように与えられる。

B_{ab}=P_{cd}{{{W_{a}}^{c}}_{b}}^{d}+\nabla ^{c}\nabla _{c}P_{ab}-\nabla ^{c}\nabla _{a}P_{bc}

ここで、ワイルテンソルは、リッチテンソルとスカラー曲率を用いて次のように表されるスハウテンテンソルである。 $W$ $P$ $R_{ab}$ $R$

P_{ab}={\frac {1}{n-2}}\left(R_{ab}-{\frac {R}{2(n-1)}}g_{ab}\right).

参照

^ Rudolf Bach、「Zur Weylschen Relativitätstheorie und der Weylschen Erweiterung des Krümmungstensorbegriffs」、Mathematische Zeitschrift、9 (1921) pp. 110。
^ P. Szekeres, 共形テンソル. ロンドン王立協会紀要. シリーズA, 数学・物理科学第304巻, 第1476号 (1968年4月2日), pp. 113–122

Arthur L. Besse, Einstein Manifolds . Springer-Verlag, 2007. 第4章、§H「二次関数」を参照。
デメトリオス・クリストドゥロウ、「一般相対性理論の数学的問題 I」、欧州数学会、2008年。第4章§2「ミンコフスキー時空の大域的安定性の証明の概要」。
イヴォンヌ・ショケ＝ブリュア『一般相対性理論とアインシュタイン方程式』オックスフォード大学出版局、2011年。第15章第5節「クリストドゥルー＝クライナーマン定理」では、バッハテンソルは「共形平坦計量に対しては消滅するコトンテンソルの双対」であると述べられている。
Thomas W. Baumgarte、Stuart L. Shapiro著『数値的相対論：コンピュータによるアインシュタインの方程式の解法』ケンブリッジ大学出版局、2010年。第3章参照。

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