Chaotic map from the unit square into itself
（回転していない）ベイカー写像の作用下で不変な 測度 の例： 不変測度 。この画像にベイカー写像を適用すると、常に全く同じ画像が得られます。 力学系理論 において 、 パン屋の写像とは、 単位正方形 から それ自身への カオス 写像 です。これは、 パン職人が生地を こねる 作業にちなんで名付けられました 。生地を半分に切り、その半分を重ねて圧縮します。
ベーカー写像は、 双無限二状態 格子模型の双対 シフト作用素 として理解できる。ベーカー写像は 馬蹄写像 と 位相的に共役で ある。 物理学では、結合したベーカー写像の連鎖を用いて決定論的 拡散 をモデル化することができる 。
多くの決定論的力学系 と同様に 、ベーカー写像は単位正方形上に定義された 関数空間 への作用によって研究される。ベーカー写像は、写像の 転送作用素 として知られる関数空間上の作用素を定義する。ベーカー写像は、転送作用素の 固有関数 と 固有値 を明示的に決定できる 点で、 決定論的カオス の 厳密に解けるモデルである。
ベーカーズマップには、一般的に用いられている2つの定義があります。1つは、スライスされた半分のうちの1つを折り曲げたり回転させたりしてから結合する定義（ 馬蹄形マップ に類似）で、もう1つは折り曲げたり回転させたりしない定義です。
折り畳まれたパン屋の地図は単位正方形に対して次のように作用する。
S baker-folded ( x , y ) = { ( 2 x , y 2 ) for 0 ≤ x < 1 2 ( 2 − 2 x , 1 − y 2 ) for 1 2 ≤ x < 1. {\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}} 上部を折り返さない場合は、地図は次のように表記されます。
S baker-unfolded ( x , y ) = ( 2 x − ⌊ 2 x ⌋ , y + ⌊ 2 x ⌋ 2 ) . {\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).} 折り畳みパン屋地図はテント地図 の2次元版である。
S t e n t ( x ) = { 2 x for 0 ≤ x < 1 2 2 ( 1 − x ) for 1 2 ≤ x < 1 {\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}} 一方、展開写像は ベルヌーイ写像に類似しています。どちらの写像も位相的に共役です。ベルヌーイ写像は、 x の二項展開から桁を徐々に減らしていく写像として理解できます 。テント写像とは異なり、ベーカー写像は可逆です。
プロパティ ベーカー写像は2次元 ルベーグ測度 を保存します。
最初は分離していた赤と青の点に、ベイカーズマップを繰り返し適用した。数回の反復処理の後、赤と青の点は完全に混ざり合っているように見える。 マップは 強い混合 であり、 位相的に混合されて います。
転送 演算子は単位正方形上の 関数を 単位正方形上の他の関数に マッピングする演算子であり、次のように表される。 U {\displaystyle U}
[ U f ] ( x , y ) = ( f ∘ S − 1 ) ( x , y ) . {\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).} 元の単位正方形が上にあり、正方形を左から右にスイープした結果が下に表示されます。 転送作用素は、単位正方形上の 二乗可積分関数 の ヒルベルト空間 上で ユニタリ である。スペクトルは連続であり、作用素がユニタリであるため、固有値は単位円上に存在する。転送作用素は、 第一座標において多項式であり第二座標において二乗可積分である関数の空間上ではユニタリではない。この空間上では、転送作用素は離散的で非ユニタリな減衰スペクトルを持つ。 P x ⊗ L y 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}
シフト演算子として ベーカー写像は、1次元格子の記号力学 における 両側 シフト作用素 として理解できる。例えば、双無限弦を考えてみよう。
σ = ( … , σ − 2 , σ − 1 , σ 0 , σ 1 , σ 2 , … ) {\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)} ここで、文字列の各位置は2つの2進値のいずれかを取ることができます 。この文字列に対するシフト演算子の動作は次のようになります。 σ k ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}
τ ( … , σ k , σ k + 1 , σ k + 2 , … ) = ( … , σ k − 1 , σ k , σ k + 1 , … ) {\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )} つまり、各格子位置は1つずつ左にシフトする。双無限弦は2つの 実数 で次のように
表される。 0 ≤ x , y ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}
x ( σ ) = ∑ k = 0 ∞ σ − k 2 − ( k + 1 ) {\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}} そして
y ( σ ) = ∑ k = 0 ∞ σ k + 1 2 − ( k + 1 ) . {\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.} この表現では、シフト演算子は次の形式をとる。
τ ( x , y ) = ( 2 x − ⌊ 2 x ⌋ , y + ⌊ 2 x ⌋ 2 ) {\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)} これは、上記に示したパン屋の地図を展開したものと思われます。
参照
参考文献 長川 宏志、ウィリアム・C・サフィール (1992). 「カオス系におけるユニタリティと不可逆性」. Physical Review A. 46 ( 12): 7401– 7423. Bibcode :1992PhRvA..46.7401H. CiteSeerX 10.1.1.31.9775 . doi :10.1103/PhysRevA.46.7401. PMID: 9908090. ロナルド・J・フォックス、「ベイカー写像のジョルダン基底の構築」、 カオス 、 7 p 254 (1997) doi :10.1063/1.166226 Dean J. Driebe著 『Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry』 (1999年) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (ベイカー写像の固有関数の説明 )
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=(f\circ S^{-1})(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e6f3415fb6a112d65d542cca11df24514edc32)
