バンクターン

Inclination of road or surface other than flat

バンクターン（またはバンキングターン）とは、車両が通常カーブの内側に向かって傾く、つまりバンクするターンまたは方向転換のことです。道路や鉄道の場合、これは通常、路盤がカーブの内側に向かって横方向に下り勾配になっていることに起因します。バンク角とは、車両が水平面に対してその縦軸を中心に傾斜する角度です。

処方

平らな面をオンにする

バンク角がゼロの場合、路面は平坦で、法線方向の力は垂直上向きです。車両を軌道上で旋回させる唯一の力は摩擦力、つまりトラクション力です。この力は、車両が半径 の円を走行していると仮定すると、求心力 を生み出すのに十分な大きさでなければなりません。この関係は、不等式で表すことができます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mu mg>{mv^{2} \over r}.}$

右辺の式は、求心加速度に質量を乗じたものであり、これは車両を旋回させるのに必要な力です。左辺は最大摩擦力で、摩擦係数 に法線方向の力を乗じたものです。最大コーナリング速度を整理すると、 ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v<{\sqrt {r\mu g}}.}$

は静摩擦または動摩擦の係数となることに注意してください。後者の場合、車両がカーブを滑っているとき、摩擦は限界に達し、不等式は方程式になります。また、ダウンフォースなどの影響も無視されます。ダウンフォースは、法線力とコーナリング速度を増加させる可能性があります。 ${\displaystyle \mu }$

摩擦のないバンクターン

上図：傾斜のある円形軌道上を一定速度で移動するボール。下図：ボールにかかる力。路面から作用する垂直方向の力と重力による垂直方向の力のベクトル和によって得られるボールにかかる合力、つまり正味の力は、円形軌道を移動するために必要な求心加速度の力と等しくなければなりません。 ${\displaystyle v}$

平坦な円を走る車両とは対照的に、傾斜した縁は車両を軌道上に維持し、円に引き込まれたり押し出されたりするのを防ぐ（あるいは鉄道の車輪が横に動いて車輪のフランジに擦れそうになるのを防ぐ）追加の力を加える。この力は車両の法線力（N）の水平成分である。摩擦がない場合、円の中心方向に車両に作用する力は法線力のみである。したがって、ニュートンの運動法則第二法則によれば、法線力の水平成分は質量と求心加速度の積に等しいと設定できる。^[1]

${\displaystyle {mv^{2} \over r}=N\sin \theta }$

垂直方向の運動はないため、系に作用するすべての垂直方向の力の合計はゼロでなければならない。したがって、車両の垂直方向の力の垂直成分を車両の重量と等しく設定することができる。^[1]

${\displaystyle N\cos \theta =mg}$

上記の法線力の式を解き、この値を前の式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {mv^{2} \over r}={mg\tan \theta }}$

これは次と同等です:

${\displaystyle {v^{2} \over r}={g\tan \theta }}$

速度を解くと次のようになります。

${\displaystyle v={\sqrt {rg\tan \theta }}}$

これは、摩擦がなく、所定の傾斜角と曲率半径において、車両が指定された経路を維持することを保証する速度を示します。この速度の大きさは、カーブの「定格速度」（鉄道の場合は「平衡速度」）とも呼ばれます。^[2]カーブの定格速度はすべての質量物体で同じであり、傾斜のないカーブの定格速度は0になることに注意してください。

摩擦のあるバンクターン

カリフォルニア州ヘイワードの東行きカリフォルニア州道92号線と北行き州間高速道路880号線を結ぶランプの急勾配のカーブ。

タフツ大学で開催されたビーンポットクリテリウムで、サイクリストたちが急な下り坂のコーナーを曲がる。

摩擦がシステムに与える影響を考える際には、摩擦力がどの方向を向いているかに改めて注意する必要があります。自動車の最高速度を計算する場合、摩擦力は斜面を下って円の中心に向かう方向に作用します。したがって、摩擦の水平成分を法線方向の力に加える必要があります。これら2つの力の合計が、旋回中心方向への新たな正味の力（求心力）となります。

${\displaystyle \underbrace {{mv^{2} \over r}=N\sin \theta } _{\text{Frictionless formula}}+\underbrace {\mu _{s}N\cos \theta } _{\text{Friction term}}}$

ここでも、垂直方向の動きはないので、すべての反対方向の垂直方向の力を互いに等しく設定できます。これらの力には、上向きの法線力の垂直成分と、車の重量と下向きの摩擦の垂直成分が含まれます。

${\displaystyle \underbrace {N\cos \theta =mg} _{\text{Frictionless formula}}+\underbrace {\mu _{s}N\sin \theta } _{\text{Friction term}}}$

上記の式を質量について解き、この値を前の式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {{\frac {N\cos \theta -\mu _{s}N\sin \theta }{g}}v^{2}}{r}}=N\sin \theta +\mu _{s}N\cos \theta }$

を解くと次のようになります。 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta +\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta -\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta +\mu _{s}}{1-\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

ここで、 は臨界角であり、 となる。この式は、与えられた傾斜角、静摩擦係数、曲率半径における自動車の最大速度を与える。最小速度についても同様の分析を行うと、次の式が得られる。 ${\displaystyle \theta _{\mathrm {crit} }}$ ${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {crit} }=\mu _{s}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {min} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta -\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta +\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta -\mu _{s}}{1+\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

知らせ

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {min} }}{v_{\mathrm {max} }}}={\sqrt {\frac {\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}{\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}}$

後者の解析における違いは、自動車の最小速度（円の外側に向かう方向）における摩擦の方向を考慮する際に生じる。したがって、求心方向と垂直方向の力の方程式に摩擦を代入する際には、逆の操作が行われる。

不適切なバンク角を持つカーブは、路外逸脱や正面衝突のリスクを高めます。片勾配が2%不足すると（例えば、本来6%のカーブで片勾配が4%の場合）、衝突頻度は6%増加し、5%不足すると15%増加すると予想されます。^[3]これまで、高速道路技術者は、不適切なバンク角を持つカーブを特定し、適切な緩和策を設計するための効率的なツールを持っていませんでした。最新のプロフィログラフは、道路の曲率と横断勾配（傾斜角）の両方のデータを提供できます。不適切なバンク角を評価する方法の実践的なデモンストレーションは、EU Roadex IIIプロジェクトで開発されました。下記のリンク先の参考資料をご覧ください。

例

航空学では

ダグラス DC-3 が左旋回するためにバンクしています。

固定翼航空機が旋回（方向転換）を行う場合、機体はバンク角までロールし、主翼を旋回方向へ向ける必要があります。旋回が完了すると、機体は再び主翼を水平位置までロールし直進飛行を再開する必要があります。^[4]

移動中の車両が旋回する場合、車両に作用する力が内向きの正味の力として加算され、求心加速度が生じる必要があります。航空機が旋回する場合、求心加速度を引き起こす力は、航空機に作用する揚力の水平成分です。

水平直線飛行では、航空機に作用する揚力は垂直上向きに作用し、下向きに作用する航空機の重量を打ち消します。航空機が水平飛行（つまり、一定高度）を継続するには、垂直方向の成分が航空機の重量と等しくならなければなりません。そのため、パイロットは操縦桿を引いてエレベーターを適用し、機首を上げます。その結果、迎え角が増加し、翼の揚力が増加します。総揚力（角度がついたもの）は航空機の重量よりも大きくなります。超過揚力は総揚力の水平方向の成分であり、航空機を内側に加速させて旋回させる正味の力です。

バンク旋回中の固定翼航空機に作用する揚力と重力を表すベクトル図。黄色の力は、求心加速度を引き起こす正味の合力を表しています。

求心加速度は次のようになります。

${\displaystyle a={v^{2} \over r}}$

バンク角が であるバランス旋回中、揚力は垂直方向から離れた角度で作用します。揚力を垂直成分と水平成分に分解すると便利です。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

水平方向におけるニュートンの第二法則は、数学的には次のように表すことができます。

${\displaystyle L\sin \theta ={mv^{2} \over r}}$

どこ：

${\displaystyle L}$航空機に作用する揚力は

${\displaystyle \theta }$航空機のバンク角です

${\displaystyle m}$航空機の質量

${\displaystyle v}$航空機の真対気速度

${\displaystyle r}$旋回半径です

水平直線飛行では、揚力は機体重量に等しい。旋回飛行では、揚力は機体重量を超え、機体重量（）をバンク角の余弦で割った値に等しい。 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L={mg \over {\cos \theta }}}$

重力場の強さはどこにありますか。 ${\displaystyle g}$

旋回半径は次のように計算できる：^[5]

${\displaystyle r={v^{2} \over {g\tan \theta }}}$

この式は、旋回半径が航空機の真対気速度の2乗に比例することを示しています。対気速度が速いほど旋回半径は大きくなり、対気速度が遅いほど旋回半径は小さくなります。

この式は、バンク角が大きくなるにつれて旋回半径が小さくなることも示しています。バンク角が大きいほど旋回半径は小さくなり、バンク角が小さいほど旋回半径は大きくなります。

一定高度でのバンク旋回では、荷重係数は に等しい。水平直線飛行における荷重係数は であることがわかる。これは であり、一定高度を維持するのに十分な揚力を発生させるには、バンク角が に近づき、 に近づくにつれて荷重係数が無限大に近づく必要がある。しかし、これは物理的に不可能である。なぜなら、それよりもずっと前に、航空機の構造的限界や乗員の体力限界を超えてしまうからである。 ${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos(0)=1}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle 0}$

陸上競技では

屋内陸上競技場の多くは、屋外トラックよりもトラックが小さいため、バンクカーブを備えています。これらの小さなトラックの急カーブは通常、選手がカーブを曲がる際に内側に体を傾けて遠心力を中和できるようにするためにバンクが設けられています。この傾きは、特に短距離走で顕著になります 。 ^[6]

• 
  バンク付きの屋内トラックでターンに臨むスプリンターたち

参照

• キャンバー角
• カント（道路/鉄道）
• コリオリの力（知覚）
• 求心力
• g力
• オーバルトラックレース

参考文献

1. Serway、143ページ
2. Beer, Ferdinand P. ; Johnston, E. Russell (2003年7月11日). 『エンジニアのためのベクトル力学：動力学』科学/工学/数学 (第7版). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-293079-5。
3. DW Harwood他「地方2車線高速道路の期待安全性能の予測」、ターナー・フェアバンク・ハイウェイ・リサーチ・センター、バージニア州マクリーン、2000年12月、39ページ、https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/safety/99207/99207.pdf
4. 連邦航空局 (2007). パイロットの航空知識百科事典. オクラホマシティ OK: Skyhorse Publishing Inc. 図3–21. ISBN 978-1-60239-034-8。
5. クランシー、LJ、式14.9
6. Greene, Peter (1987年2月). 「バンクターンによるスプリント」. Journal of Biomechanics . 20 (7): 667–80 . doi :10.1016/0021-9290(87)90033-9. PMID  3654665.

さらに読む

地上車両

• サーウェイ、レイモンド. 『科学者とエンジニアのための物理学』 Cengage Learning, 2010.
• 健康と安全の問題、整備不良な道路網によって引き起こされる健康と安全の問題に関する EU Roadex III プロジェクト。

航空学

• カーモード、AC（1972）飛行力学、第8章、第10版、ロングマングループリミテッド、ロンドンISBN 0-582-23740-8
• Clancy, LJ (1975)、Aerodynamics、Pitman Publishing Limited、ロンドン ISBN 0-273-01120-0
• ハート、HH Jr、（1960）、海軍飛行士のための空気力学、ナショナルフライトショップ復刻版、フロリダ

外部リンク

地上車両

• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mechanics/imgmech/carbank.gif
• https://web.archive.org/web/20051222173550/http://whitts.alioth.net/
• http://www.batesville.k12.in.us/physics/PHYNET/Mechanics/Circular%20Motion/banked_no_friction.htm

航空学

• NASA: バンキングターンに関するガイダンス
• aerospaceweb.org: バンク角とG（数学）
• パイロットの航空知識ハンドブック

https://edu-physics.com/2021/05/08/how-banking-of-road-will-help-the-vehicle-to-travel-along-a-circular-path-2/

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Banked_turn&oldid=1310801627"