Coordinate system that is defined by points instead of vectors
正三角形と直角三角形上の 重心座標。 ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})} 3 単体で、1 面 (エッジ)、2 面 (三角形)、および 3 面 (ボディ) の重心細分化を持ちます。 幾何学 において 、 重心座標系は、 点の位置が 単体 （ 平面上 の点の場合は 三角形 、 三次元空間 上の点の場合は 四面体 など）を基準として指定される 座標系 です。点の 重心座標は 、単体の頂点に配置された 質量 として解釈でき、その点はこれらの質量 の中心 （または 重心 ）となります。これらの質量はゼロまたは負の値を取ることができますが、点が単体の内部にある場合にのみ、すべて正の値となります。
すべての点は重心座標を持ち、それらの和がゼロになることはありません。2つの重心座標の 組 が同じ点を指すのは、それらが比例する場合、つまり、一方の組の要素にもう一方の組の要素を同じ非ゼロの数値で乗算することによって得られる場合のみです。したがって、重心座標は、非ゼロの定数による乗算 まで 定義されるか、和が1になるように正規化されているとみなされます。
重心座標は 1827年に アウグスト・メビウスによって導入されました 。[1] [2] [3]重心座標は特殊な 同次座標 です 。重心座標は 直交座標 と密接に関連しており、より一般的には アフィン座標 とも関連しています（ アフィン空間 § 重心座標とアフィン座標の関係を 参照 ）。
重心座標は、 三角形幾何学において、 チェバの定理 、 ラウスの定理 、 メネラウスの定理 など、三角形の角度に依存しない性質を研究する際に特に有用である 。 コンピュータ支援設計においては、ある種の ベジェ曲面 を定義する際に有用である 。 [4] [5]
意味 ユークリッド空間 、つまり n 次元の 平坦 空間または アフィン空間 において、 アフィン独立な n + 1 個の点があると する。これは 、すべての点を含む n − 1 次元の アフィン部分空間 が存在しないことを意味する [6]。 あるいは、同値として、点が 単体 を定義することを意味する。任意の点が与えられた場合、すべての点 がゼロではない スカラー が存在し、 任意の点 O に対して となる。(通常どおり、表記は 点 A を点 Bに写像する 並進ベクトル または 自由ベクトル を表す 。) A 0 , … , A n {\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}} A {\displaystyle \mathbf {A} } P ∈ A , {\displaystyle P\in \mathbf {A} ,} a 0 , … , a n {\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}} ( a 0 + ⋯ + a n ) O P → = a 0 O A 0 → + ⋯ + a n O A n → , {\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},} A B → {\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}
この式を満たす ( n + 1) 組 の要素は、 に関する P の 重心座標 と呼ばれます。組の表記にコロンが使用されているのは、重心座標が 同次座標 の一種であることを意味します。つまり、すべての座標に同じ非ゼロの定数を掛けても、点は変化しません。さらに、補助点 O 、 つまり原点 が変化しても、重心座標は変化しません。 ( a 0 : … : a n ) {\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})} A 0 , … , A n . {\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}
点の重心座標は、スケーリング を除いて一意です 。 つまり 、 2つの組 と が 同じ点の重心座標となるのは、 任意の i に対してとなる 非ゼロのスカラーが存在する 場合のみです 。 ( a 0 : … : a n ) {\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})} ( b 0 : … : b n ) {\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})} λ {\displaystyle \lambda } b i = λ a i {\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}
状況によっては、点の重心座標が一意になるように制約することが有用な場合があります。これは通常、条件を課す
か、または同等にすべての をすべての の和で
割ることによって実現されます。これらの特定の重心座標は、 正規化 重心座標または 絶対重心座標 と呼ばれます 。 [7] アフィン座標 と呼ばれることもあります が、この用語は一般的に若干異なる概念を指します。 ∑ a i = 1 , {\displaystyle \sum a_{i}=1,} a i {\displaystyle a_{i}} a i . {\displaystyle a_{i}.}
場合によっては、正規化された重心座標が 重心座標 と呼ばれることもあります。この場合、上記で定義された座標は 同次重心座標 と呼ばれます。
上記の記法を用いると、 A i の同次重心座標は 、添え字 iを除いてすべてゼロとなる。 実数 体上での作業 （上記の定義は任意の 体 上のアフィン空間にも適用される）においては、すべての正規化重心座標が非負となる点は、これら の点を頂点とする 単体を 凸包 と する。 { A 0 , … , A n } , {\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}
上記の表記法を用いると、のような タプルは 点を定義しませんが、ベクトルは 原点 O から独立しています。このベクトルの方向は、すべての ベクトルに同じスカラーを掛けても変わらないため、同次タプルは 直線の方向、つまり 無限遠点 を定義します。詳細は以下を参照してください。 ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})} ∑ i = 0 n a i = 0 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0} a 0 O A 0 → + ⋯ + a n O A n → {\displaystyle a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}} a i {\displaystyle a_{i}} ( a 0 : … : a n ) {\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}
直交座標またはアフィン座標との関係 重心座標は、 直交座標 、そしてより一般的には アフィン座標 と密接に関連しています。n次元空間において 、 これらの座標系は、点 O 、座標が0の 原点 、そしてインデックス i が1である点を除いて座標が0の n 個の点を基準として定義されます 。 A 1 , … , A n , {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}
点が
そのような座標系で座標を持つのは、その正規化された重心座標が 点に対して相対的である場合のみである。 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} ( 1 − x 1 − ⋯ − x n , x 1 , … , x n ) {\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})} O , A 1 , … , A n . {\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}
重心座標系の主な利点は、 n + 1個 の定義点に関して対称であることです。そのため、 n + 1 個の点に関して対称な特性を研究する際に役立ちます 。一方、距離や角度は一般的な重心座標系では表現が難しく、これらを扱う場合は、直交座標系を使用する方が一般的に簡単です。
射影座標との関係 同次重心座標は、いくつかの射影座標 とも強い関連があります 。しかし、この関係はアフィン座標の場合よりも微妙であり、明確に理解するためには、 アフィン空間 の 射影完備化の座標フリー定義と、 射影フレーム の定義が必要です 。
n 次元アフィン空間の 射影 完備化とは、アフィン空間を 超平面 の 補 として含む、同じ次元の 射影空間 のことである 。射影完備化は同型を除いて一意である 。 超 平面は 無限遠超平面 と呼ばれ 、その点は アフィン空間の 無限遠点となる。 [8]
n 次元の射影空間が与えられたとき 、 射影フレームは 、同一の超平面に含まれない n + 2 点の順序付き集合である。射影フレームは、フレームの ( n + 2) 番目の点の座標がすべて等しく、それ以外の場合には i番目の点の座標が i 番目 を除いてすべて0となるような射影座標系を定義する。 [8]
アフィン座標系から射影完備化を構築する場合、一般的には、座標軸 の無限遠超平面との交点、アフィン空間の原点、そしてすべてのアフィン座標が1となる点からなる射影フレームに関して定義され ます。これは、無限遠点の最後の座標が0であること、そしてアフィン空間の点の射影座標は、そのアフィン座標を ( n + 1) 番目の座標として1で完備化することによって得られることを意味します。
アフィン空間に n + 1 個の点があり、それらが重心座標系を定義する場合、これは射影完備化のもう1つの射影フレームとして選択するのが便利です。このフレームはこれらの点とそれらの 重心 、つまりすべての重心座標が等しい点で構成されます。この場合、アフィン空間内の点の同次重心座標は、この点の射影座標と同じです。点が無限遠にある場合、かつその座標の合計が0になる場合のみです。この点は、§定義の最後で定義されたベクトルの方向にあります。
三角形の重心座標 三角形 の文脈において、重心座標は 面積座標 または 面座標 とも呼ばれます。これは、三角形 ABC に対する P の座標が、 基準三角形 ABC の面積に対する PBC、PCA、PAB の面積の（符号付き）比に等しいためです。幾何学において 、 面 座標 と 三 線 座標 は 同様 の目的で使用されます。
重心座標または面積座標は、三角形の部分領域 を含む工学応用において非常に有用です 。これらにより解析 積分の 評価が容易になることが多く、 ガウス積分 表は面積座標で表されることがしばしばあります。
x,y平面 、 、 を 頂点とする 三角形を考えます 。 内の点はベクトルとみなせる ので、それらを加算または減算し、スカラーで乗算することは理にかなっています。 A B C {\displaystyle ABC} A = ( a 1 , a 2 ) {\displaystyle A=(a_{1},a_{2})} B = ( b 1 , b 2 ) {\displaystyle B=(b_{1},b_{2})} C = ( c 1 , c 2 ) {\displaystyle C=(c_{1},c_{2})} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
各三角形には、その面積のプラスまたはマイナスで 表される符号付き面積 または sarea が あります 。 A B C {\displaystyle ABC}
sarea ( A B C ) = ± area ( A B C ) . {\displaystyle \operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).} から へ、 そして へ戻る 経路が三角形を反時計回りに一周する場合、符号はプラスです 。経路が時計回りに一周する場合、符号はマイナスです。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} A {\displaystyle A}
を平面上の点とし、 その 三角形 に対する 正規化された重心座標を とすると、 P {\displaystyle P} ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})} A B C {\displaystyle ABC}
P = λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C {\displaystyle P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C} そして
1 = λ 1 + λ 2 + λ 3 . {\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.} 正規化された重心座標は 三角形の符号付き面積の比を表すため、 面積座標 とも呼ばれます。 ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}
λ 1 = sarea ( P B C ) / sarea ( A B C ) λ 2 = sarea ( A P C ) / sarea ( A B C ) λ 3 = sarea ( A B P ) / sarea ( A B C ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}} 三角形は 平行四辺形 の半分であり、平行四辺形の面積は 行列式 を使って簡単に計算できるという事実に基づいて、これらの比の公式を証明できます。
具体的には、
D = − A + B + C . {\displaystyle D=-A+B+C.} A B C D {\displaystyle ABCD} は、変位ベクトル、 のペアで表される対辺が 平行かつ合同であるため、平行四辺形です。 D − C = B − A {\displaystyle D-C=B-A} D − B = C − A {\displaystyle D-B=C-A}
三角形 は平行四辺形の半分な ので、その 符号付き面積 の2倍は平行四辺形の符号付き面積に等しくなります。この面積は、 変位ベクトルとを 列 と する 行列式で与えられます 。 A B C {\displaystyle ABC} A B D C {\displaystyle ABDC} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} det ( B − A , C − A ) {\displaystyle \det(B-A,C-A)} B − A {\displaystyle B-A} C − A {\displaystyle C-A}
sarea ( A B C D ) = det ( b 1 − a 1 c 1 − a 1 b 2 − a 2 c 2 − a 2 ) {\displaystyle \operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}} 交代性 と 多重線 性 を利用して行列式を展開すると 、次の式が得られる。
det ( B − A , C − A ) = det ( B , C ) − det ( A , C ) − det ( B , A ) + det ( A , A ) = det ( A , B ) + det ( B , C ) + det ( C , A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}} それで
2 sarea ( A B C ) = det ( A , B ) + det ( B , C ) + det ( C , A ) . {\displaystyle 2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A).} 同様に、
2 sarea ( P B C ) = det ( P , B ) + det ( B , C ) + det ( C , P ) {\displaystyle 2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P)} 、 これらの符号付き面積の比率を得るには、 2 番目の式をその重心座標で表します。 P {\displaystyle P}
2 sarea ( P B C ) = det ( λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C , B ) + det ( B , C ) + det ( C , λ 1 A + λ 2 B + λ 3 C ) = λ 1 det ( A , B ) + λ 3 det ( C , B ) + det ( B , C ) + λ 1 det ( C , A ) + λ 2 det ( C , B ) = λ 1 det ( A , B ) + λ 1 det ( C , A ) + ( 1 − λ 2 − λ 3 ) det ( B , C ) . {\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.} 重心座標は正規化されているので となる 。これを前の行に代入すると、 1 = λ 1 + λ 2 + λ 3 {\displaystyle 1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}} λ 1 = ( 1 − λ 2 − λ 3 ) {\displaystyle \lambda _{1}=(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})}
2 sarea ( P B C ) = λ 1 ( det ( A , B ) + det ( B , C ) + det ( C , A ) ) = ( λ 1 ) ( 2 sarea ( A B C ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC)).\end{aligned}}} したがって
λ 1 = sarea ( P B C ) / sarea ( A B C ) {\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)} 。 同様の計算で他の2つの式も証明される。
λ 2 = sarea ( A P C ) / sarea ( A B C ) {\displaystyle \lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)} λ 3 = sarea ( A B P ) / sarea ( A B C ) {\displaystyle \lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC)} 。 の 三線座標 は、それぞれ直線BC、AC、ABから の符号付き距離です。の符号は、 とが BCの同じ側にある 場合は正、そうでない場合は負です。 とにも 同様に符号が割り当てられます。 ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) {\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A} γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} γ 3 {\displaystyle \gamma _{3}}
a = length ( B C ) {\displaystyle a=\operatorname {length} (BC)} 、、 。 b = length ( C A ) {\displaystyle b=\operatorname {length} (CA)} c = length ( A B ) {\displaystyle c=\operatorname {length} (AB)} それから
γ 1 a = ± 2 sarea ( P B C ) γ 2 b = ± 2 sarea ( A P C ) γ 3 c = ± 2 sarea ( A B P ) {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}} ここで、上記と同様に、sarea は符号付き面積を表します。三角形 ABC が正の向きにある場合は、3 つの符号すべてがプラス、そうでない場合はマイナスになります。三線座標と重心座標の関係は、これらの式を、重心座標を面積比として表す上記の式に代入することで得られます。
重心座標と他の座標系を切り替えることで、いくつかの問題がはるかに簡単に解決できるようになります。
重心座標と直交座標間の変換
エッジアプローチ 三角形の平面上の 点が与えられれば、重心座標 、 を 直交座標 から取得することができ 、その逆も可能です。 r {\displaystyle \mathbf {r} } λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} λ 3 {\displaystyle \lambda _{3}} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
点の直交座標は 三角形の頂点の直交座標成分 、、 で表すことができ 、 重心座標では 次のよう
に表すことができます。 r {\displaystyle \mathbf {r} } r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} r 3 {\displaystyle \mathbf {r} _{3}} r i = ( x i , y i ) {\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})} r {\displaystyle \mathbf {r} }
x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}
つまり、任意の点のデカルト座標は三角形の頂点のデカルト座標の加重平均であり、重みは点の重心座標の合計が 1 になります。
逆変換、つまり直交座標から重心座標への変換を求めるには、まず 上記の式に
代入して λ 3 = 1 − λ 1 − λ 2 {\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}}
x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + ( 1 − λ 1 − λ 2 ) x 3 y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + ( 1 − λ 1 − λ 2 ) y 3 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}}
並べ替えると、これは
λ 1 ( x 1 − x 3 ) + λ 2 ( x 2 − x 3 ) + x 3 − x = 0 λ 1 ( y 1 − y 3 ) + λ 2 ( y 2 − y 3 ) + y 3 − y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}}
この 線形変換は 、より簡潔に次のように記述できる。
T ⋅ λ = r − r 3 {\displaystyle \mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}}
ここで 、は 最初の2つの重心座標の ベクトル 、は 直交座標 の ベクトル 、は次式 で与えられる 行列 である。 λ {\displaystyle \lambda } r {\displaystyle \mathbf {r} } T {\displaystyle \mathbf {T} }
T = ( x 1 − x 3 x 2 − x 3 y 1 − y 3 y 2 − y 3 ) {\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)}
と は線形独立 なので 、 行列 は 逆行列 となります （ そうでない場合、 、 、 は 共線 となり 、三角形を形成しません）。したがって、上記の式を変形すると、 T {\displaystyle \mathbf {T} } r 1 − r 3 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}} r 2 − r 3 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}} r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} r 2 {\displaystyle \mathbf {r} _{2}} r 3 {\displaystyle \mathbf {r} _{3}}
( λ 1 λ 2 ) = T − 1 ( r − r 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})}
したがって、重心座標を見つけることは、の 2×2 逆行列を 見つけることになり 、簡単な問題になります。 T {\displaystyle \mathbf {T} }
明示的には、点の重心座標の式は、 その直交座標 ( x, y ) と三角形の頂点の直交座標に関して次のようになります。 r {\displaystyle \mathbf {r} }
λ 1 = ( y 2 − y 3 ) ( x − x 3 ) + ( x 3 − x 2 ) ( y − y 3 ) det ( T ) = ( y 2 − y 3 ) ( x − x 3 ) + ( x 3 − x 2 ) ( y − y 3 ) ( y 2 − y 3 ) ( x 1 − x 3 ) + ( x 3 − x 2 ) ( y 1 − y 3 ) = ( r − r 3 ) × ( r 2 − r 3 ) ( r 1 − r 3 ) × ( r 2 − r 3 ) λ 2 = ( y 3 − y 1 ) ( x − x 3 ) + ( x 1 − x 3 ) ( y − y 3 ) det ( T ) = ( y 3 − y 1 ) ( x − x 3 ) + ( x 1 − x 3 ) ( y − y 3 ) ( y 2 − y 3 ) ( x 1 − x 3 ) + ( x 3 − x 2 ) ( y 1 − y 3 ) = ( r − r 3 ) × ( r 3 − r 1 ) ( r 1 − r 3 ) × ( r 2 − r 3 ) λ 3 = 1 − λ 1 − λ 2 = 1 − ( r − r 3 ) × ( r 2 − r 1 ) ( r 1 − r 3 ) × ( r 2 − r 3 ) = ( r − r 1 ) × ( r 1 − r 2 ) ( r 1 − r 3 ) × ( r 2 − r 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}} 方程式の最後の行を理解するときは、恒等式に注意してください 。 ( r 1 − r 3 ) × ( r 2 − r 3 ) = ( r 3 − r 1 ) × ( r 1 − r 2 ) {\displaystyle (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )=(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}
頂点アプローチ 直交座標から重心座標への変換を解決する別の方法は、関係式を 行列 形式で書き表すことです。 つまり 、 となります。 正規化された唯一の解を得るには、条件 を追加する必要があります。したがって、重心座標は 線形方程式 の解であり、 となります。 ここ で、 は三角形の符号付き面積の2倍です。重心座標の面積の解釈は、この線形方程式に クラメールの定理を 適用することで復元できます 。 R λ = r {\displaystyle \mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r} } R = ( r 1 | r 2 | r 3 ) {\displaystyle \mathbf {R} =\left(\,\mathbf {r} _{1}\,|\,\mathbf {r} _{2}\,|\,\mathbf {r} _{3}\right)} λ = ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ⊤ , {\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top },} ( x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ) ( λ 1 λ 2 λ 3 ) = ( x y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}} λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1} ( 1 1 1 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ) ( λ 1 λ 2 λ 3 ) = ( 1 x y ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)} ( λ 1 λ 2 λ 3 ) = 1 2 A ( x 2 y 3 − x 3 y 2 y 2 − y 3 x 3 − x 2 x 3 y 1 − x 1 y 3 y 3 − y 1 x 1 − x 3 x 1 y 2 − x 2 y 1 y 1 − y 2 x 2 − x 1 ) ( 1 x y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}-y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}} 2 A = det ( 1 | R ) = x 1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y 1 ) + x 3 ( y 1 − y 2 ) {\displaystyle 2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}
重心座標と三線座標間の変換 三線座標 x : y : z の点は 、重心座標 ax : by :czを持ちます。ここで、 a 、 b 、 c は三角形の辺の長さです。逆に、重心座標を持つ点は 三線座標ax : by: czを持ちます。 λ 1 : λ 2 : λ 3 {\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}} λ 1 / a : λ 2 / b : λ 3 / c . {\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}
重心座標における方程式 3辺 a、b、c はそれぞれ方程式 [9]を持つ。
λ 1 = 0 , λ 2 = 0 , λ 3 = 0. {\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.}
三角形のオイラー線 の方程式は [9] である。
| λ 1 λ 2 λ 3 1 1 1 tan A tan B tan C | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.}
前述の重心座標と三線座標間の変換を使用すると、 三線座標#数式 に示されている他のさまざまな方程式を重心座標で書き直すことができます。
点間の距離 2つの 正規化された点の変位ベクトル は [10] P = ( p 1 , p 2 , p 3 ) {\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})} Q = ( q 1 , q 2 , q 3 ) {\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}
P Q → = ( q 1 − p 1 , q 2 − p 2 , q 3 − p 3 ) . {\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},q_{3}-p_{3}).}
P と Q の間の 距離 d 、つまり変位ベクトルの長さ は P Q → = ( x , y , z ) , {\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(x,y,z),}
d 2 = | P Q | 2 = − a 2 y z − b 2 z x − c 2 x y = 1 2 [ x 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) + y 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) + z 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}}
ここで 、a、b、c は三角形の辺の長さである。最後の2つの式が同値であることは、 以下の式が成り立つこと
からわかる。 x + y + z = 0 , {\displaystyle x+y+z=0,} x + y + z = ( p 1 − q 1 ) + ( p 2 − q 2 ) + ( p 3 − q 3 ) = ( p 1 + p 2 + p 3 ) − ( q 1 + q 2 + q 3 ) = 1 − 1 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}
点の重心座標は、 3つの三角形の頂点までの
距離 d iに基づいて、次の方程式を解くことで計算できます。 ( − c 2 c 2 b 2 − a 2 − b 2 c 2 − a 2 b 2 1 1 1 ) λ = ( d A 2 − d B 2 d A 2 − d C 2 1 ) . {\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).}
アプリケーション 8リットル、5リットル、3リットルの 水を注ぐパズル の2つの解を、重心図を用いて示します。黄色の領域は、水差しで達成可能な組み合わせを示しています。赤の実線と青の破線は、水を注ぐことができる遷移を示しています。頂点が点線の三角形に当たった場合、4リットルが測定されたことになります。
三角形に対する位置の決定 重心座標は三角形内部の点を扱う際に最も一般的に用いられますが、三角形外部の点を記述する際にも使用できます。点が三角形内部にない場合でも、上記の式を用いて重心座標を計算できます。しかし、点が三角形外部にあるため、少なくとも1つの座標は当初の仮定である に反します 。実際、直交座標上の任意の点が与えられれば、この事実を利用して、その点が三角形に対してどこに位置するかを判断することができます。 λ 1...3 ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}
点が三角形の内部にある場合、すべての重心座標は 開区間 内にあります 。点が三角形の辺上にあるが頂点にはない場合、面積座標の1つ （反対側の頂点に関連付けられた座標）は0で、他の2つは開区間内にあります。 点が頂点上にある場合、その頂点に関連付けられた座標は1で、他の座標は0です。最後に、点が三角形の外側にある場合、少なくとも1つの座標は負になります。 ( 0 , 1 ) . {\displaystyle (0,1).} λ 1...3 {\displaystyle \lambda _{1...3}} ( 0 , 1 ) . {\displaystyle (0,1).}
まとめると、
点が 三角形の内側にあるの は、次の場合のみです 。 r {\displaystyle \mathbf {r} } 0 < λ i < 1 ∀ i in 1 , 2 , 3 {\displaystyle 0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}} r {\displaystyle \mathbf {r} } およびの 場合、 は三角形の辺または角上にあります 。 0 ≤ λ i ≤ 1 ∀ i in 1 , 2 , 3 {\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}} λ i = 0 , for some i in 1 , 2 , 3 {\displaystyle \lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}}
それ以外の場合は 三角形の外側にあります。 r {\displaystyle \mathbf {r} } 特に、点が直線の向こう側にある場合、直線上にない三角形の点の重心座標は負の値になります。
三角形の非構造グリッド上の補間 x , y 平面上の与えられた三角形グリッド（下部）上の線形補間によって得られた曲面（上部） 。この曲面は 、グリッドの頂点における f の値のみを与えて、 関数 z = f ( x , y ) を近似します。 が既知であるが、 で定義される三角形内の f の値が未知である場合、 線形補間 を用いて近似することができます 。重心座標は、この補間を計算するための便利な方法を提供します。が重心座標 、 、 を持つ三角形内の点である場合 、 f ( r 1 ) , f ( r 2 ) , f ( r 3 ) {\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})} r 1 , r 2 , r 3 {\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}} r {\displaystyle \mathbf {r} } λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} λ 3 {\displaystyle \lambda _{3}}
f ( r ) ≈ λ 1 f ( r 1 ) + λ 2 f ( r 2 ) + λ 3 f ( r 3 ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}
一般に、 構造化されていないグリッド または ポリゴン メッシュ が与えられている場合、この種類の手法 を使用して、メッシュのすべての頂点で関数の値がわかっている限り、すべての点での f の値を近似することができます。 この場合、空間の異なる部分に対応する三角形が多数あります。点 で関数 f を補間するには、まず を含む三角形を見つける必要があります 。そのためには、 を各三角形の重心座標に変換します。 座標が を満たす三角形が見つかった場合 、点はその三角形内またはその辺上にあります (前のセクションで説明)。 次に、 の値を 上記のように補間できます。 r {\displaystyle \mathbf {r} } r {\displaystyle \mathbf {r} } r {\displaystyle \mathbf {r} } 0 ≤ λ i ≤ 1 ∀ i in 1 , 2 , 3 {\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3} f ( r ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )}
これらの手法には、有限要素法 (FEM)など、さまざまな用途があります 。
三角形または四面体上の積分 三角形の定義域における関数の積分は、直交座標系で計算するのが面倒な場合があります。一般的に三角形を2つに分割する必要があり、非常に面倒になります。代わりに、任意の 2つの重心座標への 変数変換を 行う方が簡単な場合が多くあります。例えば、この変数変換では、 λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
∫ T f ( r ) d r = 2 A ∫ 0 1 ∫ 0 1 − λ 2 f ( λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + ( 1 − λ 1 − λ 2 ) r 3 ) d λ 1 d λ 2 {\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}
ここで、 Aは三角形の 面積 である 。この結果は、重心座標における長方形が直交座標における四辺形に対応し、対応する座標系における対応する図形の面積の比が で与えられるという事実から導かれる 。同様に、四面体上の積分では、積分を2つまたは3つの別々の部分に分割する代わりに、変数変換の下で3次元四面体座標に切り替えることができる。 2 A {\displaystyle 2A}
∫ T f ( r ) d r = 6 V ∫ 0 1 ∫ 0 1 − λ 3 ∫ 0 1 − λ 2 − λ 3 f ( λ 1 r 1 + λ 2 r 2 + λ 3 r 3 + ( 1 − λ 1 − λ 2 − λ 3 ) r 4 ) d λ 1 d λ 2 d λ 3 {\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}} ここで、 V は四面体の体積です。
このアプローチは、より高次元に一般化して、任意の n 次元単体を積分することができます。
特別なポイントの例 三角形に関して定義された同次重心座標系では 、特別な点に関する次の記述が成り立ちます 。 A B C {\displaystyle ABC} A B C {\displaystyle ABC}
３つの 頂点 A 、 B 、 C の座標は [9]である。
A = 1 : 0 : 0 B = 0 : 1 : 0 C = 0 : 0 : 1 {\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A=&1&:&0&:&0\\B=&0&:&1&:&0\\C=&0&:&0&:&1\end{array}}}
重心 の 座標は [9] 1 : 1 : 1. {\displaystyle 1:1:1.}
a 、 b 、 c が それぞれ 辺の長さ 、 、 、 がそれぞれ 角度の尺度 、 、 、 で あり、 s が の 半周 で ある 場合 、 の特殊点に関する次の記述も 成り立ちます。 B C {\displaystyle BC} C A {\displaystyle CA} A B {\displaystyle AB} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma } ∠ C A B {\displaystyle \angle CAB} ∠ A B C {\displaystyle \angle ABC} ∠ B C A {\displaystyle \angle BCA} A B C {\displaystyle ABC} A B C {\displaystyle ABC}
外 心の 座標は [9] [10] [11] [12]である。
sin 2 α : sin 2 β : sin 2 γ = 1 − cot β cot γ : 1 − cot γ cot α : 1 − cot α cot β = a 2 ( − a 2 + b 2 + c 2 ) : b 2 ( a 2 − b 2 + c 2 ) : c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cot \beta \cot \gamma &:&1-\cot \gamma \cot \alpha &:&1-\cot \alpha \cot \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}}
垂心 の 座標は [9] [10]である。
tan α : tan β : tan γ = a cos β cos γ : b cos γ cos α : c cos α cos β = ( a 2 + b 2 − c 2 ) ( a 2 − b 2 + c 2 ) : ( − a 2 + b 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 − c 2 ) : ( a 2 − b 2 + c 2 ) ( − a 2 + b 2 + c 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}}
内心 の 座標は [10] [13]である。 a : b : c = sin α : sin β : sin γ . {\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .}
外 中心の 座標は [13]
J A = − a : b : c J B = a : − b : c J C = a : b : − c {\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-a&:&b&:&c\\J_{B}=&a&:&-b&:&c\\J_{C}=&a&:&b&:&-c\end{array}}}
9 点中心の 座標は [9] [13]である。
a cos ( β − γ ) : b cos ( γ − α ) : c cos ( α − β ) = 1 + cot β cot γ : 1 + cot γ cot α : 1 + cot α cot β = a 2 ( b 2 + c 2 ) − ( b 2 − c 2 ) 2 : b 2 ( c 2 + a 2 ) − ( c 2 − a 2 ) 2 : c 2 ( a 2 + b 2 ) − ( a 2 − b 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma )&:&b\cos(\gamma -\alpha )&:&c\cos(\alpha -\beta )\\[4pt]=&1+\cot \beta \cot \gamma &:&1+\cot \gamma \cot \alpha &:&1+\cot \alpha \cot \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}}
ジェルゴンヌ 点の 座標は です 。 ( s − b ) ( s − c ) : ( s − c ) ( s − a ) : ( s − a ) ( s − b ) {\displaystyle (s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)}
ナーゲル 点の 座標は です 。 s − a : s − b : s − c {\displaystyle s-a:s-b:s-c}
対称 点の 座標は である 。 [12] a 2 : b 2 : c 2 {\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}
四面体上の重心座標 重心座標は3次元 に簡単に拡張できます 。3次元 単体 は 四面体 、つまり4つの三角形の面と4つの頂点を持つ 多面体 です。ここでも、4つの重心座標は、最初の頂点が重心座標 、、 など
にマッピングされる ように定義されます。 r 1 {\displaystyle \mathbf {r} _{1}} λ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)} r 2 → ( 0 , 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}
これもまた線形変換であり、上記の手順を三角形に拡張して、四面体に対する 点の重心座標を求めることができます。 r {\displaystyle \mathbf {r} }
( λ 1 λ 2 λ 3 ) = T − 1 ( r − r 4 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}
ここで 、3×3行列は次のようになります。 T {\displaystyle \mathbf {T} }
T = ( x 1 − x 4 x 2 − x 4 x 3 − x 4 y 1 − y 4 y 2 − y 4 y 3 − y 4 z 1 − z 4 z 2 − z 4 z 3 − z 4 ) {\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}
対応する直交座標では、 重心 座標を見つける問題は再び、 3×3行列の逆行列を求める ことに簡約されます。 λ 4 = 1 − λ 1 − λ 2 − λ 3 {\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}} x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 + ( 1 − λ 1 − λ 2 − λ 3 ) x 4 y = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 + ( 1 − λ 1 − λ 2 − λ 3 ) y 4 z = λ 1 z 1 + λ 2 z 2 + λ 3 z 3 + ( 1 − λ 1 − λ 2 − λ 3 ) z 4 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}
3次元の重心座標は、2次元の手順と同様に、点が四面体体積内に存在するかどうかを判定したり、四面体メッシュ内の関数を補間したりするために使用できます。 重心座標の使用により3次元補間が大幅に簡素化されるため、
四面体メッシュは 有限要素解析でよく使用されます。
一般化重心座標 点の 重心座標が 単体 ではなく有限個の k 点 の集合に関して定義される場合、これを 一般化重心座標 と呼ぶ 。この場合、式は次
のようになる。 ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ k ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})} p ∈ R n {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}} x 1 , x 2 , . . . , x k ∈ R n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}
( λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ k ) p = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + ⋯ + λ k x k {\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}
が成立する必要がある。 [14] 通常は正規化座標 が用いられる 。単体の場合、非負の正規化一般化座標 ( )を持つ点は x 1 , ..., x n の 凸包 を形成する。完全単体 ( ) よりも多くの点がある場合 、定義線形システム (ここでは n=2 の場合)が 不確定 で あるため、 点の一般化重心座標は一意では ない 。最も単純な例は平面上の 四辺形 である。様々な追加制約を用いて一意の重心座標を定義することができる。 [15] λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ k = 1 {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1} 0 ≤ λ i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1} k > n + 1 {\displaystyle k>n+1} ( 1 1 1 . . . x 1 x 2 x 3 . . . y 1 y 2 y 3 . . . ) ( λ 1 λ 2 λ 3 ⋮ ) = ( 1 x y ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}
抽象化 より抽象的に、一般化重心座標は 、次元に関係なく、 n 頂点の 凸多面体を、 n 頂点を持つ 標準 -単体の 像 として表現します。つまり、写像は全射です。写像が 1 対 1 となるのは、多面体が単体である場合のみであり、その場合、写像は同型です。これは、 P が単体である場合を除いて、 一意の 一般化重心座標を持たない点に対応します。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} Δ n − 1 ↠ P . {\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}
一般化重心座標の 双対は スラック変数 であり、点が線型制約をどの程度満たしているかを測定するもので、 f - 正方写像 への 埋め込み を与える。ここで、 f は面の数（頂点の双対）である。この写像は一対一写像（スラック変数は一意に決定される）であるが、全射写像（すべての組み合わせが実現できるわけではない）ではない。 P ↪ ( R ≥ 0 ) f {\displaystyle P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}}
標準 -単体と f -直交座標を、多面体に写像する、あるいは多面体が写像する標準オブジェクトとして使用することは、標準ベクトル空間を ベクトル空間の標準オブジェクトとして、また標準 アフィン超平面を アフィン空間の標準オブジェクトとして使用することと対比される。いずれの場合も、 線型基底 または アフィン基底 を選択すると同型性が得られ 、 すべてのベクトル空間とアフィン空間を、全射または1対1写像（すべての多面体が単体であるわけではない）ではなく、これらの標準空間の観点から考えることができる。さらに、 n -直交座標は円錐 に 写像する標準オブジェクトである。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} K n {\displaystyle K^{n}} { ( x 0 , … , x n ) ∣ ∑ x i = 1 } ⊂ K n + 1 {\displaystyle \{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}}
アプリケーション 重心座標は、コンピュータ グラフィックスにおいて三角形の領域上で 3 つの色を均等にブレンドするために使用されます。 一般化重心座標は コンピュータグラフィックス 、特に 幾何学モデリング に応用されている。 [16] 多くの場合、3次元モデルは多面体で近似することができ、その多面体に対する一般化重心座標は幾何学的な意味を持つ。このように、これらの意味のある座標を用いることで、モデルの処理を簡素化することができる。重心座標は 地球物理学 でも用いられている。 [17]
参照
参考文献 ^ メビウス、アウグスト・フェルディナンド (1827)。 重心計算 。ライプツィヒ: JA・バルト。 Baltzer、Richard 編 に再版。 （1885年）。 「重心計算」。 アウグスト・フェルディナンド・メビウス・ゲザメルテ・ヴェルケ 。 Vol. 1. ライプツィヒ: S. ヒルツェル。 1–388 ページ 。 ^ Max Koecher、Aloys Krieg: Ebene Geometrie。 Springer-Verlag、ベルリン、2007、 ISBN 978-3-540-49328-0 、S.76。 ^ ヒレ、アイナー著『解析関数論 第1巻』第2版、第5刷。チェルシー出版社、ニューヨーク、1982年、 ISBN 0-8284-0269-8 、33ページ、脚注1 ^ Josef Hoschek、Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung。 トイブナー・フェルラーク、1989 年、 ISBN 3-519-02962-6 、S.243。 ^ ジェラルド・ファリン著『 コンピュータ支援幾何学設計のための曲線と曲面』 Academic Press, 1990, ISBN 9780122490514 、S.20。 ^ レベントス・タリダ、アグスティ。 「アフィンマップ、ユークリッド運動、二次行列」。シュプリンガー、2011、 ISBN 978-0-85729-709-9 、11ページ ^ ドゥ、ローランド. 『複素数幾何学入門』. ドーバー出版, ミネオラ, 2008, ISBN 978-0-486-46629-3 、61ページ ^ ab Berger, Marcel (1987), Geometry I , Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3 ^ abcdefg Scott, JA「三角形幾何学における面積座標の使用例」、 Mathematical Gazette 83、1999年11月、472–477。 ^ abcd Schindler, Max; Chen, Evan (2012年7月13日). 「オリンピック幾何学における重心座標」 (PDF) . 2016年 1月14日 閲覧 。 ^ クラーク・キンバリング著『三角形百科事典』 「三角形の中心の百科事典」。2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2012年6月2日 閲覧。 ^ ab 重心座標に関する Wolfram のページ ^ abc ダサリ ナーガ、ヴィジェイ クリシュナ、「フォイエルバッハの三角形について」、 Forum Geometricorum 17 (2017)、289–300: p. 289. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201731.pdf ^ マイヤー, マーク; バー, アラン; リー, ヘヨン; デズブラン, マシュー (2012年4月6日). 「不規則多角形上の一般化重心座標」 (PDF) . Journal of Graphics Tools . 7 : 13– 22. doi :10.1080/10867651.2002.10487551. S2CID 13370238. ^ Floater, Michael S. (2015). 「一般化重心座標とその応用 *」 (PDF) . Acta Numerica . 24 : 161–214 . doi :10.1017/S0962492914000129. ISSN 0962-4929. S2CID 62811364. ^ フローター, マイケル・S. (2003). 「平均値座標」 . コンピュータ支援幾何学設計 . 20 (1): 19– 27. doi :10.1016/S0167-8396(03)00002-5. ^ ONUFRIEV, VG; DENISIK, SA; FERRONSKY, VI, 天然水の同位体研究における重心モデル。核地球物理学、4、111-117 (1990) スコット、JA「 三角形幾何学における面座標の使用例」 、Mathematical Gazette 83、1999年11月、472-477。 Schindler, Max; Chen, Evan (2012年7月13日). オリンピック幾何学における重心座標 (PDF). 2016年1月14日閲覧。 クラーク・キンバリングの三角形百科事典 三角形の中心百科事典 。2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年6月2日閲覧。 ブラッドリー、クリストファー・J. (2007). 『幾何学の代数：直交座標、面座標、射影座標 』 バース：ハイパーセプション社. ISBN 978-1-906338-00-8 。 コクセター, HSM (1969). 幾何学入門 （第2版）. John Wiley and Sons. pp. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0 . Zbl 0181.48101. ユークリッド幾何学と双曲幾何学における重心計算：比較入門、アブラハム・ウンガー、ワールド・サイエンティフィック、2010年 双曲重心座標、アブラハム・A・ウンガー、「オーストラリア数学解析応用ジャーナル」第6巻第1号、第18条、pp. 1–35、2009年 ワイスタイン、エリック・W. 「面積座標」 。MathWorld 。 ワイスタイン、エリック・W. 「重心座標」 。MathWorld 。 同次座標における重心座標計算、Vaclav Skala、Computers and Graphics、Vol.32、No.1、pp. 120–127、2008年
外部リンク てこの法則 重心座標 – （一般化された）重心座標に関する科学論文集 重心座標： cut-the-knot における 興味深い応用 （「3つのグラス」問題の解決） 三角形の正確な点のテスト オリンピック幾何学における重心座標 アーカイブ 2014-08-18 ウェイ バックマシン エヴァン・チェンとマックス・シンドラー Geogebra の Barycenter コマンドと TriangleCurve コマンド 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b9309b91aed7b8911918d30ab834888111d67a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5925816b95ca1eb595448f01c0afa2a6851d9500)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b3514de6e52b38c03028d1057a3b75c20debd6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times （\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} ）}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc43f1fe862f3c1d6ec37e6996b01b25897a1a3f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8d8aa8aeb8280fd2348d53038c8d66d0faf111b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061d640c93173e1d32072c4b6041b9433b702ccf)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cot \beta \cot \gamma &:&1-\cot \gamma \cot \alpha &:&1-\cot \alpha \cot \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268016a83f7e451a7df43975a9527f2dc5a6b8c4)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81f713da489a041a0d73e339f5dc7c81418a756)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma)&:&b\cos(\gamma -\alpha)&:&c\cos(\alpha -\beta)\\[4pt]=&1+\cot \beta \cot \gamma &:&1+\cot \gamma \cot \alpha &:&1+\cot \alpha \cot \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc56bebe1b107529594a28a3aa71e0857babfb7)
