基底変換定理

Relate the direct image and the pull-back of sheaves

数学において、基底変換定理（きゅうすうかくせい、英: base change theorem）は、層の順像と逆像を関連付ける定理である。より正確には、これらの定理は、層の次の自然変換によって与えられる基底変換写像に関するものである。

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

ここで

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\end{array}}}$

は位相空間の直交座標であり、 X上の層です ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

このような定理は、幾何学のさまざまな分野に存在します。たとえば、(本質的に任意の)位相空間と固有写像 f、代数幾何学では (準) コヒーレント層とf固有またはg平坦、解析幾何学では同様に、 f固有またはg平滑のエタール層にも存在します。

はじめに

可換環AとA 'が2つのA -代数であるとき、可換代数において単純な基底変換現象が生じる。 とする。この状況において、B -加群Mが与えられたとき、（ A' -加群の）同型が存在する。 ${\displaystyle B'=B\otimes _{A}A'}$

${\displaystyle (M\otimes _{B}B')_{A'}\cong (M_{A})\otimes _{A}A'.}$

ここで添え字は忘却関手、すなわちMであるがA加群として扱われることを示している。実際、このような同型性は、 ${\displaystyle M_{A}}$

${\displaystyle M\otimes _{B}B'=M\otimes _{B}B\otimes _{A}A'\cong M\otimes _{A}A'.}$

したがって、忘却関数とテンソル積という2つの演算は、上記の同型性の意味で可換である。以下で議論する基底変換定理も同様の種類の命題である。

ベース変更マップの定義

以下に示す基底変換定理はすべて、（異なるタイプの層に対して、また関係する写像に関する様々な仮定の下で）次の基底変換写像が成り立つことを主張している。

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

は同型であり、

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}X'&{\stackrel {g'}{\to }}&X\\f'\downarrow &&\downarrow f\\S'&{\stackrel {g}{\to }}&S\\\end{array}}}$

は直交座標を形成する位相空間間の連続写像であり、はX上の層である。^[1]ここで はfによるの高次の直接像、すなわち直接像（プッシュフォワードとも呼ばれる）関手の導来関手を表す。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

この写像は写像fとgに関するいかなる仮定もなしに存在します。これは次のように構築されます。がの左随伴写像であるため、自然写像（単位写像と呼ばれる）が存在します。 ${\displaystyle g'^{*}}$ ${\displaystyle g'_{*}}$

${\displaystyle \operatorname {id} \to g'_{*}\circ g'^{*}}$

そして

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}.}$

グロタンディークのスペクトル列は、最初の写像と最後の写像（端写像）を次のように与えます

${\displaystyle R^{r}f_{*}\circ g'_{*}\circ g'^{*}\to R^{r}(f\circ g')_{*}\circ g'^{*}=R^{r}(g\circ f')_{*}\circ g'^{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

これを上記と組み合わせると

${\displaystyle R^{r}f_{*}\to g_{*}\circ R^{r}f'_{*}\circ g'^{*}.}$

と の随伴性を使用すると、最終的に目的のマップが生成されます。 ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g_{*}}$

上で述べた導入例は、アフィンスキームの特殊なケースであり、したがって、、およびBモジュールMに関連付けられた準コヒーレント層です。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (B),S=\operatorname {Spec} (A),S'=\operatorname {Spec} (A')}$ ${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:={\tilde {M}}}$

概念的には、上記の基底変換写像は単一の高次直接像関手のみを包含するが、これらを全てを一度に符号化する写像に整理すると便利である。実際、上記と同様の議論から、S'上の層の導来圏における写像が得られる。 ${\displaystyle R^{r}f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

ここで、は の (全) 導出関数を表します。 ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

一般位相幾何学

適切な基底変換

Xがハウスドルフ 位相空間、Sが局所コンパクトハウスドルフ空間、fが普遍的に閉じている（つまり、任意の連続写像に対する閉写像である）場合、基底変換写像 ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$ ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle g^{*}R^{r}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{r}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

は同型である。^[2]実際、 に対して、 ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle (R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{s}=\varinjlim H^{r}(U,{\mathcal {F}})=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}}),\quad X_{s}=f^{-1}(s)}$

そして ${\displaystyle s=g(t)}$

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})_{t}=H^{r}(X_{s},{\mathcal {F}})=H^{r}(X'_{t},g'^{*}{\mathcal {F}})=R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})_{t}.}$

のすべての個々の高次導出関数を一つの実体に符号化するために、上記の文は、基底変化写像が ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

は準同型である。

関係する空間がハウスドルフであるという仮定は、Schnürer & Soergel (2016) によって弱められました。

Lurie (2009)は上記の定理を非アーベル層コホモロジー、すなわち（アーベル群ではなく）単体集合に値を取る層に拡張した。 ^[3]

コンパクトサポートによる直接画像

写像fが閉じていない場合、次の例が示すように、基底変換写像は同型である必要はありません (写像は標準的な包含です)。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\emptyset &{\stackrel {g'}{\to }}&\mathbb {C} \setminus \{0\}\\f'\downarrow &&\downarrow f\\\{0\}&{\stackrel {g}{\to }}&\mathbb {C} \end{array}}}$

一方では、常にゼロですが、 が 上の局所システムで、基本群の表現（ Z と同型）に対応する場合、は（任意のに対して）茎上ののモノドロミー作用の不変量として計算でき、これは必ずしもゼロになる必要はありません。 ${\displaystyle f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

基底変換の結果を得るには、関数（またはその導関数）を、コンパクトな台を持つ直接像に置き換える必要があります。例えば、上の例のように が開部分集合の包含である場合、はゼロによる拡大、すなわちその茎は次のように与えられます。 ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (Rf_{!}{\mathcal {F}})_{s}={\begin{cases}{\mathcal {F}}_{s}&s\in X,\\0&s\notin X.\end{cases}}}$

一般に写像 が存在し、これはf が真であれば準同型となるが、一般にはそうではない。上述の真基底変換定理は次のように一般化される： 写像 は準同型である^[4] ${\displaystyle Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf_{*}{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g^{*}Rf_{!}{\mathcal {F}}\to Rf'_{!}g'^{*}{\mathcal {F}}.}$

準コヒーレント層の基底変化

適切な基底変換

準連接層に対する適切な基底変換定理は、以下の状況において適用される：はネータースキーム間の適切な射であり、はS上平坦な連接層（すなわち は上平坦）である。この状況において、以下の命題が成立する：^[5] ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S,f(x)}}$

• 「半連続定理」
  • 各 に対して、関数は上半連続である ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s}):S\to \mathbb {Z} }$
  • 関数は局所的に定数であり、 はオイラー特性を表します。 ${\displaystyle s\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s})}$ ${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})}$
• 「グラウエルトの定理」：Sが縮約され連結されている場合、それぞれに対して次の式は同値である。 ${\displaystyle p\geq 0}$
  • ${\displaystyle s\mapsto \dim _{k(s)}H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$は定数です。
  • ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$は局所的に自由であり、自然な写像は

${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

すべてのに対して同型です ${\displaystyle s\in S}$

さらに、これらの条件が成立する場合、自然写像

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

すべてのに対して同型です ${\displaystyle s\in S}$

• もし、あるpに対して、すべてのに対して、自然写像 ${\displaystyle H^{p}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})=0}$ ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle R^{p-1}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}k(s)\to H^{p-1}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$

すべてのに対して同型です ${\displaystyle s\in S}$

層の茎はfの下の点のファイバーのコホモロジーと密接に関係しているので、この文は「コホモロジーは基底拡大と可換である」と言い換えることができる。^[6] ${\displaystyle R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}}$

これらの記述は、上記の仮定に加えて、有限生成射影A加群の有限複体と関数の自然同型性が 存在するという以下の事実を用いて証明される。 ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle 0\to K^{0}\to K^{1}\to \cdots \to K^{n}\to 0}$

${\displaystyle H^{p}(X\times _{S}\operatorname {Spec} -,{\mathcal {F}}\otimes _{A}-)\to H^{p}(K^{\bullet }\otimes _{A}-),p\geq 0}$

-代数のカテゴリについて。 ${\displaystyle A}$

フラットベース変更

ベース変更マップ

${\displaystyle g^{*}(R^{r}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{r}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

は、写像が平坦であることを条件として、 （ 上の）準連接層の 同型である（いくつかの技術的条件：f は有限型 の分離射である必要があり、関係するスキームはネーター的である必要がある）。^[7] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:S'\rightarrow S}$

派生カテゴリのフラットベース変化

ベース変化マップを考慮すると、フラットベース変化の広範囲にわたる拡張が可能である。

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}({\mathcal {F}})\to Rf'_{*}(Lg'^{*}{\mathcal {F}})}$

S'上の導来圏における、上で述べたのと同様に。ここには -加群の引き戻しの（全）導来関手がある（ はテンソル積を含み、gが平坦でない場合は正確ではないため、その導来関手 とは等しくない）。この写像は、以下の条件が満たされる限り、準同型である：^[8] ${\displaystyle Lg^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle g^{*}{\mathcal {G}}={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{g^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}g^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle Lg^{*}}$

• ${\displaystyle S}$は準コンパクトであり、準コンパクトかつ準分離的である。 ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、-加群の有界導来カテゴリのオブジェクトであり、そのコホモロジー層は準連接である（例えば、 は準連接層の有界複体である可能性がある） ${\displaystyle D^{b}({\mathcal {O}}_{X}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X}$およびはに対してTor 独立であり、つまりおよび がを満たす場合、すべての整数 に対して、 ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s'\in S'}$ ${\displaystyle f(x)=s=g(s')}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}^{{\mathcal {O}}_{S,s}}({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathcal {O}}_{S',s'})=0}$。

• 以下の条件のいずれかが満たされる。
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は に対して有限平坦振幅を持つ。つまり、において、ある有界区間 の外側のすべてに対してが平坦となる複素数 に準同型である。同様に、の任意の複素数 に対して、 の外側のすべてに対して が成り立つような区間が存在する。または ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}')^{i}}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [m,n]}$ ${\displaystyle [m,n]}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle D^{-}(f^{-1}{\mathcal {O}}_{S}{\text{-mod}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [m,n]}$
  • ${\displaystyle g}$は有限の Tor 次元を持ちます。つまり、 はに対して有限の平坦な振幅を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S'}}$ ${\displaystyle g}$

この定式化の利点の一つは、平坦性仮説が弱められていることである。しかしながら、左辺と右辺のコホモロジーを具体的に計算するには、グロタンディークのスペクトル列が必要となる。

導来代数幾何学における基底変換

導出代数幾何学は、平坦性仮定を捨てる手段を提供する。ただし、プルバックをホモトピープルバックに置き換える必要がある。最も簡単なケースでは、X、S、がアフィン（上記の表記法）である場合、ホモトピープルバックは導出テンソル積 で与えられる。 ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S'}$

${\displaystyle X'=\operatorname {Spec} (B'\otimes _{B}^{L}A)}$

そして、関係するスキーム（または、より一般的には導出スキーム）が準コンパクトかつ準分離的であると仮定すると、自然変換は

${\displaystyle Lg^{*}Rf_{*}{\mathcal {F}}\to Rf'_{*}Lg'^{*}{\mathcal {F}}}$

は任意の準連接層、あるいはより一般的には準連接層の複体に対する準同型である。^[9]前述の平坦な基底変換定理の結果は実際には特別なケースである。なぜなら、gが平坦な場合、ホモトピー引き戻し（これは局所的には導出テンソル積によって与えられる）は通常の引き戻し（局所的には導出されていないテンソル積によって与えられる）と一致し、平坦写像gとg'に沿った引き戻しは自動的に導出される（すなわち、）からである。前述の基底変換定理における Tor 独立性や Tor 振幅に関する補助的な仮定も不要となる。 ${\displaystyle Lg^{*}=g^{*}}$

上記の形式では、基底変更は Ben-Zvi、Francis、Nadler (2010) によって、写像fが完全写像であることを条件として、 X、S、およびS'が（おそらく導出）スタック である状況にまで拡張されています（これには、 fがスキームの準コンパクトで準分離された写像である場合も含まれますが、特性 0 の代数群の分類スタックBGなどのより一般的なスタックも含まれます）。

変種と応用

適切な基底変換は、複素多様体と複素解析空間の文脈でも成り立ちます。^[10]形式関数の定理は、適切な基底変換の変種であり、引き戻しが完了演算 に置き換えられています

アーベル多様体理論の基礎的事実であるシーソー原理と立方体の定理は、適切な基底変換の結果である。^[11]

D加群に対しても基底変換が成り立つ。X 、S、X'、 S 'が滑らかな多様体（ただしfとgは平坦または真である必要はないなど）であれば、準同型が存在する。

${\displaystyle g^{\dagger }\int _{f}{\mathcal {F}}\to \int _{f'}g'^{\dagger }{\mathcal {F}},}$

ここで、およびはD加群の逆像関数と順像関数を表す。^[12] ${\displaystyle -^{\dagger }}$ ${\displaystyle \int }$

エタール層のベース変更

エタール捩れ層 の場合、それぞれ適切な基底変換と滑らかな基底変換と呼ばれる2つの基底変換結果があります。基底変換は、が適切な場合に成立します。^[13]また、fが準コンパクトであり、の捩れがXの留数体の特性と素である場合に、gが滑らかな場合にも成立します。^[14] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

適切な基底変換と密接に関連するのが、以下の事実です（この2つの定理は通常同時に証明されます）。Xを可分閉体上の多様体とし、かつX上の構成可能層とします。すると、以下の各ケースにおいて、Xは有限となります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ ${\displaystyle H^{r}(X,{\mathcal {F}})}$

• Xが完了しているか、
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$にはpねじれがありません。ここでpはkの特性です。

追加の仮定の下で、デニンガー (1988) は適切な基底変換定理を非ねじれエタール層に拡張しました。

応用

上記の位相的な状況とよく似て、開浸 fの基底変化写像は、

${\displaystyle g^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\to f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$

通常は同型ではない。^[15]代わりに、ゼロ関数による拡張は同型を満たす。 ${\displaystyle f_{!}}$

${\displaystyle g^{*}f_{!}{\mathcal {F}}\to f'_{!}g^{*}{\mathcal {F}}.}$

この事実と適切な基底変換は、写像fに対するコンパクトなサポートを備えた直接像関数を次の ように定義することを示唆している。

${\displaystyle Rf_{!}:=Rp_{*}j_{!}}$

ここではfのコンパクト化、すなわち開浸への因数分解とそれに続く真写像である。これが明確に定義されていること、すなわち（同型性を除いて）コンパクト化の選択に依存しないことを示すには、真基底変換定理が必要である。さらに、位相空間上の層の場合と同様に、vsの基底変換式は真でない写像fに対しても成立する。 ${\displaystyle f=p\circ j}$ ${\displaystyle g_{*}}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$

体k上のスキームの構造写像に対して、 の個々のコホモロジー（で表記）は、コンパクト台 を持つコホモロジーと呼ばれる。これは、通常のエタールコホモロジーの重要な変種である。 ${\displaystyle f:X\to S=\operatorname {Spec} k}$ ${\displaystyle Rf_{!}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle H_{c}^{*}(X,{\mathcal {F}})}$

^{同様の考え方は、A1-}ホモトピー理論における関数の類似物を構築するためにも使用される。^{[16] [17]} ${\displaystyle Rf_{!}}$

参照

• 代数幾何学におけるグロタンディークの相対的観点
• 拠点の変更（曖昧さ回避）
• 保型形式の基底変換の解除

参考文献

• Esnault, H.; Kerz, M.; Wittenberg, O. (2016)、「相対次元ゼロのサイクルに対する制限同型性」、Cambridge Journal of Mathematics、4 (2): 163– 196、arXiv : 1503.08187v2、doi :10.4310/CJM.2016.v4.n2.a1、S2CID  54896268

注釈

1. との役割は対称的であり、いくつかの文脈（特に滑らかな基底変化）では、より一般的な定式化はもう1つの定式化（上の層の写像を扱う）です。一貫性を保つため、この記事の以下の結果はすべて同じ状況、つまり の写像について述べていますが、読者はこれを自分の予想と照らし合わせて確認する必要があります ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle f^{*}R^{i}g_{*}{\mathcal {G}}\rightarrow R^{i}g'_{*}f'^{*}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle g^{*}R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow R^{i}f'_{*}g'^{*}{\mathcal {F}}}$
2. ミルン（2012年、定理17.3）
3. Lurie (2009, 定理7.3.1.16)
4. Iversen (1986) によれば、4 つの空間は局所的にコンパクトで有限次元であると仮定されている。
5. Grothendieck (1963, 7.7節), Hartshorne (1977, 定理 III.12.11), Vakil (2015, 第28章コホモロジーと基底変換定理)
6. ハーツホーン（1977年、255ページ）
7. ハーツホーン（1977年、命題III.9.3）
8. ベルトロー、グロタンディーク、イリュージー (1971、SGA 6 IV、命題 3.1.0)
9. トーエン (2012、命題 1.4)
10. グラウエルト（1960）
11. マムフォード (2008)
12. 堀田、竹内、谷崎 (2008、定理 1.7.3)
13. Artin、Grothendieck & Verdier (1972、Exposé XII)、Milne (1980、セクション VI.2)
14. アルティン、グロタンディーク、ヴェルディエ（1972年、Exposé XVI）
15. ミルン（2012、例8.5）
16. Ayoub、Joseph (2007)、グロタンディークの 6 つの操作と、ルモンドのモチーフをめぐるサイクルの形式主義。 I.、フランス数学協会、ISBN 978-2-85629-244-0、Zbl  1146.14001
17. Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019), Triangulated Categories of Mixed Motives、Springer Monographs in Mathematics、arXiv : 0912.2110、Bibcode :2009arXiv0912.2110C、doi :10.1007/978-3-030-33242-6、ISBN 978-3-030-33241-9、S2CID  115163824

参考文献

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• ヴァキル、ラヴィ（2015）、代数幾何学の基礎（PDF）

外部リンク

• ブライアン・コンラッドの配布資料
• 半連続性に関する問題

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