バチェラー渦

流体力学において、バチェラー渦は1964年の論文でジョージ・バチェラーによって初めて説明され、飛行機の渦後流の危険性の問題の解析に有用であることがわかった。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

モデル

バチェラー渦は、境界層近似を用いて得られるナビエ・ストークス方程式の近似解です。この近似の背後にある物理的な根拠は、対象とする流れ場の軸方向勾配が半径方向勾配よりもはるかに小さいという仮定です。 渦の軸方向、半径方向、方位角方向の速度成分はそれぞれ、、で表され、円筒座標では以下のように表すことができます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (x,r,\theta )}$

${\displaystyle {\begin{array}{cl}U(r)&=U_{\infty }+{\frac {W_{0}}{(R/R_{0})^{2}}}e^{-(r/R)^{2}},\\V(r)&=0,\\W(r)&=qW_{0}{\frac {1-e^{-(r/R)^{2}}}{(r/R_{0})}}.\end{array}}}$

上記の式のパラメータは

• ${\displaystyle U_{\infty }}$、自由流軸方向速度、
• ${\displaystyle W_{0}}$、速度スケール（無次元化に使用）、
• ${\displaystyle R_{0}}$、長さスケール（無次元化に使用）、
• ${\displaystyle R=R(t)={\sqrt {R_{0}^{2}+4\nu t}}}$、コアサイズの尺度、初期のコアサイズと粘度を表す、 ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle q}$渦の強さは、最大接線速度とコア速度の比として表されます。

速度の半径方向成分はゼロであり、軸方向成分と方位角方向成分は のみに依存することに注意されたい。 ここで、時間を 倍して無次元化した系を無次元形式で書き表す。無次元変数に同じ記号を用いると、バチェラー渦は次のように無次元変数で表すことができる。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R_{0}/W_{0}}$

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{cl}U(r)&=a+\displaystyle {{\frac {1}{1+4t/Re}}e^{-r^{2}/(1+4t/Re)}},\\V(r)&=0,\\W(r)&=q\displaystyle {\frac {1-e^{-r^{2}/(1+4t/Re)}}{r}},\end{array}}\right.}$

ここで、 は自由流の軸方向速度を表し、はレイノルズ数です。 ${\displaystyle a=U_{\infty }/W_{0}}$ ${\displaystyle Re}$

無限大の渦数を考慮すると、バチェラー渦は方位角速度の ラム・オゼーン渦に簡略化されます。 ${\displaystyle a=0}$

${\displaystyle W_{\Theta }(r)={\frac {\Gamma }{2\pi r}}\left(1-e^{-r^{2}/R_{c}^{2}}\right)}$

循環は どこにありますか。 ${\displaystyle \Gamma }$

参考文献

1. Batchelor, GK (1964). 後流渦における軸方向流れ. 流体力学ジャーナル, 20(4), 645-658.
2. 「後流渦の理論および数値解析」（PDF）ESAIM 2015年7月29日閲覧。

外部リンク

• バチェラー渦の連続スペクトル（著者：Xueri Mao、Spencer Sherwin、出版：Imperial College London）

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