ベイツ分布

確率分布

ベイツ
確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$ ${\displaystyle n\geq 1}$整数
サポート	${\displaystyle x\in [a,b]}$
PDF	以下を参照してください
平均	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
分散	${\displaystyle {\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}}$
歪度	0
過剰尖度	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}$
CF	${\displaystyle \left(-{\frac {in(e^{\tfrac {ibt}{n}}-e^{\tfrac {iat}{n}})}{(b-a)t}}\right)^{n}}$

確率とビジネス統計において、グレース・ベイツにちなんで名付けられたベイツ分布は、単位間隔における統計的に独立した一様分布のランダム変数の平均の確率分布です。^{[1]この分布は、}一様分布、三角分布、および正規ガウス分布と関連しており、放送技術における信号強化に応用されています。

およびパラメータ のベイツ分布は、パラメータ のアーウィン・ホール分布と混同されることがあります^[2]。アーウィン・ホール分布は、単位区間 に一様分布する独立確率変数の和（平均ではない）の分布です。より正確には、 がでベイツ分布を持つ場合、パラメータ（および でサポート）のアーウィン・ホール分布を持ちます。 の場合、ベイツ分布とアーウィン・ホール分布はどちらも単位区間 上の一様分布と一致します。 ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle nX}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [0,n]}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle [0,1]}$

意味

単位区間 上のベイツ分布は、単位区間上に均一に分布する独立確率変数の経験的平均の連続確率分布である。 ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},...,U_{n}}$

${\displaystyle X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

確率密度関数は

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)}$

開区間 では、それ以外の区間ではゼロとなる。ここで は符号関数を表す。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]0,1[}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(nx-k)}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(nx-k)={\begin{cases}-1&nx<k\\0&nx=k\\1&nx>k.\end{cases}}}$

より一般的には、区間に一様分布する独立確率変数の経験平均は、 ${\displaystyle X^{(a,b)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1}^{(a,b)},...,U_{n}^{(a,b)}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle X^{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}^{(a,b)}}$

確率密度関数（PDF）は次のようになります。

${\displaystyle f_{X^{(a,b)}}(x;n)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right)}$

の場合は 0 、それ以外の場合は 0 になります。 ${\displaystyle x\in ]a,b[}$

拡張機能とアプリケーション

ベイツ分布は、いくつかの修正を加えると、一様分布、三角分布、および n が無限大に近づく極限をとると、正規ガウス分布も包含されます。^{[引用が必要]}

平均Xを計算する際に項を に置き換えると、1のような一定の分散を持つ同様の分布が作成されます。そして、平均を減算することで、分布の平均は0に設定されます。したがって、パラメータnは純粋に形状を調整するパラメータになります。また、nを非整数にすることで、非常に柔軟な分布を作成できます。例えば、U (0,1) + 0.5 U (0,1) は台形分布になります。^[要出典] ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$

スチューデントt分布は、ロングテールデータのモデリングにおいて、正規ガウス分布の自然な拡張を提供します。前述のように一般化されたベイツ分布は、ショートテールデータに対しても同様の目的を果たします。^[要出典]

ベイツ分布は、電気工学分野におけるビームフォーミングとパターン合成に応用されています。この分布は、メインローブのビーム幅を拡大し、単一方向の放射パターンの信号を増加させると同時に、通常は望ましくない^[3]サイドローブレベルを低減することが分かっています。^[4]

参照

• アーウィン・ホール分布
• 正規分布
• 中心極限定理
• 連続均一分布
• 三角分布

参考文献

1. ジョンソン, ノーマン L.; コッツ, サミュエル; バラクリシュナン, ナラヤナスワミ (1995). 「関連分布」.連続一変量分布 第2巻. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  296– 306. ISBN 978-0-471-58494-0。
2. 「d3.random の「アーウィン・ホール分布」という名称のものは、実はベイツ分布です · Issue #1647 · d3/d3」。GitHub 。 2020年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年4月17日閲覧。
3. ブキャナン、クリストファー;アディエミ、ティミ。フローレス・モリーナ、カルロス。サラ・ウィーランド。オーバーターフ、ドリュー（2018年1月）。分散型アンテナ アレイのサイドローブ動作と帯域幅特性。 2018 年米国 URSI 全国無線科学会議全国委員会 (USNC-URSI NRSM)。コロラド州ボルダー、  1 ～ 2ページ。ISBN 978-1-946815-02-6。
4. Berger, US (2003). 「マイクロ波通信」.物理科学技術百科事典. pp.  777– 798. doi :10.1016/B0-12-227410-5/00445-2. ISBN 978-0-12-227410-7。

さらに読む

• ベイツ、グレース・E. (1955). 「一般化ポリアスキームにおける連続事故発生の時間間隔の同時分布」.数理統計年報. 26 (4): 705– 720. doi :10.1214/aoms/1177728429. JSTOR  2236383.

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