ビーム伝播法

ビーム伝搬法（BPM ）は、緩やかに変化する光導波路における光の伝搬をシミュレートするための近似手法です。これは、水中音響学におけるいわゆる放物線方程式（PE）法と本質的に同じです。BPMとPEはどちらも1970年代に初めて導入されました。波が導波路に沿って長距離（波長よりも長い距離）伝搬する場合、厳密な数値シミュレーションは困難です。BPMは、一方向性モデルとも呼ばれる近似微分方程式に基づいています。これらの一方向性モデルは、変数z（導波路軸）の一次微分のみを含み、「初期」値問題として解くことができます。「初期」値問題は時間ではなく、空間変数zに関するものです。^[¹^]

オリジナルの BPM と PE は、緩やかに変化するエンベロープ近似から導出されたもので、いわゆる近軸一方向モデルと呼ばれます。それ以来、改良された一方向モデルが数多く導入されています。これらは、平方根演算子を含む一方向モデルに由来しています。これらは、平方根演算子に有理近似を適用することで得られます。一方向モデルが得られた後も、変数 z を離散化して解く必要があります。ただし、2 つのステップ (平方根演算子の有理近似と z の離散化) を 1 つのステップに統合することは可能です。つまり、いわゆる一方向伝搬関数 (平方根演算子の指数関数) の有理近似を直接求めることができます。有理近似は簡単ではありません。標準的な対角パデ近似では、いわゆるエバネッセントモードをうまく処理できません。これらのエバネッセントモードは z で急速に減衰するはずですが、対角パデ近似では、導波路に沿って伝搬モードとして誤って伝搬されてしまいます。エバネッセントモードを抑制できる修正有理近似が利用可能になりました。エネルギー保存一方向性モデルまたは単一散乱一方向性モデルを用いることで、BPMの精度をさらに向上させることができます。

原則

BPMは一般に、時間調和の場合のヘルムホルツ方程式の解として定式化される。 ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

(\nabla ^{2}+k_{0}^{2}n^{2})\psi =0

フィールドは次のように記述されます。

E(x,y,z,t)=\psi (x,y)\exp(-j\omega t)

。

この磁場の空間依存性はTEまたはTM偏光のいずれかに応じて記述される。

\psi (x,y)=A(x,y)\exp(+jk_{o}\nu y)

、

封筒と一緒に

A(x,y)

ゆっくりと変化する近似に従って、

{\frac {\partial^{2}(A(x,y))}{\partialy^{2}}}=0

これをヘルムホルツ方程式に置き換えると、次のようになる。

\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+k_{0}^{2}(n^{2}-\nu ^{2})\right]A(x,y)=\pm 2jk_{0}\nu {\frac {\partial A_{k}(x,y)}{\partial y}}

あらゆる時間における空間上のあらゆる点における場を計算するためには、関数を全空間について計算するだけでよく、それによってを再構築することができます。解は時間調和ヘルムホルツ方程式に対するものなので、1つの時間周期について計算するだけで済みます。伝搬方向に沿った場、つまり導波路モードの断面積を可視化することができます。 $A(x,y)$ $\psi (x,y)$

数値解析法

離散化マスター方程式の数値解法には、空間領域法と周波数（スペクトル）領域法の両方が利用可能です。グリッドに離散化し（さまざまな集中差分法、クランク・ニコルソン法、FFT-BPMなどを使用して）、因果関係で並べ替えられた場の値は、伝播方向に沿って反復計算によって場の発展が計算されます。空間領域法では線形方程式を解くことで次のステップ（伝播方向）の場を計算しますが、スペクトル領域法では強力な順方向/逆方向DFTアルゴリズムを使用します。スペクトル領域法には非線形性（屈折率や媒質特性による）があっても安定するという利点がありますが、空間領域法は数値的に不安定になる可能性があります。

アプリケーション

BPMは、集積光デバイス内のフィールドを解くための迅速かつ簡便な手法です。通常、散乱問題ではなく、形状（曲げ、テーパー、終端）のある導波路構造内の強度とモードの解析にのみ使用されます。これらの構造は通常、等方性光学材料で構成されていますが、BPMは液晶などの一般的な異方性材料における光の伝搬をシミュレートできるように拡張されています。これにより、例えば、異方性材料における光の偏光回転、液晶ベースの方向性結合器の調整可能性、LCDピクセルにおける光の回折などを解析できます。

BPMの限界

ビーム伝搬法（BPM）は、緩やかに変化するエンベロープ近似に依存しており、離散的または高速に変化する構造のモデリングには不正確です。基本的な実装では、光が広い角度範囲で伝搬する構造や、例えばシリコンフォトニクスによく見られる高屈折率コントラストのデバイスのモデリングにも不正確です。しかし、高度な実装ではこれらの制限の一部が緩和され、BPMは多くのシリコンフォトニクス構造を含む多くのケースを正確にモデリングできます。

BPM メソッドは双方向伝播をモデル化するために使用できますが、反射を反復的に実装する必要があり、収束の問題が発生する可能性があります。

参照

参考文献

^ Clifford R. Pollock、Michal. Lipson (2003)、Integrated Photonics、Springer、ISBN 978-1-4020-7635-0
^岡本健. 2000 光導波路の基礎（サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック）
^ EE290F: BPM コーススライド、Devang Parekh、バークレー大学、カリフォルニア州

[1] Clifford R. Pollock、Michal. Lipson (2003)、Integrated Photonics、Springer、ISBN 978-1-4020-7635-0

[2] 岡本健. 2000 光導波路の基礎（サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック）

[3] EE290F: BPM コーススライド、Devang Parekh、バークレー大学、カリフォルニア州

[

[ 2 ]

[ 3 ]