ビーマンのアルゴリズム

数値積分アルゴリズム

ビーマンのアルゴリズムは、2次の常微分方程式、より具体的にはニュートンの運動方程式を数値的に積分する 方法です。分子動力学のシミュレーションで多数の粒子を扱えるように設計されました。この方法には、直接的または明示的な変種と暗黙的な変種があります。直接的な変種は、ビーマンからの個人的な通信として1973年にスコフィールドによって発表されました^[1]。これは、一般的にビーマン法として知られています。これは、ヴェルレ積分法の変種です。同じ位置が生成されますが、速度に対して異なる式を使用します。ビーマンは1976年に暗黙的（予測子–修正子）マルチステップ法のクラスを発表しました^{[2] 。}ビーマン法はこのクラスの3次法の直接的な変種です。 ${\displaystyle {\ddot {x}}=A(x)}$

方程式

完全な予測修正器^[2]方式 で時刻における位置を計算するために使用される式は次のとおりです。 ${\displaystyle t+\Delta t}$

• 時にはデータから予測し、 ${\displaystyle x(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t-\Delta t}$ $${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\bigl [}4a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$$
• 時刻におけるデータから時刻における位置と速度を修正し、微分方程式を繰り返し評価して加速度と暗黙システムの方程式を取得します。テストの結果、この補正ステップは最大2回繰り返す必要があることがわかりました。右側の値は前回の反復における古い値であり、その結果、左側の新しい値が得られます。 ${\displaystyle t+\Delta t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\Delta t}$ ${\displaystyle a(t+\Delta t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\bigl [}a(t+\Delta t)+2a(t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\\[1ex]v(t+\Delta t)\Delta t&=x(t+\Delta t)-x(t)+{\frac {1}{6}}{\bigl [}2a(t+\Delta t)+a(t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\end{aligned}}}$$

予測式と速度補正式のみを用いると、直接法または明示法^[1]が得られる。これはヴェルレ積分法の変種である^[3]。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\bigl [}4a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\bigl [}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t+O(\Delta t^{3});\end{aligned}}}$$

これは通常、ビーマン法として理解されている変種です。

ビーマン^{[2]はまた、最後の式の速度更新を2次の}アダムス・モールトン法に置き換えることを提案した。

$${\displaystyle v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{12}}{\bigl [}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t){\bigr ]}\Delta t+O(\Delta t^{3})}$$

どこ

• ${\displaystyle t}$現在時刻（すなわち独立変数）である
• ${\displaystyle \Delta t}$時間ステップサイズ
• ${\displaystyle x(t)}$時刻tにおける位置
• ${\displaystyle v(t)}$時刻tにおける速度
• ${\displaystyle a(t)}$は時刻tにおける加速度であり、次の関数として計算される。 ${\displaystyle x(t)}$
• 最後の項は誤差項であり、大文字のO記法を用いる。

予測子と修正子の修正

力が位置に加えて速度の関数であるシステムでは、上記の式を予測子-修正子形式に変更して、時間における速度を予測し、力を計算し、その後速度の修正形式を生成する必要があります。 ${\displaystyle t+\Delta t}$

例は次のとおりです。

$${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a(t-\Delta t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$$

次に、位置からその時点の速度を計算（予測）します。 ${\displaystyle t=t+\Delta t}$

$${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(predicted)}}=v(t)+{\frac {3}{2}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{2}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$$

次に、位置と予測速度から時間における加速度を計算し、速度を修正します。 ${\displaystyle a(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle t=t+\Delta t}$

$${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(corrected)}}=v(t)+{\frac {5}{12}}a(t+\Delta t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{12}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$$

誤差項

上に示したように、局所誤差項は位置と速度に作用し、結果として全体誤差は となります。これに対し、Verlet法は位置と速度に作用します。Beeman法はより高い精度と引き換えに、計算コストがやや高くなります。 ${\displaystyle O(\Delta t^{4})}$ ${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$ ${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$ ${\displaystyle O(\Delta t^{2})}$

メモリ要件

シミュレーションでは、位置、速度、加速度、および粒子ごとの以前の加速度ベクトルを追跡する必要があります (以前の加速度ベクトルを保存するための巧妙な回避策はいくつか可能ですが)。そのため、メモリ要件は速度 Verlet と同等になり、元の Verlet 法よりもわずかにコストが高くなります。

参考文献

1. Schofield, P. (1973)、「液体状態のコンピュータシミュレーション研究」、Computer Physics Communications、5 (1): 17– 23、Bibcode :1973CoPhC...5...17S、doi :10.1016/0010-4655(73)90004-0
2. ビーマン、デイビッド（1976）「分子動力学計算におけるマルチステップ法」、計算物理学ジャーナル、第20巻、第2号、pp.  130– 139、Bibcode：1976JCoPh..20..130B、doi：10.1016/0021-9991(76)90059-0
3. レビット、マイケル；メイロヴィッチ、ハガイ；フーバー、R.（1983）「運動方程式の積分」、分子生物学ジャーナル、168（3）：617-620、doi：10.1016/S0022-2836（83）80305-2、PMID  6193281

• Sadus, Richard J. (2002) 『流体の分子理論：理論、アルゴリズム、オブジェクト指向』 Elsevier、p. 231、ISBN 0-444-51082-6

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