ベルトラミベクトル場

ベクトル解析において、ベルトラミベクトル場（ベルトラミベクトルばしょ）は、エウジェニオ・ベルトラミにちなんで名付けられた、自身の回転に平行な3次元ベクトル場である。すなわち、Fはベルトラミベクトル場であるためには、 $\mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$

したがって、とは平行ベクトル、言い換えれば、です。 $\mathbf {F}$ $\nabla \times \mathbf {F}$ $\nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F}$

がソレノイドである場合、つまり非圧縮性流体や磁場の場合、恒等式は次のようになり、これは次の式に繋がり、さらにが定数であると仮定すると、単純な形が得られる。 $\mathbf {F}$ $\nabla \cdot \mathbf {F} =0$ $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )$ $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F}$ $-\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )$ $\lambda$ $\nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .$

回転角がゼロでないベルトラミベクトル場は、3 次元のユークリッド接触形式に対応します。

ベクトル場は標準接触構造 − z i + jの倍数であり、ベルトラミベクトル場の一例となります。 $\mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j}$

ベルトラミ場と流体力学

定数比例係数を持つベルトラミ場は、回転作用素の固有関数として作用するベクトル場の独特なカテゴリである。本質的には、ベルトラミ場は、ユークリッド空間または平坦トーラス上の3次元空間内の点を、同じ空間内の他の点に写す関数である。数学的には、これは次のように表される。 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {T} ^{3}$

$u:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ (ユークリッド空間の場合) または(平坦トーラスの場合)。 $u:\mathbb {T} ^{3}\to \mathbb {T} ^{3}$

これらのベクトル場は、ベクトル場の回転と場自体の間に特別な関係があるため、独特なものとなります。この関係は次の式で表すことができます。 $u$

$\nabla \times u=\lambda u$

この式では、はゼロ以外の定数であり、ベクトル場の回転が場自体に比例することを示します。 $\lambda$ $u$

ベルトラミ場は流体力学において重要であり、3次元オイラー方程式の定常解の古典的な族を提供する。^[1]オイラー方程式は理想的な非圧縮性流体の運動を記述し、2つの方程式の系として表される。

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}+(u\cdot \nabla )u=-\nabla p,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}$ 定常流、すなわち速度場が時間とともに変化しない流れの場合、ベルヌーイ関数と渦度を導入することができます。これらの新しい変数は、オイラー方程式を次の系に簡略化します。 $u$ ${\frac {\partial u}{\partial t}}=0$ $B:=p+{\frac {1}{2}}\lVert u\rVert ^{2}$ $\omega :=\nabla \times u$

${\begin{cases}u\times \omega =\nabla B,\\\nabla \cdot u=0.\end{cases}}$ この簡略化は、対流項を運動エネルギーの勾配と速度場とその回転の外積に関連付けるベクトル恒等式によって可能になります。 $(u\cdot \nabla )u$

$(u\cdot \nabla )u={\frac {1}{2}}\nabla \lVert u\rVert ^{2}-u\times (\nabla \times u)$

ベルヌーイ関数が定数である場合、ベルトラミ体は簡略化されたオイラー方程式の有効な解となる。証明が成立するために比例係数が定数である必要はないことに注意されたい。 $B$

ベルトラミ場と流体力学における複雑性

ベルトラミ場は、 VIアーノルドの定常オイラー流に関する研究で示されているように、ラグランジュ乱流と密接な関係があります。 ^[2]^[3]

アーノルドの「予想」

アーノルドの前述の著作からの引用は、ベルトラミ場の流線のおそらく複雑な位相を強調し、天体力学との類似点を描いています。

最も可能性が高いのは、トポロジのコンプライケに基づいて、腐りかけている状況です。専門家による合併症の解明。 Latopologie des lignes de courant des écoulements stationnaires des Fluides visqueux peut être semblable à celle de mécanique céleste. $\nu =\lambda \nu$ $\lambda =Cte$

提案された解決策

最近の論文^[4]は、ベルトラミ場が高確率でカオス領域と複素位相の不変トーラスを示すことを示している。この解析には、馬蹄形、零点、結び目のある不変トーラスの数の漸近的境界、およびガウスランダムベルトラミ場における周期軌道が含まれている。

参照

参考文献

アリス、ラザフォード（1989）、ベクトル、テンソル、流体力学の基本方程式、ドーバー、ISBN 0-486-66110-5
Lakhtakia、Akhlesh (1994)、キラルメディアのベルトラミ場、World Scientific、ISBN 981-02-1403-0
Etnyre, J.; Ghrist, R. (2000)、「接触位相と流体力学。I. ベルトラミ場とザイフェルト予想」、非線形性、13 (2): 441– 448、Bibcode :2000Nonli..13..441E、doi :10.1088/0951-7715/13/2/306。

参考文献

^ 流体力学における位相的手法. doi :10.1007/978-3-030-74278-2.
^ ウラジミール、アーノルド (1966)。「流体パフェの流体力学による無限の次元とアプリケーションのグループの異なる幾何学的配置」。フーリエ研究所の分析。16 (1): 319–361 .土井: 10.5802/aif.233。ISSN 1777-5310。
^ アーノルド、ウラジミール I. (2014)、アーノルド、ウラジミール I.;ギメンタル、アレクサンダー B.ケシン、ボリス A. Varchenko、Alexander N. (編)、「Sur la topologie des écoulements stationnaires des fludes parfaits」、Vladimir I. Arnold - Collected Works: Hydrodynamics、Bifurcation Theory、および Algebraic Geometry 1965-1972、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、pp. 15–18、土肥:10.1007/978-3-642-31031-7_3、ISBN 978-3-642-31031-7、2023年5月1日取得
^エンシソ, アルベルト; ペラルタ＝サラス, ダニエル; ロマニエガ, アルバロ (2023). 「ベルトラミ場はほぼ確実 に結び目とカオスを示す」. Forum of Mathematics, Sigma . 11. arXiv : 2006.15033 . doi : 10.1017/fms.2023.52 . ISSN 2050-5094.

[:1-1] 流体力学における位相的手法. doi :10.1007/978-3-030-74278-2.

[2] ウラジミール、アーノルド (1966)。「流体パフェの流体力学による無限の次元とアプリケーションのグループの異なる幾何学的配置」。フーリエ研究所の分析。16 (1): 319–361 .土井: 10.5802/aif.233。ISSN 1777-5310。

[:0-3] アーノルド、ウラジミール I. (2014)、アーノルド、ウラジミール I.;ギメンタル、アレクサンダー B.ケシン、ボリス A. Varchenko、Alexander N. (編)、「Sur la topologie des écoulements stationnaires des fludes parfaits」、Vladimir I. Arnold - Collected Works: Hydrodynamics、Bifurcation Theory、および Algebraic Geometry 1965-1972、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、pp. 15–18、土肥:10.1007/978-3-642-31031-7_3、ISBN 978-3-642-31031-7、2023年5月1日取得

[4] ^エンシソ, アルベルト; ペラルタ＝サラス, ダニエル; ロマニエガ, アルバロ (2023). 「ベルトラミ場はほぼ確実 に結び目とカオスを示す」. Forum of Mathematics, Sigma . 11. arXiv : 2006.15033 . doi : 10.1017/fms.2023.52 . ISSN 2050-5094.