板の曲げ

Deformation of slabs under load

横方向の圧力が作用する、エッジクランプされた円板の曲げ。板の左半分は変形後の形状を示し、右半分は変形前の形状を示しています。この計算はAnsysを使用して実行されました

板の曲げ、または板の曲げとは、外力とモーメントの作用下で、板の平面に垂直な板のたわみを指します。たわみの量は、適切な板理論の微分方程式を解くことで決定できます。板の応力は、これらのたわみから計算できます。応力がわかれば、破壊理論を使用して、特定の荷重下で板が破損するかどうかを判断できます。

キルヒホッフ・ラブ板の曲げ

平板にかかる力とモーメント

定義

厚さ、ヤング率、ポアソン比の薄い長方形板の場合、板のたわみ、によってパラメータを定義できます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$

曲げ剛性は次のように与えられます

${\displaystyle D={\frac {EH^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)}}}$

モーメント

単位長さあたりの曲げモーメントは次のように与えられます

${\displaystyle M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle M_{y}=-D\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

単位長さあたりのねじりモーメントは次のように与えられます

${\displaystyle M_{xy}=-D\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

力

単位長さあたりのせん断力は次のように与えられます

${\displaystyle Q_{x}=-D{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle Q_{y}=-D{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

応力

曲げ応力は次のように与えられます

${\displaystyle \sigma _{x}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{y}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}$

せん断応力は次のように与えられます

${\displaystyle \tau _{xy}=-{\frac {12Dz}{H^{3}}}\left(1-\nu \right){\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

ひずみ

微小変形理論における曲げひずみは次のように表されます。

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}=-z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}}$

微小変形理論におけるせん断ひずみは次のように表されます。

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=-2z{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}}$

大変形板理論では、膜ひずみを考慮する必要があります。

${\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

たわみ

たわみは次のように表されます。

${\displaystyle u=-z{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

${\displaystyle v=-z{\frac {\partial w}{\partial y}}}$

導出

板のキルヒホッフ・ラブ板理論における支配方程式は^[1]です。

${\displaystyle N_{\alpha \beta ,\alpha }=0}$

および

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q=0}$

展開形では、

${\displaystyle {\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0}$

および

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q}$

ここで、は単位面積あたりの横方向荷重、板の厚さは、応力は、 ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle H=2h}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~.}$

量の単位は単位長さあたりの力です。量の単位は単位長さあたり のモーメントです ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

ヤング率とポアソン比を持つ等方性均質板の場合、これらの式は^[2]に簡約されます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}={\cfrac {H^{3}E}{12(1-\nu ^{2})}}}$

ここで、は板の中央面のたわみです。 ${\displaystyle w(x_{1},x_{2})}$

薄い長方形板の微小たわみ

これは、ジェルマン-ラグランジュ板方程式によって支配されます。

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}}$

この方程式は、理論の基礎を提供したジェルマンの研究を修正する中で、1811年12月にラグランジュによって初めて導き出されました

薄い長方形板の大たわみ

これは、フェップル・フォン・カルマン 板方程式によって支配されます。

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}F}{\partial y^{4}}}=E\left[\left({\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)^{2}-{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {q}{D}}+{\cfrac {H}{D}}\left({\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}-2{\cfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)}$

ここで、は応力関数です。 ${\displaystyle F}$

キルヒホッフ・ラブ円板

円板の曲げは、適切な境界条件で支配方程式を解くことで調べることができます。これらの解は、1829年にポアソンによって初めて発見されました。円筒座標はこのような問題に便利です。ここで、は板の中心面からの点の距離です。 ${\displaystyle z}$

座標フリー形式の支配方程式は

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

円筒座標では、 ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$

対称的に荷重がかかった円板の場合、、となり、 ${\displaystyle w=w(r)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

したがって、支配方程式は

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

とが定数である場合、支配方程式を直接積分すると、 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {qr^{4}}{64D}}+C_{1}\ln r+{\cfrac {C_{2}r^{2}}{2}}+{\cfrac {C_{3}r^{2}}{4}}(2\ln r-1)+C_{4}}$

は定数です。たわみ面の勾配は ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle \phi (r)={\cfrac {dw}{dr}}=-{\frac {qr^{3}}{16D}}+{\frac {C_{1}}{r}}+C_{2}r+C_{3}r\ln r\,.}$

円板の場合、たわみとたわみの傾きが で有限であるという要件は、を意味します。しかし、 は0 に等しい必要はありません。右から近づくにつれての極限が存在するためです。しかし、 の場合、 の2次導関数は中心で発散し、点状の欠陥に対応します。 ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle C_{1}=0}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle r\ln r\,}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle C_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle w}$

固定端

固定端を持つ円板の場合、板の端（半径 ）では、 となります。これらの境界条件を使用し、 と設定すると、次のようになります 。 ${\displaystyle w(a)=0}$ ${\displaystyle \phi (a)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C_{3}=0}$

${\displaystyle w(r)=-{\frac {q}{64D}}(a^{2}-r^{2})^{2}\quad {\text{and}}\quad \phi (r)={\frac {qr}{16D}}(a^{2}-r^{2})\,.}$

板の面内変位は

${\displaystyle u_{r}(r)=-z\phi (r)\quad {\text{and}}\quad u_{\theta }(r)=0\,.}$

板の面内ひずみは

${\displaystyle \varepsilon _{rr}={\cfrac {du_{r}}{dr}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-3r^{2})~,~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {u_{r}}{r}}=-{\frac {qz}{16D}}(a^{2}-r^{2})~,~~\varepsilon _{r\theta }=0\,.}$

板の面内応力は

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{rr}+\nu \varepsilon _{\theta \theta }\right]~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left[\varepsilon _{\theta \theta }+\nu \varepsilon _{rr}\right]~;~~\sigma _{r\theta }=0\,.}$

厚さ の板の場合、曲げ剛性は であり、次のようになります。 ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle D=2Eh^{3}/[3(1-\nu ^{2})]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{\theta \theta }&=-{\frac {3qz}{32h^{3}}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]\\\sigma _{r\theta }&=0\,.\end{aligned}}}$

モーメント合力（曲げモーメント）は

${\displaystyle M_{rr}=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(3+\nu )r^{2}\right]~;~~M_{\theta \theta }=-{\frac {q}{16}}\left[(1+\nu )a^{2}-(1+3\nu )r^{2}\right]~;~~M_{r\theta }=0\,.}$

最大ラジアル応力は およびで発生します。 ${\displaystyle z=h}$ ${\displaystyle r=a}$

${\displaystyle \left.\sigma _{rr}\right|_{z=h,r=a}={\frac {3qa^{2}}{16h^{2}}}={\frac {3qa^{2}}{4H^{2}}}}$

ここで です。境界と板の中心における曲げモーメントは ${\displaystyle H:=2h}$

${\displaystyle \left.M_{rr}\right|_{r=a}={\frac {qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=a}={\frac {\nu qa^{2}}{8}}~,~~\left.M_{rr}\right|_{r=0}=\left.M_{\theta \theta }\right|_{r=0}=-{\frac {(1+\nu )qa^{2}}{16}}\,.}$

長方形キルヒホッフ・ラブ板

単位面積あたりの分布力の作用下での長方形板の曲げ ${\displaystyle q}$

ナビエは1820年に、長方形の板が単純支持されている場合の変位と応力を求める簡単な方法を導入しました。その考え方は、作用する荷重をフーリエ成分で表し、正弦波荷重（単一のフーリエ成分）の解を求め、次にフーリエ成分を重ね合わせることで任意の荷重の解を得るというものでした。

正弦波荷重

荷重が次の式であると仮定しましょう。

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

は振幅、は板の-方向の幅、は板の-方向 の幅です ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$

板は単純支持されているため、板の縁に沿った変位はゼロ、曲げモーメントはおよびでゼロ、および でゼロです。 ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle M_{xx}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle M_{yy}}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$

これらの境界条件を適用して板方程式を解くと、解は次のようになります。

${\displaystyle w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {\pi x}{a}}\sin {\frac {\pi y}{b}}\,.}$

ここで、Dは曲げ剛性です。

${\displaystyle D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}$

曲げ剛性EIに類似しています。^[3]変位がわかれば、板の応力とひずみを計算できます。

より一般的な形の荷重の場合、

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

とが整数の場合、解は次のようになります 。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad w(x,y)={\frac {q_{0}}{\pi ^{4}D}}\,\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{-2}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,.}$

ナビエ解

二重三角級数方程式

次の形の一般荷重を定義します。 ${\displaystyle q(x,y)}$

${\displaystyle q(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

ここで、はフーリエ係数 で、 ${\displaystyle a_{mn}}$

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}q(x,y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$。

したがって、小さなたわみに対する古典的な長方形板方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\cfrac {1}{D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

一般荷重を受ける単純支持板

次の形の解を仮定します。 ${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

この関数の偏微分は

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{4}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

これらの式を板方程式に代入すると、次のようになります。

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {a_{mn}}{D}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

2つの式を等しくすると、次のようになります。

${\displaystyle \left(\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}\right)^{2}w_{mn}={\cfrac {a_{mn}}{D}}}$

これを整理すると、次のようになります

${\displaystyle w_{mn}={\frac {1}{\pi ^{4}D}}{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}}$

単純支持板（コーナー原点）の一般荷重によるたわみは、次のように表されます。

${\displaystyle w(x,y)={\frac {1}{\pi ^{4}D}}\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{mn}}{\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

均一分布荷重を受ける単純支持板

mm、mm、mm、GPa、荷重kPaにおける長方形板の変位と応力。赤い線は板の底部、緑の線は中央、青い線は板の上部を表します。 ${\displaystyle x=a/2}$ ${\displaystyle a=20}$ ${\displaystyle b=40}$ ${\displaystyle H=2h=0.4}$ ${\displaystyle E=70}$ ${\displaystyle \nu =0.35}$ ${\displaystyle q_{0}=-10}$

均一分布荷重の場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

対応するフーリエ係数は次のように表されます。

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}q_{0}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\,{\text{d}}x{\text{d}}y}$。

二重積分を評価すると、 次の式で表されます。

${\displaystyle a_{mn}={\frac {4q_{0}}{\pi ^{2}mn}}(1-\cos m\pi )(1-\cos n\pi )}$、

または区分形式では、次の式で表されます。

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\cfrac {16q_{0}}{\pi ^{2}mn}}&m~{\text{and}}~n~{\text{odd}}\\0&m~{\text{or}}~n~{\text{even}}\end{cases}}}$

均一分布荷重を受ける単純支持板（コーナー原点）のたわみは、次のように表されます。

${\displaystyle w(x,y)={\frac {16q_{0}}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {1}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

板の単位長さあたりの曲げモーメントは、

${\displaystyle M_{x}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+\nu {\frac {n^{2}}{b^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

${\displaystyle M_{y}={\frac {16q_{0}}{\pi ^{4}}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\sum _{n=1,3,5,...}^{\infty }{\frac {{\frac {n^{2}}{b^{2}}}+\nu {\frac {m^{2}}{a^{2}}}}{mn\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}}$

レヴィ解

1899年にレヴィ^[4]によって別のアプローチが提案されました。この場合、変位の仮定形から始めて、支配方程式と境界条件が満たされるようにパラメータをフィッティングします。目標は、およびにおける境界条件、そしてもちろん支配方程式を満たすようなものを見つけることです。 ${\displaystyle Y_{m}(y)}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=q/D}$

と仮定しましょう

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }Y_{m}(y)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

およびに沿って単純支持されている板の場合、境界条件はおよびです。これらのエッジに沿った変位に変化がないため、およびとなり、モーメント境界条件は等価な式に簡約されます。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle M_{xx}=0}$ ${\displaystyle \partial w/\partial y=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial y^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}w/\partial x^{2}=0}$

エッジに沿ったモーメント

純粋なモーメント荷重の場合を考えてみましょう。その場合、およびはを満たす必要があります。直交座標系で作業しているため、支配方程式は次のように展開できます。 ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}=0\,.}$

支配方程式にの式を代入すると、 ${\displaystyle w(x,y)}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{4}Y_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}-2\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+{\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\right]=0}$

または

${\displaystyle {\frac {d^{4}Y_{m}}{dy^{4}}}-2{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}{\cfrac {d^{2}Y_{m}}{dy^{2}}}+{\frac {m^{4}\pi ^{4}}{a^{4}}}Y_{m}=0\,.}$

これは一般解を持つ常微分方程式です。

${\displaystyle Y_{m}=A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+C_{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}}$

ここで、は境界条件から決定できる定数です。したがって、変位解は次のようになります。 ${\displaystyle A_{m},B_{m},C_{m},D_{m}}$

${\displaystyle w(x,y)=\sum _{m=1}^{\infty }\left[\left(A_{m}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(C_{m}+D_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\right)\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right]\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,.}$

板の境界が（前と同じ）および（およびではない）にあるように座標系を選択しましょう。そうすると、境界におけるモーメント境界条件は次のようになります。 ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle y=\pm b/2}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=b}$ ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle w=0\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=b/2}=f_{1}(x)\,,-D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}{\Bigr |}_{y=-b/2}=f_{2}(x)}$

ここで、は既知の関数です。これらの境界条件を適用することで解を求めることができます。対称の場合、 ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

および

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)=\sum _{m=1}^{\infty }E_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

となる

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\cosh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}\right)}$

ここで

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\,.}$

同様に、反対称の場合 、

${\displaystyle M_{yy}{\Bigr |}_{y=-b/2}=-M_{yy}{\Bigr |}_{y=b/2}}$

となる

${\displaystyle w(x,y)={\frac {a^{2}}{2\pi ^{2}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {E_{m}}{m^{2}\sinh \alpha _{m}}}\,\sin {\frac {m\pi x}{a}}\,\left(\alpha _{m}\coth \alpha _{m}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-{\frac {m\pi y}{a}}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}\right)\,.}$

対称解と反対称解を重ね合わせることで、より一般的な解を得ることができます。

均一分布荷重を受ける単純支持板

均一分布荷重の場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle q(x,y)=q_{0}}$

均一分布荷重を受ける中心を持つ単純支持板のたわみは、次のように表されます。 ${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},0\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {q_{0}a^{4}}{D}}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }\left(A_{m}\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}+G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}\\\\&{\begin{aligned}{\text{where}}\quad &A_{m}=-{\frac {2\left(\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}+2\right)}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&B_{m}={\frac {2}{\pi ^{5}m^{5}\cosh \alpha _{m}}}\\&G_{m}={\frac {4}{\pi ^{5}m^{5}}}\\\\{\text{and}}\quad &\alpha _{m}={\frac {m\pi b}{2a}}\end{aligned}}\end{aligned}}}$

板の単位長さあたりの曲げモーメントは、

${\displaystyle M_{x}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(\nu -1\right)A_{m}+2\nu B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(\nu -1\right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

${\displaystyle M_{y}=-q_{0}\pi ^{2}a^{2}\sum _{m=1,3,5,...}^{\infty }m^{2}\left(\left(\left(1-\nu \right)A_{m}+2B_{m}\right)\cosh {\frac {m\pi y}{a}}+\left(1-\nu \right)B_{m}{\frac {m\pi y}{a}}\sinh {\frac {m\pi y}{a}}-\nu G_{m}\right)\sin {\frac {m\pi x}{a}}}$

均一モーメント荷重と対称モーメント荷重

荷重が対称でモーメントが均一な特殊なケースでは、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle y=\pm b/2}$

${\displaystyle M_{yy}=f_{1}(x)={\frac {4M_{0}}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{2m-1}}\,\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,.}$

辺とに沿った均一な曲げモーメントを受ける長方形板の変位と応力。曲げ応力は板の底面に沿っています。横せん断応力は板の中央面に沿っています。 ${\displaystyle y=-b/2}$ ${\displaystyle y=b/2}$ ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{yz}}$

結果として得られる変位は

${\displaystyle {\begin{aligned}&w(x,y)={\frac {2M_{0}a^{2}}{\pi ^{3}D}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)^{3}\cosh \alpha _{m}}}\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\times \\&~~\left[\alpha _{m}\,\tanh \alpha _{m}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\end{aligned}}}$

ここで

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {\pi (2m-1)b}{2a}}\,.}$

変位に対応する曲げモーメントとせん断力は ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&={\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\sin {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[-{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left\{{\frac {2\nu }{1-\nu }}+\alpha _{m}\tanh \alpha _{m}\right\}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&=-{\frac {2M_{0}(1-\nu )}{\pi }}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(2m-1)\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\,\times \\&~\left[{\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}+\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.(1-\alpha _{m}\tanh \alpha _{m})\sinh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {4M_{0}}{a}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\cosh \alpha _{m}}}\,\times \\&~\cos {\frac {(2m-1)\pi x}{a}}\cosh {\frac {(2m-1)\pi y}{a}}\,.\end{aligned}}}$

応力

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

円筒板の曲げ

円筒曲げは、寸法がで厚さが小さい長方形板が、板の平面に垂直な均一分布荷重を受けるときに発生します。このような板は円筒面の形状をとります。 ${\displaystyle a\times b\times h}$ ${\displaystyle a\ll b}$ ${\displaystyle h}$

軸方向に固定された端部を持つ単純支持板

回転は自由だが固定されたエッジを持つ円筒曲げを受ける単純支持板の場合、円筒曲げの解はナビエ法とレヴィ法を用いて求めることができます。 ${\displaystyle x_{1}}$

厚いミンドリン板の曲げ

厚板の場合、変形後の板厚方向のせん断が中央面の法線の向きに及ぼす影響を考慮する必要があります。 レイモンド・D・ミンドリンの理論は、このような板の変形と応力を求めるための1つのアプローチを提供します。ミンドリンの理論の解は、正準関係を用いて等価なキルヒホッフ・ラブ解から導くことができます。^[5]

支配方程式

等方性厚板の正準支配方程式は次のように表すことができます。^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\mathcal {M}}-{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q\right)=-q\\&\kappa Gh\left(\nabla ^{2}w+{\frac {\mathcal {M}}{D}}\right)=-\left(1-{\cfrac {{\mathcal {B}}c^{2}}{1+\nu }}\right)q\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\end{aligned}}}$

ここで、は印加横荷重、はせん断弾性率、は曲げ剛性、は板厚、、は せん断補正係数、はヤング率、はポアソン比、 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D=Eh^{3}/[12(1-\nu ^{2})]}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c^{2}=2\kappa Gh/[D(1-\nu )]}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=D\left[{\mathcal {A}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)-(1-{\mathcal {A}})\nabla ^{2}w\right]+{\frac {2q}{1-\nu ^{2}}}{\mathcal {B}}\,.}$

ミンドリンの理論では、は板の中央面の横方向変位、およびはそれぞれ軸と軸の周りの中央面法線の回転です。この理論の正準パラメータはとです。せん断補正係数は通常、値を持ちます ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=0}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 5/6}$

支配方程式の解は、対応するキルヒホッフ・ラブ解がわかっていれば、以下の関係を用いて求めることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}w&=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)-\Phi +\Psi \\\varphi _{1}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{1}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{1}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{2}}}\\\varphi _{2}&=-{\frac {\partial w^{K}}{\partial x_{2}}}-{\frac {1}{\kappa Gh}}\left(1-{\frac {1}{\mathcal {A}}}-{\frac {{\mathcal {B}}c^{2}}{2}}\right)Q_{2}^{K}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {D}{\kappa Gh{\mathcal {A}}}}\nabla ^{2}\Phi +\Phi -\Psi \right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Omega }{\partial x_{1}}}\end{aligned}}}$

ここで、キルヒホッフ・ラブ板の予測変位、は重調和関数で、はラプラス方程式、を満たす関数、および ${\displaystyle w^{K}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\Phi =0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}&={\mathcal {M}}^{K}+{\frac {\mathcal {B}}{1+\nu }}\,q+D\nabla ^{2}\Phi ~;~~{\mathcal {M}}^{K}:=-D\nabla ^{2}w^{K}\\Q_{1}^{K}&=-D{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)~,~~Q_{2}^{K}=-D{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(\nabla ^{2}w^{K}\right)\\\Omega &={\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}~,~~\nabla ^{2}\Omega =c^{2}\Omega \,.\end{aligned}}}$

単純支持長方形板

単純支持板の場合、マーカスモーメントの和はゼロ、すなわち

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{1+\nu }}(M_{11}+M_{22})=D\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=0\,.}$

これはw[ref 6]のラプラス方程式とほぼ等しくなります。その場合、関数、はゼロになり、ミンドリン解は対応するキルヒホッフ解と次のように関連付けられます。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle w=w^{K}+{\frac {{\mathcal {M}}^{K}}{\kappa Gh}}\,.}$

ライスナー・シュタイン片持ち板の曲げ

片持ち板のライスナー・シュタイン理論^[6]は、集中端荷重を持つ片持ち板について、次の連立常微分方程式を導きます。 ${\displaystyle q_{x}(y)}$ ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\end{aligned}}}$

そして、における境界条件は ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+q_{x1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x2}=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

この2つの常微分方程式系の解は

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{x}(x)&={\frac {q_{x1}}{6bD}}\,(3ax^{2}-x^{3})\\\theta _{x}(x)&={\frac {q_{x2}}{2bD(1-\nu )}}\left[x-{\frac {1}{\nu _{b}}}\,\left({\frac {\sinh(\nu _{b}a)}{\cosh[\nu _{b}(x-a)]}}+\tanh[\nu _{b}(x-a)]\right)\right]\end{aligned}}}$

ここで、変位に対応する曲げモーメントとせん断力は ${\displaystyle \nu _{b}={\sqrt {24(1-\nu )}}/b}$ ${\displaystyle w=w_{x}+y\theta _{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\&=q_{x1}\left({\frac {x-a}{b}}\right)-\left[{\frac {3yq_{x2}}{b^{3}\nu _{b}\cosh ^{3}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\times \\&\quad \left[6\sinh(\nu _{b}a)-\sinh[\nu _{b}(2x-a)]+\sinh[\nu _{b}(2x-3a)]+8\sinh[\nu _{b}(x-a)]\right]\\M_{xy}&=(1-\nu )D{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\\&={\frac {q_{x2}}{2b}}\left[1-{\frac {2+\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-\cosh[\nu _{b}x]}{2\cosh ^{2}[\nu _{b}(x-a)]}}\right]\\Q_{zx}&={\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}\\&={\frac {q_{x1}}{b}}-\left({\frac {3yq_{x2}}{2b^{3}\cosh ^{4}[\nu _{b}(x-a)]}}\right)\times \left[32+\cosh[\nu _{b}(3x-2a)]-\cosh[\nu _{b}(3x-4a)]\right.\\&\qquad \left.-16\cosh[2\nu _{b}(x-a)]+23\cosh[\nu _{b}(x-2a)]-23\cosh(\nu _{b}x)\right]\,.\end{aligned}}}$

応力

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {12z}{h^{3}}}\,M_{xx}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{zx}={\frac {1}{\kappa h}}\,Q_{zx}\left(1-{\frac {4z^{2}}{h^{2}}}\right)\,.}$

端部への荷重が一定であれば、集中端荷重を受ける梁の解が得られます。荷重がの線形関数である場合、 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y={\frac {bq_{0}}{2}}~;~~q_{x2}=\int _{-b/2}^{b/2}yq_{0}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {y}{b}}\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {b^{2}q_{0}}{12}}\,.}$

参照

• 曲げ
• 微小ひずみ理論
• キルヒホッフ・ラブプレート理論
• 線形弾性
• ミンドリン・ライスナー板理論
• 板理論
• 応力（力学）
• 応力合力
• 構造音響
• 板の振動

参考文献

1. Reddy, JN, 2007,弾性板およびシェルの理論と解析, CRC Press, Taylor and Francis.
2. Timoshenko, S. および Woinowsky-Krieger, S., (1959),板およびシェルの理論, McGraw-Hill New York.
3. Cook, RD et al., 2002,有限要素解析の概念と応用, John Wiley & Sons.
4. Lévy, M., 1899, Comptes rendues , vol. 129, pp. 535-539
5. Lim, GT および Reddy, JN, 2003,板の標準曲げ関係について, International Journal of Solids and Structures, vol. 40, pp. 3039-3067
6. E. Reissner と M. Stein. 片持ち梁板のねじりと横方向曲げ。技術ノート 2369、全米航空諮問委員会、ワシントン、1951年。

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