Type of polynomial used in Numerical Analysis
曲線を近似するベルンシュタイン多項式 数値解析 という 数学の 分野において 、 ベルンシュタイン多項式は、ベルンシュタイン基底多項式の 線形結合 として表現される 多項式 です。この概念は、数学者 セルゲイ・ナタノヴィッチ・ベルンシュタイン にちなんで名付けられました 。
この形式の多項式は、 ワイエルシュトラスの近似定理の 構成 的証明において、ベルンシュタインによって初めて用いられました。コンピュータグラフィックスの登場により、区間[0, 1]に制限されたベルンシュタイン多項式は、 ベジェ曲線 の形で重要になりました 。
ベルンシュタイン形式 の多項式を評価する 数値的に安定した 方法は、 ド・カステルジョーのアルゴリズム です 。
4次曲線ブレンディングのためのバーンスタイン基底多項式
意味
バーンスタイン基底多項式 次数の バーン スタイン基底多項式 は次のように定義される。 n + 1 {\displaystyle \ n+1\ } n {\displaystyle \ n\ }
b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , {\displaystyle \ b_{\nu ,n}(x)\ =\ {\binom {n}{\nu }}\ x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }\ ,~~} のために ν = 0 , … , n , {\displaystyle ~~\nu =0\ ,\ \ldots \ ,n\ ,} ここでは 二項係数 です 。 ( n ν ) {\displaystyle \ {\tbinom {n}{\nu }}\ }
例えば、 b 2 , 5 ( x ) = ( 5 2 ) x 2 ( 1 − x ) 3 = 10 x 2 ( 1 − x ) 3 . {\displaystyle \ b_{2,5}(x)\ =\ {\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}\ =\ 10x^{2}(1-x)^{3}~.}
1、2、3、 または 4 つの 値を 混合するための最初のいくつかのバーンスタイン基底多項式は次のとおりです。
b 0 , 0 ( x ) = 1 , b 0 , 1 ( x ) = 1 − x , b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 , b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) , b 2 , 2 ( x ) = x 2 b 0 , 3 ( x ) = ( 1 − x ) 3 , b 1 , 3 ( x ) = 3 x ( 1 − x ) 2 , b 2 , 3 ( x ) = 3 x 2 ( 1 − x ) , b 3 , 3 ( x ) = x 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1\ ,\\b_{0,1}(x)&=1-x\ ,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2}\ ,&b_{1,2}(x)&=2x(1-x)\ ,&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3}\ ,&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2}\ ,&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x)\ ,&b_{3,3}(x)&=x^{3}~.\end{aligned}}} 次数のバーンスタイン基底多項式は、 すべて実係数を持つ 次数までの多項式の ベクトル空間 の 基底 を形成します。 n {\displaystyle \ n\ } Π n {\displaystyle \ \Pi _{n}\ } n , {\displaystyle \ n\ ,}
バーンスタイン多項式 バーンスタイン基底多項式の線形結合
B n ( x ) = ∑ ν = 0 n β ν b ν , n ( x ) {\displaystyle \ B_{n}(x)\ =\ \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)\ } は、ベルンシュタイン多項式 または ベルンシュタイン形式の次数多項式 と 呼ばれます [1] 係数は、 ベルンシュタイン係数 または ベジェ係数 と呼ばれます 。 n . {\displaystyle \ n~.} β ν {\displaystyle \ \beta _{\nu }\ }
上記の 単項式 形式の最初のいくつかのバーンスタイン基底多項式は次のとおりです。
b 0 , 0 ( x ) = 1 , b 0 , 1 ( x ) = 1 − 1 x , b 1 , 1 ( x ) = 0 + 1 x b 0 , 2 ( x ) = 1 − 2 x + 1 x 2 , b 1 , 2 ( x ) = 0 + 2 x − 2 x 2 , b 2 , 2 ( x ) = 0 + 0 x + 1 x 2 b 0 , 3 ( x ) = 1 − 3 x + 3 x 2 − 1 x 3 , b 1 , 3 ( x ) = 0 + 3 x − 6 x 2 + 3 x 3 , b 2 , 3 ( x ) = 0 + 0 x + 3 x 2 − 3 x 3 , b 3 , 3 ( x ) = 0 + 0 x + 0 x 2 + 1 x 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1\ ,\\b_{0,1}(x)&=1-1x\ ,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2}\ ,&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3}\ ,&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3}\ ,&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}~.\end{aligned}}}
プロパティ バーンスタイン基底多項式には次の特性があります。
b ν , n ( x ) = 0 , {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(x)=0\ ,} もし またはもし ν < 0 {\displaystyle \ \nu <0\ } ν > n . {\displaystyle \ \nu >n~.} b ν , n ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(x)\geq 0\ } のために x ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle \ x\in [0,\ 1]~.} b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) . {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}\!(x)~.} b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(0)=\delta _{\nu ,0}\ } クロネッカーのデルタ 関数はどこに あります か ？ b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(1)=\delta _{\nu ,n}\ } δ i , j {\displaystyle \ \delta _{i,j}\ } δ i j = { 0 if i ≠ j , 1 if i = j . {\displaystyle \ \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j\ ,\\1&{\text{if }}i=j~.\end{cases}}} b ν , n ( x ) {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(x)\ } 点に 重複根を持ちます (注: 0 に根がない場合 )。 ν {\displaystyle \ \nu \ } x = 0 {\displaystyle \ x=0\ } ν = 0 , {\displaystyle \ \nu =0\ ,} b ν , n ( x ) {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(x)\ } 点に 重複根を持つ (注: 1 に根がない場合 )。 ( n − ν ) {\displaystyle \ \left(n-\nu \right)\ } x = 1 {\displaystyle \ x=1\ } ν = n , {\displaystyle \ \nu =n\ ,} 導 関数は 、2つの低次バーンスタイン多項式の組み合わせとして表すことができます。 b ν , n ′ ( x ) = n [ b ν − 1 , n − 1 ( x ) − b ν , n − 1 ( x ) ] . {\displaystyle \ b_{\nu ,n}'\!(x)=n{\bigl [}\ b_{\nu -1,n-1}\!(x)\ -\ b_{\nu ,n-1}\!(x)\ {\bigr ]}~.} 0 におけるk 次導 関数 ： b ν , n ( k ) ( 0 ) = n ! ( n − k ) ! ( k ν ) ( − 1 ) ν + k . {\displaystyle \ b_{\nu ,n}^{(k)}\!(0)\ =\ {\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}~.} 1におけるk 次導 関数: b ν , n ( k ) ( 1 ) = ( − 1 ) k b n − ν , n ( k ) ( 0 ) . {\displaystyle \ b_{\nu ,n}^{(k)}(1)\ =\ (-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0)~.} バーンスタイン多項式から単項式への変換は、 逆二項式変換 によって 逆変換は [2]である。 b ν , n ( x ) = ( n ν ) ∑ k = 0 n − ν ( n − ν k ) ( − 1 ) k x ν + k = ∑ ℓ = ν n ( n ℓ ) ( ℓ ν ) ( − 1 ) ℓ − ν x ℓ , {\displaystyle \ b_{\nu ,n}\!(x)\ =\ {\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{k}x^{\nu +k}\ =\ \sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell }\ ,} x k = ∑ i = 0 n − k ( n − k i ) ( n i ) b n − i , n ( x ) = 1 ( n k ) ∑ j = k n ( j k ) b j , n ( x ) . {\displaystyle \ x^{k}\ =\ \sum _{i=0}^{n-k}{\frac {\binom {n-k}{i}}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}\!(x)\ =\ {\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}\!(x)~.} 不定 積分 は次のように与えられる。 ∫ b ν , n ( x ) d x = 1 n + 1 ∑ j = ν + 1 n + 1 b j , n + 1 ( x ) . {\displaystyle \ \int b_{\nu ,n}\!(x)\ \operatorname {d} x={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}\!(x)~.} 定積分は与えられた n に対して一定である 。 ∫ 0 1 b ν , n ( x ) d x = 1 n + 1 {\displaystyle \ \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}\!(x)\ \operatorname {d} x={\frac {1}{n+1}}~~} ν = 0 , 1 , … , n . {\displaystyle ~~\nu =0,1,\ \dots \ ,n~.} の 場合には 、区間上で唯一の局所的最大値を 持ち ます。この最大値は値 n ≠ 0 , {\displaystyle \ n\neq 0\ ,~} b ν , n ( x ) {\displaystyle ~~b_{\nu ,n}\!(x)\ } [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ [0,\,1]\ } x = ν n . {\displaystyle \ x={\frac {\nu }{n}}~.} ν ν n − n ( n − ν ) n − ν ( n ν ) . {\displaystyle \ \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }~.} 次数のベルンシュタイン基底多項式は 1の分割 を形成する 。 n {\displaystyle \ n\ } ∑ ν = 0 n b ν , n ( x ) = ∑ ν = 0 n ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1 . {\displaystyle \ \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)\ =\ \sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }\ =\ \left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1~.} を定数として扱うこと の1次微分 を取り、 その 値を代入すると、 x {\displaystyle x} ( x + y ) n , {\displaystyle \ (x+y)^{n}\ ,} y {\displaystyle \ y\ } y = 1 − x , {\displaystyle \ y=1-x\ ,} ∑ ν = 0 n ν b ν , n ( x ) = n x . {\displaystyle \ \sum _{\nu =0}^{n}\nu \ b_{\nu ,n}\!(x)=n\ x~.} 同様に、を 再び置換したの 2 次導 関数は、 x {\displaystyle \ x\ } ( x + y ) n , {\displaystyle \ (x+y)^{n}\ ,} y {\displaystyle \ y\ } y = 1 − x , {\displaystyle \ y=1-x\ ,} ∑ ν = 1 n ν ( ν − 1 ) b ν , n ( x ) = n ( n − 1 ) x 2 . {\displaystyle \ \sum _{\nu =1}^{n}\nu \left(\nu -1\right)\ b_{\nu ,n}\!(x)=n\left(n-1\right)\ x^{2}~.} バーンスタイン多項式は常に、高次多項式の線形結合として表すことができます。 b ν , n − 1 ( x ) = ( n − ν n ) b ν , n ( x ) + ( ν + 1 n ) b ν + 1 , n ( x ) . {\displaystyle \ b_{\nu ,n-1}\!(x)\ =\ \left({\frac {n-\nu }{n}}\right)\ b_{\nu ,n}\!(x)\ +\ \left({\frac {\nu +1}{n}}\right)\ b_{\nu +1,n}\!(x)~.} 第一種チェビシェフ多項式の ベルンシュタイン基底へ の展開は [3]である。 T n ( u ) = ( 2 n − 1 ) ! ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 n − 2 k − 1 ) ! ! b k , n ( u ) . {\displaystyle \ T_{n}\!(u)\ =\ (2n-1)!!\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {~(-1)^{n-k}\ }{\ (2k-1)!!\ (2n-2k-1)!!\ }}\ b_{k,n}\!(u)~.}
連続関数の近似 ƒ を 区間 [0, 1] 上の 連続関数 とする 。ベルンシュタイン多項式を考える。
B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).} 次のようなことが証明できる。
lim n → ∞ B n ( f ) = f {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f} 区間[0, 1]上で 一様である。 [4] [1] [5] [6]
このように、ベルンシュタイン多項式は、実区間[ a 、 b ]上のすべての実数値連続関数は、 上の多項式関数によって一様に近似できる という ワイエルシュトラスの近似定理 を証明する一つの方法を提供します 。 [7] R {\displaystyle \mathbb {R} }
連続k 次導 関数のより一般的な記述は次のように なる。
‖ B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ ≤ ( n ) k n k ‖ f ( k ) ‖ ∞ and ‖ f ( k ) − B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ → 0 , {\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,} さらに
( n ) k n k = ( 1 − 0 n ) ( 1 − 1 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) {\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)} はB n の 固有値 です 。対応する 固有関数は k 次多項式です 。
確率的証明 この証明は1912年のバーンスタインの最初の証明に従っている。 [8] また、フェラー（1966）またはコラロフ＆シナイ（2007）も参照のこと。 [9] [5]
モチベーション まず、バーンスタインの原証明について直感的に説明しよう。コンパクト区間上の連続関数は、一様連続でなければならない。したがって、任意の連続関数の値は、区間内の有限個の点の集合上の値によって一様近似できる。多項式は有限個のペアに一致する（またはほぼ一致する）ほど柔軟であるべきであることを考えると、この考察は近似定理を直感的に理解できる。 そのためには、(1) 格子上に に近い関数を構築し 、次に (2) 格子の外側の関数を平滑化して多項式を作ることができる。 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} f {\displaystyle f}
以下の確率的証明は、 関数を「平滑化」することが必ずしも自明ではないことを前提として、そのような点格子上で にほぼ等しい多項式を作成するための構成的な方法を単に提供します。単純な分布を持つランダム変数の期待値を取ることは、平滑化の一般的な方法です。ここでは、バーンスタイン多項式が二項期待値のように見えるという事実を利用します。区間を n 個 の離散値の格子に分割します。次に、任意の f(x) を評価するために、二項分布によってランダムに選択された x に近い n 個の 格子点の 1 つで f を 評価します 。この近似手法の期待値は多項式であり、これは二項 RV の関数の期待値です。以下の証明は、これが f の一様近似を達成することを示しています。証明の核心は、(1)二項分布の集中特性によって任意の点を二項的に選ばれた格子点に置き換えることを正当化すること、(2)一様連続性によってからへの推論を正当化すること です 。 f {\displaystyle f} x ≈ X {\displaystyle x\approx X} f ( x ) ≈ f ( X ) {\displaystyle f(x)\approx f(X)}
バーンスタインの証明 Kが 、各試行の成功確率 xで n回 の独立した ベルヌーイ試行 における成功回数として分布する 確率変数 である とする 。言い換えれば、 Kは パラメータ n と xを持つ 二項分布 に従う 。すると、 期待値 と E [ K n ] = x {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }
p ( K ) = ( n K ) x K ( 1 − x ) n − K = b K , n ( x ) {\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)} 確率論 の 大数の弱い法則 によれば 、
lim n → ∞ P ( | K n − x | > δ ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0} さらに 、この関係は x で一様に成り立ち 、 これは チェビシェフの不等式 による証明からわかる。この証明では、 1 ⁄ n K の分散は 1 ⁄ n x (1− x )に等しく、 x に関係なく 1 ⁄ (4 n ) によって上界が制限されることを考慮に入れる 。
ƒ は閉区間上で連続なので、 その区間上で 一様連続で なければならないので、次のような表現が成り立つ。
lim n → ∞ P ( | f ( K n ) − f ( x ) | > ε ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0} 各 について x について一様である。 ƒ が （与えられた区間上で）有界であることを 考慮すると、 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}
lim n → ∞ E ( | f ( K n ) − f ( x ) | ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathbb {E} } \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0} x において一様です 。この記述を正当化するために、確率論で一般的な方法を使用して、確率の近さから期待値の近さに変換します。1つは、 の期待値 を かどうかに基づいて 2 つの部分に分割します。差が ε を 超えない区間では 、期待値は明らかに ε を 超えることはできません。もう一方の区間では、差は依然として 2 M を超えることはできません。ここで、 Mは | ƒ (x)|の上限です(一様連続関数は有界であるため)。ただし、「確率の近さ」の記述により、この区間は ε を超える確率を持つことはできません。したがって、期待値のこの部分は ε の2 M 倍 を超えて寄与することはありません 。すると、全体の期待値は 以下になり、 ε を 小さく選択することで任意に小さくすることができます 。 | f ( K n ) − f ( x ) | {\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|} | f ( K n ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon } ϵ + 2 M ϵ {\displaystyle \epsilon +2M\epsilon }
最後に、ホルダーの不等式の結果、期待値の差の絶対値は、差の絶対値の期待値を超えることはないことが分かります。したがって、上記の期待値を用いると、（ x について一様）
lim n → ∞ | E f ( K n ) − E f ( x ) | ≤ lim n → ∞ E ( | f ( K n ) − f ( x ) | ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\operatorname {\mathbb {E} } f\left({\frac {K}{n}}\right)-\operatorname {\mathbb {E} } f\left(x\right)\right|}\leq \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathbb {E} } \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0} x が定数である間、 K 上のランダム性について考察すると、 f(x) の期待値は f(x) と等しくなります。しかし、 f(x) が f(x) に収束する ことを示しました。これで、 が x の多項式であれ ば説明は終わりです（添え字は x が K の分布を制御する ことを思い出させます ）。実際、次のようになります。 E x f ( K n ) {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)} E x f ( K n ) {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}
E x [ f ( K n ) ] = ∑ K = 0 n f ( K n ) p ( K ) = ∑ K = 0 n f ( K n ) b K , n ( x ) = B n ( f ) ( x ) {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}
上記の証明において、 f を含む各極限における収束は f の一様連続性に依存し 、これは f の 連続性係数 に依存する 収束速度 を意味することを思い出してください。また、収束速度は関数の絶対上限である「M」にも依存しますが、これは境界値 と区間サイズを定義すれば回避できます。したがって、この近似は 固定された fに対して xにわたって一様的にのみ成立しますが、等 連続性 の文脈において、一連のベルンシュタイン多項式を用いて関数の集合を一様近似するように証明を容易に拡張できます 。 ω . {\displaystyle \omega .} ω {\displaystyle \omega }
基本的な証明 確率論的証明は、基礎となる確率論的考え方を用いながらも直接検証を進めることで、初歩的な方法で言い換えることもできる。 [10] [6] [11] [12] [13]
以下の身元を確認できます。
∑ k ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k = 1 {\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1} （"確率"） ∑ k k n ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k = x {\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x} （"平均"） ∑ k ( x − k n ) 2 ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k = x ( 1 − x ) n . {\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.} （"分散"） 実際、二項定理によれば
( 1 + t ) n = ∑ k ( n k ) t k , {\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}
この式は に2回適用することができます 。 を代入すると、等式(1)、(2)、(3)が簡単に得られます 。 t d d t {\displaystyle t{\frac {d}{dt}}} t = x / ( 1 − x ) {\displaystyle t=x/(1-x)}
これら3つの恒等式の中で、上記の基底多項式表記法を使用する。
b k , n ( x ) = ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k , {\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},} そして
f n ( x ) = ∑ k f ( k / n ) b k , n ( x ) . {\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).} したがって、同一性（１）により
f n ( x ) − f ( x ) = ∑ k [ f ( k / n ) − f ( x ) ] b k , n ( x ) , {\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),} となることによって
| f n ( x ) − f ( x ) | ≤ ∑ k | f ( k / n ) − f ( x ) | b k , n ( x ) . {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).} f は一様連続な ので、 が与えられれば、 のときはいつでも と なる が 存在する 。さらに連続性より、 と なる。しかし、 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} | f ( a ) − f ( b ) | < ε {\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon } | a − b | < δ {\displaystyle |a-b|<\delta } M = sup | f | < ∞ {\displaystyle M=\sup |f|<\infty }
| f n ( x ) − f ( x ) | ≤ ∑ | x − k n | < δ | f ( k / n ) − f ( x ) | b k , n ( x ) + ∑ | x − k n | ≥ δ | f ( k / n ) − f ( x ) | b k , n ( x ) . {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).} 最初の和はεより小さい。一方、上記の恒等式（3）により、また なので、2 番目 の和は | x − k / n | ≥ δ {\displaystyle |x-k/n|\geq \delta } 2 M {\displaystyle 2M}
∑ | x − k / n | ≥ δ b k , n ( x ) ≤ ∑ k δ − 2 ( x − k n ) 2 b k , n ( x ) = δ − 2 x ( 1 − x ) n < 1 4 δ − 2 n − 1 . {\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.} （ チェビシェフの不等式 ） したがって、多項式 f n は 均一にf に近づくことになります 。
高次元への一般化 バーンスタイン多項式は k 次元に一般化することができ、結果として得られる多項式は B i 1 ( x 1 ) B i 2 ( x 2 ) ... B i k ( x k ) の形をとる。 [1] 最も単純なケースでは単位区間 [0,1] の積のみが考慮されるが、直線の アフィン変換を 用いると、バーンスタイン多項式は積 [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × ... × [ a k , b k ]に対しても定義できる。 単位区間の k 重積上 の 連続関数 fに対して、 f ( x 1 , x 2 , ... , x k ) が次のように一様に近似できることの証明は 次のようにできる。
∑ i 1 ∑ i 2 ⋯ ∑ i k ( n 1 i 1 ) ( n 2 i 2 ) ⋯ ( n k i k ) f ( i 1 n 1 , i 2 n 2 , … , i k n k ) x 1 i 1 ( 1 − x 1 ) n 1 − i 1 x 2 i 2 ( 1 − x 2 ) n 2 − i 2 ⋯ x k i k ( 1 − x k ) n k − i k {\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}} これは、バーンスタインの証明を1次元で直接拡張したものである。 [14]
参照
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![{\displaystyle \ b_{\nu ,n}'\!(x)=n{\bigl [}\ b_{\nu -1,n-1}\!(x)\ -\ b_{\nu ,n-1}\!(x)\ {\bigr ]}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0556919e09073d7e8ee99d003ba3c1d1a5c56e5)
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![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95a6e7a0e042bb96854d33d1cfd4f7256d5c656)
![{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} _{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6df5029c9f8cccadcc00c28c2434e12881acc84)
![{\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f924cadbe59510d1c24b65059f702e39febdd635)
