ベルトランの公理

ジョゼフ・ルイ・フランソワ・ベルトラン

Existence of a prime number between any number and its double

数論において、ベルトランの公理とは、任意の整数に対して、少なくとも1つの素数が 存在するという定理である。 ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

より制限の少ない定式化は次のようになる。任意の に対して、 少なくとも1つの素数が存在し、 ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle n<p<2n.}$

別の定式化は、が- 番目の素数である場合、次のようになる。 ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[1]

この命題は1845年にジョセフ・ベルトラン^[2] （1822–1900）によって初めて予想されました。ベルトラン自身は、この命題をすべての整数に対して検証しました。 ${\displaystyle 2\leq n\leq 3\,000\,000}$

彼の予想は1852年にチェビシェフ（1821–1894）によって完全に証明されたため^[3]、この公理はベルトラン・チェビシェフの定理またはチェビシェフの定理とも呼ばれる。チェビシェフの定理は、素数計算関数（ または に等しいかそれ以下の素数の個数）との関係として述べることもできる。 ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.}$

素数定理

素数定理(PNT) によれば、 までの素数 ( と表記) の数はおおよそ となるため、を で置き換えると、までの素数の数は までの素数の 2 倍に漸近的になります(項とは漸近的に同値)。したがって、 が大きい場合、と の間の素数の数はおおよそ となり、特にこの区間には、ベルトランの公理で保証されるよりもはるかに多くの素数が存在します。そのため、ベルトランの公理は PNT よりも比較的弱い定理です。しかし、PNT は奥深い定理であるのに対し、ベルトランの公理はより覚えやすく簡単に証明でき、 の値が小さい場合に何が起こるかについて正確な主張を行っています。(さらに、チェビシェフの定理は PNT より前に証明されていたため、歴史的にも興味深いものです。) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x/{\text{log}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{log}}(2x)}$ ${\displaystyle {\text{log}}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n/{\text{log}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

同様であり、まだ解決されていないルジャンドルの予想は、任意の に対して、となるような素数が存在するかどうかを問うものです。ここでも、との間には、1 つだけではなく多くの素数が存在することが予想されますが、この場合は PNT は役に立ちません。 までの素数の数はに漸近的であるのに対し、 までの素数の数は に漸近的であり、 は までの素数の推定値に漸近的です。そのため、前の および の場合とは異なり、大きな に対するルジャンドルの予想の証明は得られません。PNT の誤差推定では、この区間に素数が 1 つでも存在することを証明するのに十分ではありません (実際、十分であるはずがありません)。さらに詳しくは、PNT により、すべての の境界を推定できます。に対して、 となるような が存在します。 ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n^{2}<p<(n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}/{\text{log}}(x^{2})}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}/{\text{log}}((x+1)^{2})}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x>S}$

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;<\;\pi (x^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x^{2}}{2\log x}}\;,}$

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;<\;\pi ((x+1)^{2})\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {(x+1)^{2}}{2\log(x+1)}}\;.}$

下限と上限の比は ${\textstyle \pi ((x+1)^{2})}$ ${\textstyle \pi (x^{2})}$

${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\log x}{\log(x+1)}}\cdot {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\;.}$

のとき、すべてのx > 0に対して、かつ固定のに対して、すべての に対して上記の比が 1 未満となる が存在することに注意してください。したがって、との間に素数が存在することを保証するものではありません。より一般的には、これらの単純な境界だけでは、任意の正の整数 に対してとの間に素数が存在することを証明するには不十分です。 ${\displaystyle {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}}}\rightarrow 1}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\frac {\log x}{\log(x+1)}}<1}$ ${\displaystyle {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}<1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x>R}$ ${\textstyle \pi (x^{2})}$ ${\textstyle \pi ((x+1)^{2})}$ ${\textstyle \pi (x^{n})}$ ${\textstyle \pi ((x+1)^{n})}$ ${\displaystyle n>1}$

一般化

1919年、ラマヌジャン（1887–1920）はガンマ関数の性質を用いてチェビシェフよりも簡単な証明を与えた^{[4] 。彼の短い論文には公理の一般化が含まれており、後に}ラマヌジャン素数の概念が生まれた。ラマヌジャン素数のさらなる一般化も発見されており、例えば、

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

番目の素数と番目のラマヌジャン素数。 ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle n}$

ベルトランの公理の他の一般化は、初等的手法を用いて得られている。（以下では、正の整数の集合を で表す。）1973 年、デニス・ハンソンはとの間に素数が存在することを証明した。^[5] 2006 年、明らかにハンソンの結果を知らなかった M. エル・バクラウイはとの間に素数が存在するという証明を提案した。^[6]エル・バクラウイの証明は、との間の素数に関するエルデシュの議論の拡張である。シェベレフ、グレートハウス、モーゼス（2013 年）は、同様の区間に関する関連する結果について議論している。^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 3n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

ガウス整数に関するベルトランの公理は、素数分布の概念を拡張したもので、この場合は複素平面上におけるものである。ガウス素数は直線上だけでなく平面上にも広がり、複素数を2倍することは単に2を掛けるのではなく、そのノルムを2倍する（ を掛ける）ことなので、定義が異なると結果も異なり、中には未だ推測の段階のものもあれば、証明済みの段階のものもある。^[8] ${\displaystyle 1+i}$

シルベスターの定理

ベルトランの公理は、置換群への応用として提案されました。シルベスター(1814–1897) は、より弱い命題を次のように一般化しました。より大きい連続する整数の積は、 より大きい素数で割り切れる。 ベルトランの（より弱い）公理は、 をとり、 の数（ただし ）を考えることによってこのことから得られます。シルベスターの一般化によれば、これらの数の 1 つは より大きい素因数を持ちます 。これらの数はすべて より小さいので、 より大きい素因数を持つ数は素因数を 1 つしか持たないため、その数は素数です。 は素数ではないことに注意し、したがってを持つ素数が存在することが分かりました。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n+1,n+2,\dots ,n+k=2n}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2(k+1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<2n}$

エルデシュの定理

1932年、エルデシュ(1913–1996)は、二項係数とチェビシェフ関数 を使ったより簡単な証明も発表しました。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\log(p),}$

ただしp ≤ xは素数上を走る。詳細はベルトランの公理の証明を参照。 ^[9]

エルデシュは1934年に、任意の正の整数 に対して、任意の に対して少なくとも と の間に素数が存在するような自然数が存在することを証明しました。これと同等の命題は1919年にラマヌジャンによって証明されていました（ラマヌジャン素数を参照）。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

より良い結果

素数定理から、任意の実数 に対して が存在し、すべての実数に対して となる素数が存在することが分かる。例えば、 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{0}>0}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

これは、が無限大になることを意味している（特に、十分に大きいの場合、 は1より大きい）。^[10] ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ ${\displaystyle n}$

非漸近的境界も証明されている。1952年、名倉実郎は、に対してとの間には常に素数が存在することを証明した。^[11] ${\displaystyle n\geq 25}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\bigl (}1+{\tfrac {1}{5}}{\bigr )}n}$

1976年、ローウェル・シェーンフェルドは、に対して、開区間には常に素数が存在することを示した。^[12] ${\displaystyle n\geq 2\,010\,760}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n<p<{\bigl (}1+{\tfrac {1}{16\,597}}{\bigr )}n}$

ピエール・デュサールは1998年の博士論文で上記の結果を改良し、、、特に、区間 に素数が存在することを示し た。[ 13 ^] ${\displaystyle k\geq 463}$ ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$ ${\displaystyle x\geq 3\,275}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\log ^{2}{x}}}\right)x}$

2010年にピエール・デュサールは区間 には少なくとも1つの素数が存在することを証明した。^[14] ${\displaystyle x\geq 396\,738}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\log ^{2}{x}}}\right)x}$

2016 年に、ピエール・デュサールは 2010 年の成果を改良し、(命題 5.4) の場合、区間 に少なくとも 1 つの素数が存在することを示しました。^[15]また、(系 5.5) の場合、区間 に少なくとも 1 つの素数が存在することも示しています。 ${\displaystyle x\geq 89\,693}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\log ^{3}{x}}}\right)x}$ ${\displaystyle x\geq 468\,991\,632}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5\,000\log ^{2}{x}}}\right)x}$

ベイカー、ハーマン、ピンツは、十分に大きいすべての に対して、区間内に素数が存在することを証明した。^[16] ${\displaystyle [x-x^{0.525},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

ドゥデックは、すべての に対して、と の間には少なくとも1つの素数が存在することを証明した。^[17] ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$

デュデックはまた、リーマン予想はすべての素数に対して、 ${\displaystyle x\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$^[18]

結果

• 素数列は 1 とともに完全な列です。任意の正の整数は、各素数 (および 1) を最大 1 回ずつ使用して、素数 (および 1) の和として表すことができます。
• 整数である唯一の調和数は1である。 ^[19]

参照

• オッパーマンの予想
• プライムギャップ
• ベルトランの公理の証明
• ラマヌジャン素数

注記

1. リベンボイム、パウロ (2004). 『The Little Book of Bigger Primes』 ニューヨーク: Springer-Verlag. p. 181. ISBN 978-0-387-20169-6。
2. Bertrand, Joseph ( 1845)、「Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme.」、Journal de l'École Royale Polytechnique (フランス語)、18 (Cahier 30): 123–140。
3. チェビシェフ、P. (1852)、「初公開の思い出」。(PDF)、Journal de mathématiques pures et appliquées 、シリーズ 1 (フランス語): 366–390。 (公準の証明: 371-382)。Tchebychev, P. (1854)、「Mémoire sur les nombres premiers.」、Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (フランス語)、7 : 15–33も参照してください。
4. （1919）「ベルトランの公理の証明」、インド数学協会誌、11：181-182
5. ハンソン、デニス（1973）「シルベスターとシュアの定理について」、カナダ数学速報、16（2）：195-199、doi：10.4153 / CMB-1973-035-3。
6. El Bachraoui, Mohamed (2006)、「[2n,3n]区間内の素数」、International Journal of Contemporary Mathematical Sciences、1
7. シェベレフ、ウラジミール、グレートハウス、チャールズ・R.、モーゼス、ピーター・JC (2013)、「すべてのn > 1に対して素数を含む区間(kn,(k + 1)n)について」(PDF)、整数列ジャーナル、16 (7)、ISSN  1530-7638
8. Madhuparna Das (2019) 「ガウス素数に対するベルトランの公理の一般化」arXiv : 1901.07086v2
9. エルデシュ、P. (1932)、「Beweis eines Satzes von Tschebyschef」(PDF)、Acta Litt。科学。 (セゲド) (ドイツ語)、5 (1930-1932) : 194–198
10. GH HardyとEM Wright、「数論入門」、第6版、オックスフォード大学出版局、2008年、494ページ。
11. 名倉 淳 (1952)、「少なくとも一つの素数を含む区間について」、日本学士院紀要、A集、28 (4): 177–181、doi : 10.3792/pja/1195570997
12. ローウェル・ショーンフェルド（1976年4月）、「チェビシェフ関数θ（x）とψ（x）のより鋭い境界II」、計算数学、30（134）：337-360、doi：10.2307/2005976、JSTOR  2005976
13. Dusart、Pierre (1998)、Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers (PDF) (博士論文) (フランス語)
14. Dusart, Pierre (2010). 「RH を使わない素数上の関数の推定」. arXiv : 1002.0442 [math.NT].
15. デュサート、ピエール（2016）「素数上のいくつかの関数の明示的推定」ラマヌジャンジャーナル、45：227-251、doi：10.1007/s11139-016-9839-4、S2CID  125120533
16. Baker, RC; Harman, G.; Pintz, J. (2001)「連続する素数間の差 II」、ロンドン数学会紀要、83 (3): 532– 562、CiteSeerX 10.1.1.360.3671、doi :10.1112/plms/83.3.532、S2CID  8964027 
17. Dudek, Adrian (2016年12月)、「立方体間の素数に関する明示的な結果」、Funct. approx.、55 (2): 177– 197、arXiv : 1401.4233、doi :10.7169/facm/2016.55.2.3、S2CID  119143089
18. Dudek, Adrian W. (2014年8月21日)、「リーマン仮説と素数間の差について」、International Journal of Number Theory、11 (3): 771– 778、arXiv : 1402.6417、Bibcode :2014arXiv1402.6417D、doi :10.1142/S1793042115500426、ISSN  1793-0421、S2CID  119321107
19. ロナルド・L・グラハム、ドナルド・E・クヌース、オーレン・パタシュニク (1994). 『具体的な数学：コンピュータサイエンスの基礎』アディソン・ウェズリー. ISBN 978-0-201-55802-9。

参考文献

• P.エルデシュ（1934）「シルベスターとシュアの定理」ロンドン数学会誌、9（4）：282-288、doi：10.1112/jlms/s1-9.4.282
• 名倉実郎 (1952)、「少なくとも一つの素数を含む区間について」、日本学士会誌、28 (4): 177–181、doi : 10.3792/pja/1195570997
• Chris Caldwell、 Prime Pages用語集の Bertrand の公理。
• H. リカード (2005)、「ゴールドバッハの予想はベルトランの公準を示唆する」アメリカ数学月刊誌、112 :492
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン(2007).乗法数論 I. 古典理論. ケンブリッジ数学小集. 第97巻. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 49. ISBN 978-0-521-84903-6。
• J. ソンドウ (2009)、「ラマヌジャン素数とベルトランの公理」、アメリカ数学月刊誌、116 (7): 630– 635、arXiv : 0907.5232、doi :10.4169/193009709x458609

外部リンク

• ソンドウ、ジョナサン &ワイスタイン、エリック・W.「ベルトランの公理」。MathWorld。
• Mizar システムの弱いバージョンの証明: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• ベルトランの公理 − 弱いバージョンの証明は www.dimostriamogoldbach.it/en/ でご覧いただけます。

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