ベソフ空間

数学において、ベソフ空間（オレグ・ウラジミロヴィチ・ベソフにちなんで名付けられた）は $、1 \leq$ $p$ $,$ $q$ $\leq \infty$ のときバナッハ空間となる、完全な準ノルム空間である。これらの空間は、同様に定義されたトリーベル・リゾルキン空間と同様に、ソボレフ空間などのより基本的な関数空間を一般化するのに役立ち、関数の正則性を測定するのに効果的である。 $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$

意味

$同等の定義は複数存在します。そのうちの1つを以下に示します。この定義はs \leq 0 の$ 範囲には拡張されないため、非常に限定的です。

させて

\Delta _{h}f(x)=f(xh)-f(x)

連続係数を次のように定義する。

\omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}

$n$ を非負整数とし、s $= n + α （$ 0 $< α \leq 1$ ）と定義する。ベソフ空間には $、$ $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$

f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}\infty .

ベソフスペースには標準装備 $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$

\left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}

ベソフ空間は、より古典的なソボレフ空間と一致します。 $B_{2,2}^{s}(\mathbf {R} )$ $H^{s}(\mathbf {R} )$

およびが整数でない場合はとなり、はソボレフ・スロボデツキ空間を表します。 $p=q$ $s$ $B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )$ ${\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )$

ハンス・トリーベル (1992)。関数空間の理論 II．土井：10.1007/978-3-0346-0419-2。ISBN 978-3-0346-0418-5。
Besov, OV (1959). 「関数空間のいくつかの族について。埋め込み定理と拡張定理」. Dokl. Akad. Nauk SSSR (ロシア語). 126 : 1163– 1165. MR 0107165.
DeVore, R. および Lorentz, G.「構成的近似」、1993 年。
DeVore, R., Kyriazis, G. および Wang, P. 「境界付き領域上の Besov 空間のマルチスケール特性」、Journal of approximation Theory 93、273-292 (1998)。
レオニ、ジョヴァンニ (2017). 『ソボレフ空間入門：第2版』 .数学大学院研究科. 181.アメリカ数学会. pp. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8